Эквивалентность счетных множеств

[permutation]

@ Someone, я вам уже второй раз говорю: эту тривиальность автору темы пытались обьяснить более одного раза. Я попытался "другими словами".

[Aritaborian]

Плохо попытались. Сами путаетесь и других пытаетесь запутать. Не по умышлению, конечно, но что это меняет.

(Про собачку)

Здесь нет необходимости добавлять @ или что-то другое, если вы хотите выделить свой текст именно как обращение к конкретному участнику. Работает подсистема «Топорик» «Рупор»: при упоминании Имени участника, выделенного полужирным (цвет неважен), он узнает, что его упоминали в данном конкретном посте.

[permutation]

Aritaborian, допустим $a \in A, a = b, |A| = 1.$. Тогда $b \in A$. Можно сказать $A = \{a\} = \{b\}$. Вы с этим согласны? Тут спор на пустом месте.

[provincialka]

permutation в сообщении #1243248 писал(а):

пытались обьяснить более одного раза. Я попытался "другими словами"

Дело малоблагодарное, но попробую тоже. Запись $\{1,1,2\}$ -- это не множество, а список элементов. С помощью которого можно описать множество. Как и с помощью списка $\{1,2\}$ или, скажем, $\{2,1\}$

[Aritaborian]

permutation в сообщении #1243267 писал(а):

Тут спор на пустом месте.

Да, на пустом холме, на котором растут воображаемые вами три сосны. Так не влезайте в спор, создайте свой топик, в котором все желающие помогут вам выкорчевать эти деревья и разобраться.

[mihaild]

Давайте подождем Sinoid, а то спорить о том, как ему лучше объяснять, без него - конечно интересно, но вряд ли полезно.

[permutation]

Aritaborian

(Оффтоп)

Aritaborian писал(а):

Да, на пустом холме, на котором растут воображаемые вами три сосны. Так не влезайте в спор, создайте свой топик, в котором все желающие помогут вам выкорчевать эти деревья и разобраться.

Драсти. Во-первых, вы влезли в чужой спор. Во-вторых, словоблудие - не аргумент. Говорят когда нечего сказать, лучше промолчать. Пожалуйста, больше не обращайтесь ко мне с такой ерундой - времени жалко.

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1243276 писал(а):

Запись $\{1,1,2\}$ -- это не множество, а список элементов. С помощью которого можно описать множество

Хорошая переформулировка.

provincialka в сообщении #1243276 писал(а):

Дело малоблагодарное

Да я уже все понял. Выписываю бесконечную последовательность $f(0),\, f(1),\, f(2),\, f(3),\ldots$. Пусть $f(0)=f(1)$, но $f(0)\neq f(2)$. Начинаю смотреть, $f$ от каких натуральных чисел дает мне представление о элементах множества $A$, о которых я не знал до вычисления $f$ от этих чисел. Вот я вычислил $f(0)$. Т. к. до этого вычисления я вообще ничего не знал о элементах множества $A$, то это вычисление даст мне представление о входящих в $A$ элементах. Далее вычислил $f(1)$. Ба, да оно совпало с $f(0)$, непродуктивное вычисление, ничего оно мне не дало, В мое представление о элементах множества $A$ я его не буду включать (хотя я могу включить результат этого вычисления в список элементов множества $A$).

provincialka в сообщении #1243276 писал(а):

список элементов

Далее, вычисляю $f(2)$. Ага, оно отлично от вычисленного(-ых) ранее, я его включу в мое представление о множестве $A$ (и тем более я его включу в список элементов множества $A$). Т.к. множество $A$ бесконечно, то этот процесс не закончится никогда.

[Aritaborian]

Sinoid, ну что вам неясно в очень простом определении: последовательность есть функция, определённая на $\mathbb N$?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1243311 писал(а):

Начинаю смотреть, $f$ от каких натуральных чисел дает мне представление о элементах множества $A$, о которых я не знал до вычисления $f$ от этих чисел.

Так говорить можно, но только неформально.
Чуть менее неформально последовательность "существует сразу вся".
Еще формальнее - есть разные множества. Например, есть множество натуральных чисел, которое обозначается $\mathbb{N}$ (оно же обозначается, например $\{0, 1, \ldots\}$). А если есть два каких-то множества $a$ и $b$, то есть "упорядоченная пара" $\langle a, b\rangle$ из них $\{a, \{a, b\}\}$ - заметим, что если $a = b$, то $\langle a, b\rangle = \{a, \{a\}\}$ (и это не новое определение, а просто следствие из уже данного).
Наконец, множество $A$ пар вида $\langle x, y\rangle$ называется последовательностью, если первые элементы этих пар - это натуральные числа, причем каждое натуральное число является первым элементом ровно одной пары. Тогда множество $Y = \{y | \exists x \in \mathbb{N}: \langle x, y\rangle \in A\}$ - множество членов последовательности.

[Aritaborian]

permutation, давайте поспорим на холме без сосен, кто из нас имеет больше знаний и обладает, возможно, большим правом, здесь кого-то учить.

[Toucan]

permutation, Aritaborian, большая просьба прекратить оффтопик вообще и выяснение отношений в частности.

[realeugene]

Mikhail_K в сообщении #1242850 писал(а):

Под "счётными множествами" авторы понимают немного не то, что обычно называют счётными множествами в литературе. В терминологии авторов, к "счётным множествам" относятся и "настоящие счётные" (т.е. бесконечные счётные), и конечные множества, в т.ч. и одноэлементные (если функция - это константа). Ничего страшного в этом нет, авторы имеют право вводить свою терминологию.

Любопытно, что если в русскоязычной Википедии счётными называются только бесконечные множества, то в англоязычной Википедии "Countable set" определено как множество, равномощное некоторому подмножеству натуральных чисел, т. е. включая конечные множества, но при этом есть упоминание про то, что некоторые авторы называют счётными только бесконечные счётные множества.

-- 27.08.2017, 08:45 --

Someone в сообщении #1243211 писал(а):

Это в аксиомах равенства сказано: "объекты равны" означает, что они полностью взаимозаменяемы во всех ситуациях, то есть, мы никаким способом не можем их различить. Поэтому "равные объекты" — это "один и тот же объект". Возможно, под разными именами.

Строго говоря, да, но, с другой стороны, в математической традиции, также, не различать изоморфные объекты, хоть они и различные. В тех случаях, где это "не приводит к неоднозначности", разумеется.

-- 27.08.2017, 09:26 --

Sinoid в сообщении #1243311 писал(а):

Да я уже все понял.

Далеко не всё. Ваш вывод неприменим к невычислимым множествам. В общем, это нужно прочувствовать. Неформально, в природе существует ровно одна единица, или все единицы неразличимы. Можно различать только места в выражениях, где встречается обозначение единицы.

[Someone]

realeugene в сообщении #1243341 писал(а):

Любопытно, что если в русскоязычной Википедии счётными называются только бесконечные множества, то в англоязычной Википедии "Countable set" определено как множество, равномощное некоторому подмножеству натуральных чисел, т. е. включая конечные множества, но при этом есть упоминание про то, что некоторые авторы называют счётными только бесконечные счётные множества.

Это далеко не уникальный случай расхождений в терминологии.

realeugene в сообщении #1243341 писал(а):

Строго говоря, да, но, с другой стороны, в математической традиции, также, не различать изоморфные объекты, хоть они и различные. В тех случаях, где это "не приводит к неоднозначности", разумеется.

Это у Вас какая-то странная традиция. Изоморфные объекты очень даже различаются. Если в случае равенства объекты различаются только именами, то в случае изоморфизма (или гомеоморфизма) объекты обычно просто разные. Хотя между ними можно установить соответствие, удовлетворяющее определённым условиям.

-- Вс авг 27, 2017 11:17:48 --

realeugene в сообщении #1243341 писал(а):

Ваш вывод неприменим к невычислимым множествам.

Причём тут невычислимые множества? В теории множеств нет ни вычислимых, ни невычислимых множеств. Это вообще из другой математической теории (рекурсивный анализ).

realeugene в сообщении #1243341 писал(а):

Неформально, в природе существует ровно одна единица, или все единицы неразличимы.

Извините, это бред. В природе вообще нет никаких единиц. А в алгебре есть множество алгебраических структур с единицами, и даже если структуру фиксировать (например, поле рациональных чисел), то она существует вовсе не в единственном экземпляре. Она может быть определена на разных множествах.

[realeugene]

Someone в сообщении #1243380 писал(а):

Это у Вас какая-то странная традиция.

Писать $f(x)\in L_2$ несмотря на то, что $L_2$ по построению не содержит ни одной функции, всё-таки не я придумал. И так часто делают, отождествляя классы эквивалентности и их представителей, когда это не может привести к недоразумениям.

Someone в сообщении #1243380 писал(а):

Причём тут невычислимые множества?

К тому, что ТС пытается пронумеровать элементы рассматриваемого им множества каким-то своим алгоритмом.

Someone в сообщении #1243380 писал(а):

В природе вообще нет никаких единиц.

Хотите начать философский диспут "о природе единицы"? Вопрос, конечно, интересный, но в данной теме это оффтопик.

Someone в сообщении #1243380 писал(а):

Она может быть определена на разных множествах.

Верное замечание. Я подразумевал натуральную единицу.