найти главный член асимптотики

[zoo]

$e^{x^{3/2}}(\int_0^{+\infty}e^{-s^{3/2}}ds-\int_0^{x}e^{-s^{3/2}}ds)$ при $x\to+\infty$

[arqady]

Вот так красивее, имхо:

zoo писал(а):

$$e^{x^{3/2}}\left(\int_0^{+\infty}e^{-s^{3/2}}ds-\int_0^{x}e^{-s^{3/2}}ds\right)$ при $x\to+\infty$$

[Руст]

Это очень просто, используйтеЖ

$$e^{x^{3/2}}\left(\int_0^{+\infty}e^{-s^{3/2}}ds-\int_0^{x}e^{-s^{3/2}}ds\right)=\int_x^{\infty}exp(x^{3/2}-s^{3/2})ds.$$

[ewert]

с последующими заменами $s=xt$ и затем $1-t^{3/2}=-z$. Ну а потом вылавливайте сколько влезет членов.

[zoo]

ewert писал(а):

с последующими заменами $s=xt$ и затем $1-t^{3/2}=-z$. Ну а потом вылавливайте сколько влезет членов.

я не хочу сказать, что задача сложная, но пока мне не понятно, что из этого скледует:oops:

[RIP]

Да просто банально интегрируем по частям.

$$-\frac23e^{x^{3/2}}\int_x^\infty s^{-1/2}de^{-s^{3/2}}=\frac23x^{-1/2}-\frac13e^{x^{3/2}}\int_x^\infty s^{-3/2}e^{-s^{3/2}}ds=$$

$$=\frac23x^{-1/2}+o\left(e^{x^{3/2}}\int_x^\infty e^{-s^{3/2}}ds\right),$$

т.е.

$$e^{x^{3/2}}\int_x^\infty e^{-s^{3/2}}ds\sim\frac23x^{-1/2}.$$

Или сразу свести к неполной гамма-функции и посмотреть какой-нибудь справочник

$$\Gamma(a,x)=\int_x^\infty t^{a-1}e^{-t}dt\sim\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma(a)}{\Gamma(a-n+1)}x^{a-n}e^{-x}.$$

[zoo]

туплю туплю

[ewert]

zoo писал(а):

ewert писал(а):

с последующими заменами $s=xt$ и затем $1-t^{3/2}=-z$. Ну а потом вылавливайте сколько влезет членов.

я не хочу сказать, что задача сложная, но пока мне не понятно, что из этого скледует:oops:

По новой переменной $z$ достаточно интегрировать в пределах от 0 до, скажем, 1/2 (хвосты экспоненциально малы). Тогда получающийся после замены степенной множитель раскладывается в биномиальный ряд. Полученные слагаемые -- да, неполные гамма-функции; однако при иксах, уходящих на бесконечность, каждое из них экспоненциально стремится к полной.

[Руст]

Если точно, то $\frac{2}{3\sqrt x} [1-x^{-3/2}/3+...+(-1)^kx^{-3k/2}(1/3)(4/3)...((3k-2)/3)+...]$.

[zoo]

ребят, спасибо, уже давно все понятно