Отличие задачи оптимизации без ограничени от с оными

[_hum_]

Знатоки, подскажите, чем принципиально отличается случай задачи оптимизации, когда функция задана на подмножестве \mathbb{R}^n, от случая так называемой задачи с ограничениями. Ведь вторую можно рассматривать как первую, если в качестве области задания взять область, полученную из пересечения области определения и области допустимых решений.

Спасибо.

[atlakatl]

Пусть функция задана аналитически на $ \mathbb{R}^n$. Гладкая и плавная. Матаном находим экстремумы и проверяем каждый из них на оптимальность.
Та же функция с ограничениями: набор гиперплоскостей, кромсающих её гладкое многообразие. Часть экстремумов исключилось, что-то осталось. Но теперь надо проверять не только экстремумы, но и точки пересечения плоскостей с функцией. - Возможно, сам экстремум обрезался, но его более-менее оптимальная окрестность осталась. Ну и оптимум может находиться не только в уголках, но и в любой точке плоскости-ограничителя.

[_hum_]

atlakatl в сообщении #1245608 писал(а):

Пусть функция задана аналитически на $ \mathbb{R}^n$.

на $ \mathbb{R}^n$ - понятно. а вот если на $D \subset \mathbb{R}^n$? например, задача минимизации функции, заданной на положительном ортанте

[atlakatl]

_hum_ в сообщении #1245627 писал(а):

задача минимизации функции, заданной на положительном ортанте

Ну это и есть кромсание плоскостями. Минимум может быть не только в экстремумах, попавших в ортант, но и на плоскостях. Методы матана напрямую здесь не годятся. Вспоминаем геометрию - аналитическую - и проверяем на минимальность по границам.

[_hum_]

atlakatl, то есть, всюду, где функция задана на не всем пространстве, следует говорить о наличии задачи оптимизации с ограничениями?

[atlakatl]

_hum_ Именно. Мы конструируем самолёт. Бухгалтер: больше миллиона не дам. Прочнист: предел текучести материала корпуса такой-то. Оружейник: нужен пулемёт 30 мм и 500 кг бомб - не менее. Медик: ускорение не более 5 g. Жена: не смей работать в воскресенье, едем к маме! Эргономист со своим минимальным обзором и т.д.
В результате гладкий аналитический сферический конь превращается в иссечённого плоскостями и другими поверхностями несчитаемого монстра.

[arseniiv]

Влезу не спросясь, но если границы области в неё не входят, то мы всё так же ищем обычные локальные экстремумы, разве нет? Не знаю, бывает ли такое на практике.

[atlakatl]

arseniiv в сообщении #1245648 писал(а):

если границы области в неё не входят, то мы всё так же ищем обычные локальные экстремумы... бывает ли такое на практике

Поборник здорового питания закупается свёклой, морковью, капустой и прочими крупами. Функция потребления ограничена 3 кг биомассы в день. - Больше просто не влезет. Эти продукты настолько дёшевы, что ограничения по затратам на питание на выбор абсолютно не влияют.

[_hum_]

atlakatl, то есть, минимизация функции корня квадратного - это задача условной минимизации?

[atlakatl]

_hum_
Здесь требование неотрицательности аргумента заложено в самой функции. Задача с ограничениями предполагает их независимость от функции.

[_hum_]

atlakatl
так я и спрашиваю, как четко отличить, "где заложено", а где нет? ведь я могу думать, что у меня корень на положительной оси - это сужение некоторой определенной всюду функции на это подмножество. а значит, получаю задачу с ограничениями.

[atlakatl]

_hum_
Все ограничения, не относящиеся к собственно области задания функции, образуют задачу с ограничениями. Если таких нет - задача без ограничений.

[_hum_]

atlakatl

:( то есть, "с ограничениями" или без - понятие субъективное (зависит от того, постановщик задачи считает область допустимых значений областью определения или нет)?

[atlakatl]

_hum_ в сообщении #1245668 писал(а):

считает область допустимых значений областью определения

Школьное задание "Найти область определения функции" никакой субъективщины не вызывало.
Другое дело, что мы посчитаем функцией, а что оставим вне её - назвав последнее ограничениями.
Например, мы получили, что в проектируемом вагоне помещается ровно $\sqrt{1944+\ln{1477,6}}=44,1735$ мест. Однако здравый смысл сразу подсказывает ограничения - целочисленность ответа и рациональность размещения мест. Останавливаемся на $4 \cdot 10+2=42$ местах. - 10 4-местных купе и одно 2-местное - ещё одно ограничение вспомнил: вспомогательные помещения.
Это задача с ограничениями или нет? - Вот тут есть место дилемме "Как считать".

[Евгений Машеров]

_hum_ в сообщении #1245582 писал(а):

Знатоки, подскажите, чем принципиально отличается случай задачи оптимизации, когда функция задана на подмножестве \mathbb{R}^n, от случая так называемой задачи с ограничениями. Ведь вторую можно рассматривать как первую, если в качестве области задания взять область, полученную из пересечения области определения и области допустимых решений.

Спасибо.

Можно. Но только экстремум задачи без ограничений может оказаться вне области допустимых решений. При этом "интуитивный" подход - взять ближайшую к экстремуму точку в области ограничений - почти никогда не даёт оптимума задачи с ограничениями (а иногда и вовсе даёт "пессимум"). Типична для задач с ограничениями картина - экстремум на границе (а для линейной оптимизации - и вовсе единственная).

-- 07 сен 2017, 10:21 --

arseniiv в сообщении #1245648 писал(а):

Влезу не спросясь, но если границы области в неё не входят, то мы всё так же ищем обычные локальные экстремумы, разве нет? Не знаю, бывает ли такое на практике.

Если переменные - действительные числа, то есть вместо нестрогих неравенств появляются строгие, то с точки зрения практического решения разницы нет, поскольку все данные задаются с некоторой точностью.
Если дискретные величины - можно переформулировать ограничения, чтобы границы входили.

-- 07 сен 2017, 11:03 --

_hum_ в сообщении #1245653 писал(а):

atlakatl, то есть, минимизация функции корня квадратного - это задача условной минимизации?

Строго говоря, да. Но в практических задачах типичным является то, что экстремум не оказывается вне ОДЗ, а вот в область, запрещённую ограничениями, не обусловленными целевой функцией, он попадает слишком часто.