Вероятность падения частицы в одну из потенциальных ям

[pogulyat_vyshel]

Частица массы $m$ движется по прямой с координатой $x$ под действием силы с потенциалом $V(x)=ax^2(x-b_-)(x-b_+),$ где $a>0, \quad b_-<0<b_+$ -- заданные константы. Кроме потенциальной силы на частицу действует диссипативная сила $ F=-\gamma \dot x;$ постоянная $\gamma>0$ тоже считается заданной.
Частица начинает движение с заданного уровня энергии $h>0$:

$$\frac{m}{2}\dot x^2+V(x)=h,\qquad (1)$$

причем любые начальные условия $x(0),\dot x(0)$, удовлетворяющие (1) считаются равновероятными. Доказать, что при $t\to \infty$ частица свалится в одно из трех своих положений равновесия. Какова вероятность каждого из этих событий?

[fred1996]

Уточняющие вопросы.
У вас потенциал четвертой степени. То есть в данном случае имеем две потенциальные ямки, разделенные точкой неустойчивого равновесия.
Для любой начальной координаты $x(0)$ однозначно вычисляется скорость $\dot{x}(0)$ с точностью до направления. И дальнейшее движение будет полностью детерминировано начальным положением. В данной задаче, поскольку начальная скорость однозначна привязана к начальному положению, вам надо четко указкать, что вы имеете ввиду под равновероятными начальными условиями. Положение частицы, ее скорость, либо какая-то их комбинация.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1245158 писал(а):

причем любые начальные условия $x(0),\dot x(0)$, удовлетворяющие (1) считаются равновероятными.

Как-то некорректно после вашего пафоса.

[amon]

fred1996 в сообщении #1245180 писал(а):

В данной задаче, поскольку начальная скорость однозначна привязана к начальному положению, вам надо четко указкать, что вы имеете ввиду под равновероятными начальными условиями.

Как я понял, имеется ввиду следующее. Уравнение $\frac{m}{2}\dot x^2+V(x)=h$ при фиксированном $h$ задает в фазовом пространстве $x,\dot{x}$ некую одномерyю кривую. Считается, что начальные точки равномерно распределены вдоль этой кривой. Т.е. надо выяснить какая доля начальной кривой окажется в каждом минимуме. IMHO, вполне корректная задача.

[dsge]

Уровень энергии задает замкнутую кривую (кривые, может быть неодносвязность) в фазовом пространстве, которая имеет какую-то длину. Так, что вполне естественно задать равновероятное распределение как меру Лебега, т.е. плотность будет обратна длине этой кривой.

fred1996 в сообщении #1245180 писал(а):

Для любой начальной координаты $x(0)$ однозначно вычисляется скорость $\dot{x}(0)$ с точностью до направления. И дальнейшее движение будет полностью детерминировано начальным положением. В данной задаче, поскольку начальная скорость однозначна привязана к начальному положению, вам надо четко указкать, что вы имеете ввиду под равновероятными начальными условиями.

Если представить уровень энергии в виде замкнутой кривой (типа эллипса) в координатах $x 0 \dot{ x}$, то каждому $x(0)$ будут соответствовать $2$ скорости $\dot{x}(0)$.

[realeugene]

amon в сообщении #1245192 писал(а):

Как я понял, имеется ввиду следующее. Уравнение $\frac{m}{2}\dot x^2+V(x)=h$ при фиксированном $h$ задает в фазовом пространстве $x,\dot{x}$ некую одномерyю кривую. Считается, что начальные точки равномерно распределены вдоль этой кривой. Т.е. надо выяснить какая доля начальной кривой окажется в каждом минимуме. IMHO, вполне корректная задача.

У двух координат в фазовом пространстве различные единицы измерения. В каких единицах будем измерять длину этой кривой? Задача некорректная.

[dsge]

realeugene в сообщении #1245196 писал(а):

У двух координат в фазовом пространстве различные единицы измерения. В каких единицах будем измерять длину этой кривой? Задача некорректная.

Там даже площади и объемы вычисляются. Теорема Лиувилля, дифференциальные формы и все такое.

[realeugene]

dsge в сообщении #1245197 писал(а):

Там даже площади и объемы вычисляются. Теорема Лиувиля, дифференциальные формы и все такое.

Площади и объёмы -- это пожалуйста. При замене секунд на часы они все изменятся пропорционально, и теореме Лиувилля это не вредит. А вот равномерной мере на этой кривой такая замена повредит. Распределение перестанет быть равномерным.

А всё потому, что можно умножать метры на метры в секунду, но нельзя их суммировать.

[dsge]

Там, чтобы все было честно, надо маленький фазовый объем в окрестности точки на поверхности уровня поделить на норму градиента Гамильтониана. Если не изменяет память.

[realeugene]

dsge в сообщении #1245202 писал(а):

Там, чтобы все было честно, надо меру Лебега поделить на градиент Гамильтониана.

В общем, нужна какая-то "естественная" более или менее однозначная мера, связывающая метры с секундами. И, желательно, не через скорость света. О чём тут было сказано с самого начала, так как, очевидно, большинство тут не знает, какую именно такую меру подразумевал ТС.

[Munin]

amon в сообщении #1245192 писал(а):

Считается, что начальные точки равномерно распределены вдоль этой кривой.

Вот только она в неметрическом пространстве. Что значит "равномерно"?
И кроме того, аффтар явно сказал другое.

[amon]

realeugene в сообщении #1245196 писал(а):

В каких единицах будем измерять длину этой кривой?

В любых попугаях. В ответ войдёт отношение длин, и попугаи сдохнут. В задаче мы считаем число частиц $dN=\operatorname{const} dl$, где $dl$ - дифференциал дуги кривой. А исходные единицы фиксированы условиями задачи (константами в нем), и произвольно их менять нельзя. К примеру, если поменять единицу времени, то поплывут энергия и коэффициент трения.

Munin в сообщении #1245221 писал(а):

Что значит "равномерно"?

$dN=\operatorname{const} dl$

[Munin]

dsge в сообщении #1245197 писал(а):

Там даже площади и объемы вычисляются.

Площади и объёмы - да. А длины - нет.

Вот посмотрите. Для идеального газа можно нарисовать плоскость $(P,V).$ Площадь на ней считать можно (и она имеет размерность энергии). А вот повернуть отрезок, отложенный вдоль одной оси, на $\pi/2$ - нельзя никак.

-- 04.09.2017 21:56:52 --

amon в сообщении #1245224 писал(а):

где $dl$ - дифференциал дуги кривой

Которого не существует.

Munin в сообщении #1245221 писал(а):

она в неметрическом пространстве.

"Она утонула."

[realeugene]

amon в сообщении #1245224 писал(а):

В любых попугаях.

Так не стыкуются эти попугаи. Никуда они не сдохнут, так как попугаи по двум осям разных видов.

amon в сообщении #1245224 писал(а):

$dl$ - дифференциал дуги кривой

Как именно мы его вычисляем в фазовом пространстве?

-- 04.09.2017, 22:05 --

amon в сообщении #1245224 писал(а):

К примеру, если поменять единицу времени, то поплывут энергия и коэффициент трения.

Поплывут численные значения, но не их физические величины с учётом их единиц измерения! Энергию можно пересчитать (коэффициент $a$ размерный), но заменив секунды на часы мы получим, что все начальные точки окажутся в окрестности минимума потенциальной энергии.

-- 04.09.2017, 22:12 --

Munin в сообщении #1245225 писал(а):

Площадь на ней считать можно

Ну, всё-таки не всякую площадь, если подумать, но построенную на осях можно. Как и измерять длины вдоль осей поотдельности.
Но это ничего не меняет, конечно.

А вот объём (и плотность) определимы похоже всегда.

Ах, ну да, конечно. Для введения дифформ метрика не нужна. Для звезды Ходжа достаточно только формы объёма, всё ещё без метрики. Но интегрировать длину вдоль кривой без метрики уже не получится.

[Munin]

realeugene в сообщении #1245226 писал(а):

Ну, всё-таки не всякую площадь, если подумать

Если подумать, это как следствие означает - любую. Любую фигуру можно разбить на прямоугольники, пусть и бесконечное количество бесконечно уменьшающихся.