Возведение отриц. числа в степень. Ошибка в учебнике?

[Sergei32]

Да, я понимаю, что отрицательное число можно преобразовать к положительному, и наоборот. Умножить, например, отрицательное число на минус единицу - получится положительное.

Mikhail_K в сообщении #1244164 писал(а):

Минус употребляется в двух смыслах: 1) вычитание; 2) операция взятия противоположного числа.
Понимать минус как знак, обозначающий отрицательное число, категорически неправильно и вредно, так как приводит к ошибкам. Потому что $-x$ вполне может быть положительным числом.

Тогда у меня возникает вопрос касательно записи/обозначения отрицательных чисел. Так, есть запись числа и есть формула/выражение - т.е. последовательность действий над числами/буквами. Натуральные числа мы можем представить в виде и одного и второго. Т.е. число 5, мы можем записать и просто в виде пятерки, и в виде суммы тройки и двойки. Но последнее будет выражением, обозначающим последовательность действий (формулой(?)). Так вот, что касается отрицательного числа - оно что, записывается только как выражение-последовательность действий - т.е. как операнд взятия противоположного числа/вычитание и то, что называется "модулем"?
Также становится непонятным смысл понятия "знак числа" в контексте целых чисел. Ну есть же такое понятие, как "знак числа". Вот, из Википедии например:

Цитата:

в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус)

Получается, что никакого обозначения т.е. знака у отрицательных чисел и нету. А есть лишь выражение, из которого получается такая сущность, как отрицательное число? Не понимаю...Во всех пройденных материалах все-время было понятие "знак числа", а оно, получается, ложно в большее широкой перспективе...

-- 31.08.2017, 21:57 --

arseniiv в сообщении #1244185 писал(а):

Sergei32 в сообщении #1244165 писал(а):

У меня баттхёрт наступает от того, что отрицательное число всегда надо рассматривать, как взятие противоположного числа от модуля этого отрицательного числа...

Думаю, тут ещё стоит добавить то, что не надо путать выражения и их значения. Выражения $-3, (-1)\cdot3, -1\cdot3\equiv-(1\cdot3), -(-(-3)), 0-3$ имеют значением одно и то же число (притом отрицательное); выражения $3, 0+3, -(-3)$ — тоже одно и то же число (другое и положительное). Сами целые числа (и другие математические объекты) определяются не тем, как они записываются, а через свойства операций над ними. Запись же $-\text{натуральное}$ для обозначения отрицательных чисел предпочитается, например, потому что самая короткая.

Не уверен, что полностью понял Вас. Ну вот есть натуральное число "3". Записывается, как "3" (три). Или есть десятичная дробь "3,3". Я понимаю, что можно так или иначе указать контекст, в котором эти записи будут обозначать нечто иное. Но все-таки у нас же есть возможность записать эти числа без применения таких сущностей, как операнды (плюс, минус, и т.д.). А в отношении отрицательных чисес получается, что нету? Т.е. знак минуса в отношении отрицательного числа не относится к обозначению самого по себе отрицательного числа, а является обязательно операндом...Вот это мне и не понятно.

[arseniiv]

Sergei32 в сообщении #1244191 писал(а):

Я понимаю, что можно так или иначе указать контекст, в котором эти записи будут обозначать нечто иное.

Я как раз имел в виду другое: что у многих выражений одно и то же значение. А то, что удобнее не выдумывать особенных обозначений для вещей, которые простым образом выражаются через общепризнанные, подразумевалось самим собой разумеющимся. И если минусу в обычной записи отрицательных чисел ещё можно попытаться придать особенный статус, то что будем делать с числами $\sqrt2$, $\pi$ или $\sin 1$? Перечислением цифр их, к примеру, не задашь, потому что иррациональные. Даже когда у числа есть каноническая запись, вопрос равнозначности нескольких разных записей никуда не девается. Он может быть простым (ясно, что $-(-28)/7 = 2 + 2$), может быть сложным, но такова математика — а вот в бытовой он в любом случае никак не проявляется, так что забейте.

Sergei32 в сообщении #1244191 писал(а):

Но все-таки у нас же есть возможность записать эти числа без применения таких сущностей, как операнды (плюс, минус, и т.д.).

Не операнды, а операции. В любом случае вы запишете выражение, а число — это его значение. Записать можно. Есть, например, $(2n+1)$-ичные системы счисления с цифрами $-n,-n+1,\ldots,0,\ldots,n-1,n$, отрицательные из которых обозначаются надчёркиванием: $\bar1,\bar2,\bar3,\ldots$ — и в которых целые числа выразимы все без всяких смен знака (например, в системе с цифрами $\bar1,0,1$ число с десятичной записью $-8 = -1\cdot3^2 + 0\cdot3 + 1\cdot1$ будет записываться $\bar101$, а 8 будет записываться $10\bar1$). Или можно для записи $-1234$, скажем, использовать перевёрнутые цифры $\rotatebox{180}{4321}$ или другие знаки. Главное, что $-1234$ останется общепринятой записью, потому что состоит в простых отношениях с десятичной записью — тоже ужасно распространённой — и унарным минусом. Который тоже ужасно распространён, даже если вы не знаете, что это унарная операция — вы ведь наверняка понимаете ну хоть то же определение модуля числа, где минус стоит перед произвольным числом и обозначает смену знака.

$n$-арная операция — это просто функция, которая $n$ элементам какого-то множества сопоставляет элемент из него же, вот и всё. Бинарная (от лат. 2) операция + на целых числах сопоставляет двум целым ещё одно, унарная (от лат. 1) операция − сопоставляет одному числу число.

[Sergei32]

Спасибо за науку Сегодня я увидел давно привычные вещи в достаточно ином свете!

p.s: "Операторы" - хотел сказать. Минус - оператор.

[Munin]

Чему равно $-x,$ если $x=-2y,$ а $y=-3$?

[GAA]

$-x$ равно $-6$.
Сомнения ТС могли быть вызваны опытом работы с калькуляторами или программами для достаточно простых расчетов, в которых для упрощения ввода выражений (уменьшения числа скобок) используется нестандартный приоритет унарного минуса.

«Более чем обсудили». Ошибки или некорректности в учебнике нет. Закрыто.

10 сентября 2017 ветка перенесена в Чулан и прилеплена (поскольку близких веток уже было на форуме и в теме подробные ответы участников).