Рекуррентная формула для синуса

[Евгений Машеров]

В принципе, используется и рекуррентное вычисление через возвратное уравнение второго порядка, и через комплексную экспоненту. Первое менее расходно по ресурсам (умножение и два сложения и две ячейки памяти) по сравнению со вторым (два умножения, четыре сложения, две ячейки памяти при постоянной частоте), но накапливается погрешность быстрее. Поэтому первый подход используется на коротких отрезках (алгоритм Герцеля в телефонии), второй при более высоких требованиях к точности (БПФ)

[Panfilov]

SibViking в сообщении #597441 писал(а):

Как оказалось, алгоритмически указанная выше задача решается достаточно просто. Для эксперимента написал простенькую программу получения рекуррентных соотношений для ряда, образованного функцией вида:
$$y=\sum\limits_{i=1}^{I}(A_i\cos(in+\varphi_i)+B_i\sin(in+\psi_i)), n=\lbrace1, 2, 3, ...\rbrace (1)$


Результат вывода программы при различных $I$:

$I=1: y_n=1.0806y_{n-1}-1y_{n-2};$

$I=2: y_n=0.248311y_{n-1}-1.10062y_{n-2}+0.248311y_{n-3}-1y_{n-4};$

$I=3: y_n=-1.73167y_{n-1}-1.60897y_{n-2}-1.68259y_{n-3}-1.60897y_{n-4}-1.73167y_{n-5}-1y_{n-6};$

$I=4: y_n=-3.03896y_{n-1}-4.87276y_{n-2}-5.51765y_{n-3}-5.41756y_{n-4}-5.51765y_{n-5}-4.87276y_{n-6}-3.03896y_{n-7}-1y_{n-8};$

$I=5: y_n=-2.47164y_{n-1}-4.14869y_{n-2}-5.79217y_{n-3}-7.16003y_{n-4}-7.96178y_{n-5}-7.16003y_{n-6}-5.79217y_{n-7}-4.14869y_{n-8}-2.47164y_{n-9}-1y_{n-10};$

$I=6: y_n=-0.551296y_{n-1}-0.402302y_{n-2}-0.296916y_{n-3}-0.185778y_{n-4}-0.00424912y_{n-5}-0.969261y_{n-6}-0.00424912y_{n-7}-0.185778y_{n-8}-0.296916y_{n-9}-0.402302y_{n-10}-0.551296y_{n-11}-1y_{n-12};$

$I=7: y_n=0.956508y_{n-1}-0.571054y_{n-2}-0.24162y_{n-3}-0.140389y_{n-4}-0.0210475y_{n-5}-0.78989y_{n-6}-1.46995y_{n-7}-0.78989y_{n-8}-0.0210475y_{n-9}-0.140389y_{n-10}-0.24162y_{n-11}-0.571054y_{n-12}+0.956508y_{n-13}-1y_{n-14};$

$I=8: y_n=0.665508y_{n-1}-1.29271y_{n-2}+0.548711y_{n-3}-0.781755y_{n-4}-0.303521y_{n-5}-0.643376y_{n-6}-1.26114y_{n-7}-1.15202y_{n-8}-1.26114y_{n-9}-0.643376y_{n-10}-0.303521y_{n-11}-0.781755y_{n-12}+0.548711y_{n-13}-1.29271y_{n-14}+0.665508y_{n-15}-1y_{n-16};$

$I=9: y_n=-1.15675y_{n-1}-1.07998y_{n-2}-1.14144y_{n-3}-1.07457y_{n-4}-1.17937y_{n-5}-0.691473y_{n-6}-0.392266y_{n-7}-0.502735y_{n-8}-0.423003y_{n-9}-0.502735y_{n-10}-0.392266y_{n-11}-0.691473y_{n-12}-1.17937y_{n-13}-1.07457y_{n-14}-1.14144y_{n-15}-1.07998y_{n-16}-1.15675y_{n-17}-1y_{n-18};$

$I=10: y_n=-2.8349y_{n-1}-4.02118y_{n-2}-4.11055y_{n-3}-4.07004y_{n-4}-4.12409y_{n-5}-3.7452y_{n-6}-2.73203y_{n-7}-1.85249y_{n-8}-1.65893y_{n-9}-1.71533y_{n-10}-1.65893y_{n-11}-1.85249y_{n-12}-2.73203y_{n-13}-3.7452y_{n-14}-4.12409y_{n-15}-4.07004y_{n-16}-4.11055y_{n-17}-4.02118y_{n-18}-2.8349y_{n-19}-1y_{n-20}.$


Таким образом, зная $2I$ точек ряда (1) и указанные рекуррентные формулы, можно легко восстановить последующие значения ряда.

profrotter в сообщении #597505 писал(а):

Теперь бы найти этому хорошее применение,

Удалось ли, кому нибудь, найти этому хорошее применение?
И пробовал ли, кто нибудь, выразить длину интервала не в радианах $ (6.283185...)$, а просто целым числом $ (6) $ или $ (7) $?

[Евгений Машеров]

Panfilov в сообщении #1244134 писал(а):

Удалось ли, кому нибудь, найти этому хорошее применение?

Ну, например, в вашем сотовом. Благодаря алгоритму линейного предсказания Вы носите его в кармане, а не в ранце, как радиостанцию Р-109...
А вообще связь между частотными и временными характеристиками это Эйлер в XVIII веке, Фурье и Прони в XIX, Винер в ХХ и ещё с миллион студентов - связистов, автоматчиков, экономистов и просто математиков, учивших это курсе кто на втором, кто на третьем, а кто-то на первом или четвёртом...

[Panfilov]

Евгений Машеров в сообщении #1245126 писал(а):

Panfilov в сообщении #1244134 писал(а):

Удалось ли, кому нибудь, найти этому хорошее применение?

и ещё с миллион студентов ...

Да вроде на втором.
Занятно выглядят коэффициенты для целых начальных интервалов, вот например для

$$ (6)$$

$$\begin{bmatrix} 1&-1 & 1& & & & & & & & & & & & & & \\ 1& 0 &1&0 & 1 & & & & & & & & & & & & \\ 1& 2 &2&2 & 2 & 2 & 1 & & & & & & & & & & \\ 1&3 & 5&6 & 6& 6& 5 & 3 & 1 & & & & & & & & \\ 1& 2 &3& 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & & & & & & \\ 1& 0 &0& 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 &0&0 & 1 & & & & \\ 1& -1 &1&0 & 0 & 0 & -2 & 2 & -2 & 0 &0& 0 & 1 & -1 & 1 & & \\ 1& 0 &1&0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -2 & 0&-2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Шестерка, конечно, уникальна, но и другие целые тоже любопытны.

(Оффтоп)

извиняюсь за качество таблицы

[Panfilov]

SibViking в сообщении #595535 писал(а):

profrotter спасибо! Понял ваш метод, давненько я изучал z-преобразование, пришлось немного учебники полистать. Но все таки к слову сказать нахождение рекуррентной формулы через z-преобразование достаточно трудоемкое занятие. Вывод формулы при $N = 2$ занял у меня около 20 минут. Боюсь подумать сколько времени надо для вывода при $N = 4$ . Мне кажется должно существовать более элегантное решение данной проблемы. Мне больше понравился метод через решение однородного разностного уравнения второго порядка. Откуда только истоки данного уравнения?

Вот ещё любопытное обобщение, на примере четырех синусоид, как сумма произведений пяти сомножителей:

$$\[ \setcounter{MaxMatrixCols}{25} \begin{matrix} & | & & & & & & & & & & | & $Сумма сочетаний$ & & & \\ $Множитель$ & | & & & & & & & & & & | & $из четырех $ \cos$ по: $& & \\ & | & Y__{n-0} & Y__{n-1} & Y__{n-2} & Y__{n-3} & Y__{n-4} & Y__{n-5} & Y__{n-6} & Y__{n-7} & Y__{n-8} & | & & & & \\ - & + & - & - & - & - & - & - & - & - & - & +& - & & & \\ 16 & | & & & & & 1 & & & & & | & 4 & & & \\ 8 & | & & & & 1 & & 1 & & & & | & 3 & & & \\ 4 & | & & & 1 & & 2 & & 1 & & & | & 2 & & & \\ 2 & | & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & | & 1 & & & \\ 1 & | & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & | & & & & \\ - & + & - & - & - & - & - & - & - & - & - & + & - & & & \\ & | & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & | & & & & \end{matrix} \]$$

И из сообщения post918508.html#p918508 в качестве результата:

$Y_{n-0} = $
$= (2\cos\beta_1+2\cos\beta_2+2\cos\beta_3+2\cos\beta_4)(Y_{n-1})-$
$-(4+4\cos\beta_1\cos\beta_2+4\cos\beta_1\cos\beta_3+4\cos\beta_1\cos\beta_4+4\cos\beta_2\cos\beta_3+4\cos\beta_2\cos\beta_4+4\cos\beta_3\cos\beta_4)(Y_{n-2})+$
$+( 6\cos\beta_1+ 6\cos\beta_2+ 6\cos\beta_3+ 6\cos\beta_4+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_3+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_4+ 8\cos\beta_1\cos\beta_3\cos\beta_4+ 8\cos\beta_2\cos\beta_3\cos\beta_4)(Y_{n-3})-$
$-( 6+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2+ 8\cos\beta_1\cos\beta_3+ 8\cos\beta_1\cos\beta_4+ 8\cos\beta_2\cos\beta_3+ 8\cos\beta_2\cos\beta_4+ 8\cos\beta_3\cos\beta_4+ 16\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_3\cos\beta_4) (Y_{n-4})+ $
$+( 6\cos\beta_1+ 6\cos\beta_2+ 6\cos\beta_3+ 6\cos\beta_4+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_3+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_4+ 8\cos\beta_1\cos\beta_3\cos\beta_4+ 8\cos\beta_2\cos\beta_3\cos\beta_4)( Y_{n-5})-$
$-(4+4\cos\beta_1\cos\beta_2+4\cos\beta_1\cos\beta_3+4\cos\beta_1\cos\beta_4+4\cos\beta_2\cos\beta_3+4\cos\beta_2\cos\beta_4+4\cos\beta_3\cos\beta_4)( Y_{n-6})+$
$+(2\cos\beta_1+2\cos\beta_2+2\cos\beta_3+2\cos\beta_4)( Y_{n-7})-$
$-( Y_{n-8})$