Возвратное уравнение суммы 4х синусойд

[Panfilov]

День добрый, подскажите пожалуйста, где можно подробнее узнать о формулах аналогичных приведенной ниже, существует ли справочник подобных формул, в каком разделе математики нужно искать, где используется? Пробовал искать в тригонометрии.

О самой формуле. (поскольку не уверен, что она отображена в привычной форме)
Это возвратное уравнение функции, заданной суммой четырех синусойд, с заданными периодами.
$ Y_{n-k} - $ значения равноотстоящих точек графика (сумма четырех синусов).
$ \beta_k - $ угол одного шага. (если $\beta_1 = 2^0$ то период первой синусойды 180 шагов)
В какой то мере является развитием формулы синуса двойного угла $\sin2\beta = 2\cos\beta\sin\beta $ если ($\sin2\beta= Y_{n-0}$ ; $\sin\beta = Y_{n-1}$ ; $Y_{n-2} =0$ ).
Если все периоды задать равными 1, и стало быть значение $\cos$ то получим уравнение с коэффициентами бинома Ньютона (знакопеременная 9-ая строчка треугольника Паскаля) и следовательно возвратное уравнение для полинома 7ой степени.


$Y_{n-0} = $
$= (2\cos\beta_1+2\cos\beta_2+2\cos\beta_3+2\cos\beta_4)(Y_{n-1})-$
$-(4+4\cos\beta_1\cos\beta_2+4\cos\beta_1\cos\beta_3+4\cos\beta_1\cos\beta_4+4\cos\beta_2\cos\beta_3+4\cos\beta_2\cos\beta_4+4\cos\beta_3\cos\beta_4)(Y_{n-2})+$
$+( 6\cos\beta_1+ 6\cos\beta_2+ 6\cos\beta_3+ 6\cos\beta_4+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_3+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_4+ 8\cos\beta_1\cos\beta_3\cos\beta_4+ 8\cos\beta_2\cos\beta_3\cos\beta_4)(Y_{n-3})-$
$-( 6+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2+ 8\cos\beta_1\cos\beta_3+ 8\cos\beta_1\cos\beta_4+ 8\cos\beta_2\cos\beta_3+ 8\cos\beta_2\cos\beta_4+ 8\cos\beta_3\cos\beta_4+ 16\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_3\cos\beta_4) (Y_{n-4})+ $
$+( 6\cos\beta_1+ 6\cos\beta_2+ 6\cos\beta_3+ 6\cos\beta_4+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_3+ 8\cos\beta_1\cos\beta_2\cos\beta_4+ 8\cos\beta_1\cos\beta_3\cos\beta_4+ 8\cos\beta_2\cos\beta_3\cos\beta_4)( Y_{n-5})-$
$-(4+4\cos\beta_1\cos\beta_2+4\cos\beta_1\cos\beta_3+4\cos\beta_1\cos\beta_4+4\cos\beta_2\cos\beta_3+4\cos\beta_2\cos\beta_4+4\cos\beta_3\cos\beta_4)( Y_{n-6})+$
$+(2\cos\beta_1+2\cos\beta_2+2\cos\beta_3+2\cos\beta_4)( Y_{n-7})-$
$-( Y_{n-8})$

С уважением, Алексей.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[arseniiv]

Panfilov в сообщении #918508 писал(а):

День добрый, подскажите пожалуйста, где можно подробнее узнать о формулах аналогичных приведенной ниже, <…> где используется?

А как вы её сами-то получили? Вопрос об используемости кажется странным.

Рекуррентную формулу для $\sin(\omega n +\varphi)$ можно вывести, руководствуясь тем, что это $\operatorname{Im} e^{i(\omega n + \varphi)} = \operatorname{Im}\left(e^{i\varphi} \left(e^{i\omega}\right)^n\right)$. Кажется, подобным способом можно найти рекуррентную формулу для любой суммы синусов, хотя в применениях проще, думается, хранить состояния каждого генератора синусоиды отдельно и складывать их результаты вместо хранения громадного числа прошлых значений.

[Panfilov]

arseniiv в сообщении #918706 писал(а):

А как вы её сами-то получили?

Аналогично алгоритму из книги А.О. Гельфонда "Исчисление конечных разностей" Москва 1959, стр. 14. Рисовал программу сглаживания путем интерполяции с возможностью дальнейшей экстраполяции.

[Panfilov]

arseniiv в сообщении #918706 писал(а):

Рекуррентную формулу для $\sin(\omega n +\varphi)$ можно вывести, руководствуясь тем, что это $\operatorname{Im} e^{i(\omega n + \varphi)} = \operatorname{Im}\left(e^{i\varphi} \left(e^{i\omega}\right)^n\right)$.

Пожалуйста, чуть больше. Для одной синусойды.

С уважением, Алексей.

[Ms-dos4]

Panfilov
А куда больше то - вспоминаете бином Ньютона и вперёд. Далее отделяете мнимую часть слева и справа приравниваете вот и получится формула

[arseniiv]

Действительно, больше некуда. И даже бином не нужен (для рекуррентной-то формулы), если мы храним предыдущие значения синуса и косинуса для получения двух новых. Хотя можно переписать и для предыдущего и пред-предыдущего значений одного только синуса.

[Panfilov]

Прошу прощения.
Вы говорите о возвратном уравнении или о формуле синуса косинуса n-го угла от Муавра?

[arseniiv]

Об обоих. (А, нет, возвратное уравнение не упоминал.) Формула Муавра приводит к рекуррентному соотношению. Хотя, повторюсь, формулой Муавра можно не стрелять — хватит и соотношений для умножения, Re и Im комплексных чисел — или, эквивалентно, формул синуса-косинуса суммы углов.

Допустим, нам нужна рекуррентная формула для $s_n = \sin(\omega n+\varphi)$. При $n=0$ это $\sin\varphi$. Дальше, когда известно $s_n$,

$$s_{n+1} = \sin(\omega n+\omega+\varphi) = \sin(\omega n+\varphi)\cos\omega + \sin\omega\cos(\omega n+\varphi) = s_n\cos\omega + c_n\sin\omega,$$

где $c_n = \cos(\omega n+\varphi)$, и формулы для $c_n$, конечно, тоже легко видны.

Получились взаимные рекуррентности для $s$ и $c$. Если использовать $s_{n-1}$, можно избавиться от $c$. Аналогичным образом можно составить рекуррентности для суммы синусов, но, опять же, какой смысл? Значения $n$ независимых генераторов синусоиды, по-моему, всяко полезнее, чем одно значение суммы. У первых перед суммированием можно свободно менять амплитуды — у фиксированного генератора придётся сменить все посчитанные вначале веса и пересчитать много начальных значений новой суммы. И т. д..

[Panfilov]

arseniiv
День добрый! Как я понял, Вы говорите о том, что за счет рекуррентности преобразований можно составить генератор для суммы n синусойд. Огромное спасибо, возможно это и есть ответ на один из моих вопросов! Хотя Вы справедливо указываете на трудности.

И вместе с тем, изначально предложенная формула является больше, простите за термин, экстраполятором.
Из трех параметров для каждой синусойды (амплитуда, период, фаза) то есть 12 для 4-х синусойд ей требуется только 4 периода. Остальные парметры она считывает с 8-ми точек минимально необходимых для генерации 9-ой.

Такие уравнения называются разностными, рекуррентными, возвратными. Последняя изданная по этой теме книга которую я видел (кстати благодаря этому форуму) это "Моделирование разностных уравнений" Леонида Алексеевича Мироновского Санкт-Петербург 2004 г.

Для иллюстрации. Если взять четыре стержня связанных шарнирами, вращающихся в одной плоскости. То для определения траектории любой точки этой конструкции необходимо 8 последовательных замеров координат х,у этой точки и знание угловой скорости вращения каждого из 4х шарниров. 4ый шарнир крепит конструкцию к основанию.

При необходимости могу приложить файл иллюстрирующий работу формулы. Как это можно сделать на этом форуме?

Вопросы первого поста связаны с желанием понять в какой области математики эта тема проработана глубже. Например по 12 точкам для 4-х синусойд строить 13-ую без задания внешних параметров.

[arseniiv]

Panfilov в сообщении #919828 писал(а):

Хотя Вы справедливо указываете на трудности.

Какие трудности? Я указал только на нецелесообразность в общем случае.

Panfilov в сообщении #919828 писал(а):

Из трех параметров для каждой синусойды (амплитуда, период, фаза) то есть 12 для 4-х синусойд ей требуется только 4 периода. Остальные парметры она считывает с 8-ми точек минимально необходимых для генерации 9-ой.

Этот факт неудивителен. Если вы посмотрите на рекуррентность для $s_n$ через $s_{n-1}$ и $s_{n-2}$ (вы же её вывели до конца по моему началу?), то увидите, что там тоже нужен только период, а амплитуда и начальная фаза «засунуты» в два первых члена.

Panfilov в сообщении #919828 писал(а):

Вопросы первого поста связаны с желанием понять в какой области математики эта тема проработана глубже. Например по 12 точкам для 4-х синусойд строить 13-ую без задания внешних параметров.

Не знаю, нужна ли для этого какая-то особенная область математики. Соотношения выводятся на ура, или почти на ура — в зависимости от знаний.

Panfilov в сообщении #919828 писал(а):

При необходимости могу приложить файл иллюстрирующий работу формулы. Как это можно сделать на этом форуме?

Лично мне «работа» формулы понятна. Если кто-то попросит — то формулы здесь можно написать так же, как в вашем первом сообщении — в $\TeX$е.

[Panfilov]

arseniiv в сообщении #919851 писал(а):

Соотношения выводятся на ура, или почти на ура — в зависимости от знаний.

Да. Я и пытаюсь уменьшить свое незнание.

[arseniiv]

Так в чём вопрос?