спираль охватывающая всё пространство

[mihaild]

svv в сообщении #1242367 писал(а):

Мне подошла бы кривая $\gamma: \mathbb R\to\mathbb R^3$ без самопересечений, которая к любой точке пространства подходит как угодно близко:
$\forall \varepsilon>0\; \forall \mathbf r \;\exists t: \; |\gamma(t)-\mathbf r|<\varepsilon$

Нумеруете рациональные числа, и $[n; n+1]$ отображаете в какую-нибудь ломаную, соединяющую $x_n$ и $x_{n+1}$, не пересекающуюся с предыдущими участками (такая точно есть, т.к. пространство после выкидывания ломаной связно).

[Soul Friend]

так, есть ли доказательство или опровержение гипотезы о существовании кривой (однонаправленной, строющуюся вокруг одной точки), замещающий всё пространство?

[Mikhail_K]

Soul Friend в сообщении #1242378 писал(а):

(но мой рисунок ведь тоже можно интерпретировать как приближения?)

Нет, нельзя. Если Вы будете делать свою спираль всё более и более густой, то такая последовательность линий "не имеет предела". Предельной линии не существует потому, что нельзя построить Вашу спираль с шагом, равным точно нулю. А вот кривая Пеано - это вполне определённая кривая, к которой в определённом смысле "стремятся" её приближения.

Чтобы это понять, Вам нужно вначале изучить определение кривой по Жордану - что можно считать кривой, а что нельзя. И потом уловить в конструкции кривой Пеано главное - почему она действительно является непрерывной кривой, зарисовывающей весь квадрат.

[Soul Friend]

Даны два соприкасающихся круга с радиусами $r=1$, один круг вращается вокруг второй. По мере вращения, на второй круг (на тот что вращается) наматывается нить толщиной $x$ , и радиус вращающегося круга увеличивается. Какая будет формула спирали которую будет чертить центр вращаюшегося круга?

$$((2x \pi)/360)\cdot a$$

где $a$ количество градусов оборота?

[Mikhail_K]

Soul Friend в сообщении #1242776 писал(а):

Даны две соприкасающиеся точки, одна точка кружится вокруг второй. По мере вращения, на вторую точку (на ту что вращается) наматывается нить толщиной $x$ , и радиус кружащей точки увеличивается. Какая будет формула спирали которую будет чертить движущаяся точка?

Что такое "соприкасающиеся точки"? Две точки либо совпадают, либо отстоят друг от друга на какое-то расстояние. Что такое "радиус кружащей точки"? У точек не бывает радиусов.

Или "точки" на самом деле не точки, а круги? Сформулируйте вопрос более внятно.

[Soul Friend]

Даны два соприкасающихся круга с радиусами $r=1$, один круг вращается вокруг второй. По мере вращения, на второй круг (на тот что вращается) наматывается нить толщиной $x$ , и радиус вращающегося круга увеличивается. Какая будет формула спирали которую будет чертить центр вращаюшегося круга?

$$((2x \pi)/360)\cdot a$$

где $a$ количество градусов оборота?
Радиус будет увеличиваться, но по какому соотношению?

[Yodine]

Теорема Хана-Мазуркевича: локально связные множества являются непрерывными образами отрезка. Гуглим многомерный кирпич Гильберта, кривые Мортона.

[arseniiv]

Soul Friend в сообщении #1242776 писал(а):

где $a$ количество градусов оборота

Да не используйте вы градусы. Естественная мера угла, если вы решили пользоваться распространёнными математическими средствами — радианная.

[Soul Friend]

интересно, как теорема Хана-Мазуркевича уживается с парадоксом Банаха-Тарского? Не противоречат ли они друг другу.

[mihaild]

А как они связаны, и что там могло бы чему "противоречить" (и в каком смысле)?

[Soul Friend]

Возьмём более сильный вариант парадокса "Любые два ограниченных подмножества трёхмерного евклидова пространства с непустой внутренностью являются равносоставленными." - копипаст с википедии. Как я понял, из кривой Гильберта, заполняющего пространство, можно составить такие же два, равнозначных с исходным. Но если пространство уже заполнено, то как может в нем уместиться ещё одно?

[mihaild]

Не очень понятно, что вам не нравится. Парадокс Банаха-Тарского утверждает, что между любыми двумя множествами хорошими множествами существует биекция определенного вида (а именно - можно разбить множество на конечное число частей так, что ограничение нашей биекции на каждую из них - изометрия). Интересно тут только что биекция специфическая; просто континуальность подмножеств конечномерного пространства с непустой внутренностью - гораздо более простой факт.
Что вы там дальше хотите сделать с заполняющей кривой и что такое "равнозначные множества" - не понимаю.
Сохранится ли ваше "удивление", если вместо использования парадокса Банаха-Тарского мы возьмем биекцию скажем шара на отрезок?