Преобразования Лоренца для времени

[student1138]

Добрый день.
Разобрался с релятивистским замедлением времени но не могу ясно понять как в преобразованиях Лоренца для времени появляется член $-vx/c^2$.
Причем, вывод самого значения $-vx/c^2$ отдельно я тоже разобрал - на примере движущегося поезда в котором источник света помещают в такую точку чтобы в неподвижной системе свет одновременно достиг противоположных концов поезда.

Аналогичное проделал для преобразований координат. Там все привычно - складываем сдвиг начала координат движущейся системы ($vt$) и координату тела, учитываем Лоренцево сокращение длины и замедление времени и все получается. Как я понимаю сдвиг времени при преобразованиях $t$ аналогичен сдвигу начала координат при преобразованиях $x$. Но вот не могу придумать правильный эксперимент чтобы аккуратно собрать воедино эти результаты - замедление времени и отставание часов на величину $-vx/c^2$.

[realeugene]

Синхронизация двух взаимно неподвижных часов при помощи обмена между ними световыми сигналами. Для них пространство изотропно, значит, свет должен в обе стороны доходить за одинаковое время.

student1138 в сообщении #1242716 писал(а):

Как я понимаю сдвиг времени при преобразованиях $t$ аналогичен сдвигу начала координат при преобразованиях $x$.

Нет. обратите внимание, что этот "сдвиг времени" прямо пропорционален координате.

[Pphantom]

student1138 в сообщении #1242716 писал(а):

Разобрался с релятивистским замедлением времени но не могу ясно понять как в преобразованиях Лоренца для времени появляется член $-vx/c^2$.

В такой постановке трудно понять, что Вы не понимаете. Преобразования Лоренца можно вывести независимо от сокращения масштабов / замедления часов (получив потом эти эффекты как следствия уже имеющихся преобразований), что, по описанию, Вы уже тоже сделали.

[student1138]

Pphantom в сообщении #1242726 писал(а):

student1138 в сообщении #1242716 писал(а):

Разобрался с релятивистским замедлением времени но не могу ясно понять как в преобразованиях Лоренца для времени появляется член $-vx/c^2$.

В такой постановке трудно понять, что Вы не понимаете. Преобразования Лоренца можно вывести независимо от сокращения масштабов / замедления часов (получив потом эти эффекты как следствия уже имеющихся преобразований), что, по описанию, Вы уже тоже сделали.

Есть разные способы вывода - сначала вывести преобразования Лоренца а из них выводить релятивистские эффекты. Но есть и другой способ - сначала вывести релятивисткие эффекты (относительность одновременности, замедление времени, сокращение длины) а из них уже преобразования Лоренца. Второй способ для меня проще и нагляднее поэтому я пробую разобраться в нем.

Попробую описать поподробнее. Итак, на известном примере поезда с источником света на полу и зеркалом на потолке, движущегося со скоростью $v$ мы вывели формулу замедления времени: $t = \frac{t'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$. Здесь $t'$ - время между событиями (излучение света и возвращение обратно к источнику) в СО поезда а $t$ - время между теми же событиями в неподвижной СО. Сам вывод этой формулы технически понятен.

Дальше сложнее. Я приблизительно понимаю что эта формула не годится для преобразования времени в разных точках $x'$ потому что в разных точках должно получаться разное время. Иначе нарушится относительность одновременнсти (будет получаться что одновременные в одной системе события всегда одновременны и в другой). Но вот что-то дальше мысль не идет.

[Pphantom]

student1138 в сообщении #1242737 писал(а):

Второй способ для меня проще и нагляднее

Пожалуй, можно считать экспериментально доказанным, что это не так. В общем-то этот вариант используется весьма редко именно в силу его неестественности. Из более-менее распространенных учебников, кажется, он есть только в одном ("Основные законы механики" Иродова).

[DimaM]

Мне нравится такой способ.
"Подправляем" преобразования Галилея для координаты с сохранением линейности: $x'=\Gamma(x-Vt)$. Обратное преобразование из равноправности СО будет $x=\Gamma(x'-Vt')$.
Затем воспользуемся инвариантностью скорости света. Пусть в точке $x=x'=0$ в момент времени $t=t'=0$ происходит вспышка. Координаты передней точки светового фронта $x=ct$ и $x'=ct'$ соответствуют одному и тому же событию. Подставляем это в выражения для преобразований, исключая время, находим $\Gamma$. Далее подставляем $x'$ из первого выражения во второе и получаем преобразование для времени.

[george66]

Посмотрите книжку Либшер "Теория относительности с циркулем и линейкой"

[student1138]

Хорошо, пробую зайти с другой стороны. Разбираю вывод преобразований в учебнике Матвеева. Непонятны выводы подчеркнутые красным цветом:


1) Автор утверждает что раз $y$ и $z$ не зависят от $x$ и $t$ значит $x$ и $t$ не зависят от $y$ и $z$. Я не понимаю этого вывода. Если мы говорим о каких-то произвольных функциях то $x$ и $t$ могут зависеть от $y$ и $z$

2) Автор утверждает что в силу линейности преобразования оно должно иметь вид 14.10. Этого я тоже не понимаю - общий вид линейной функции $x' = Ax + Bt + C$. Не понимаю почему, раз начало отсчета штрихованной системы находится в точке $vt$, то преобразование обязательно должно иметь вид 14.10

[Pphantom]

student1138 в сообщении #1242752 писал(а):

1) Автор утверждает что раз $y$ и $z$ не зависят от $x$ и $t$ значит $x$ и $t$ не зависят от $y$ и $z$. Я не понимаю этого вывода.

Вообще-то отношение "зависеть от" является симметричным. Или вопрос в том, почему $y$ и $z$ не зависят от $x$ и $t$?

student1138 в сообщении #1242752 писал(а):

2) Автор утверждает что в силу линейности преобразования оно должно иметь вид 14.10. Этого я тоже не понимаю - общий вид линейной функции $x' = Ax + Bt + C$. Не понимаю почему, раз начало отсчета штрихованной системы находится в точке $vt$, то преобразование обязательно должно иметь вид 14.10

В пределе $v \to 0$ искомые преобразования по условию должны превратиться в тождественные. Отсюда можно сделать вывод о том, каким должен быть свободный член в линейной зависимости.

[student1138]

Цитата:

Вообще-то отношение "зависеть от" является симметричным.

Кажется понял. Если бы $x$ каким-то образом выражался через $y$, например, то решив уравнение, можно было бы найти выражение для $y$ через $x$. Т.е. $y$ зависел бы от $x$, а это не так

Цитата:

В пределе $v \to 0$ искомые преобразования по условию должны превратиться в тождественные.

Не совсем понял какие два выражения должны стать тождественными и почему? Я $C$ зря написал, где-то выше автор доказал что он равен нулю. Пусть в нашем случае общий вид линейной функции $x' = Ax + Bt$.

[Pphantom]

student1138 в сообщении #1242757 писал(а):

Не совсем понял какие два выражения должны стать тождественными и почему? Я $C$ зря написал, где-то выше автор доказал что он равен нулю.

Ну вот этот факт я и собирался доказывать. Поскольку Вы толком не пишете, какие конкретно детали Вам непонятны, приходится их угадывать.

student1138 в сообщении #1242757 писал(а):

Пусть в нашем случае общий вид линейной функции $x' = Ax + Bt$.

Вы можете представить его и в виде $x' = \alpha (x - v t)$, при произвольных значениях $\alpha$ и $v$ это столь же общее представление. Почему там появилась именно относительная скорость СО, понятно?

[student1138]

Цитата:

Вы можете представить его и в виде $x' = \alpha (x - v t)$, при произвольных значениях $\alpha$ и $v$ это столь же общее представление.

Формально понятно.

Цитата:

Почему там появилась именно относительная скорость СО, понятно?

Не понимаю почему именно в таком виде автор представил зависимость, хотя формально это соответствует общему виду линейной функции.

[Pphantom]

student1138 в сообщении #1242765 писал(а):

Не понимаю почему именно в таком виде автор представил зависимость, хотя формально это соответствует общему виду линейной функции.

Начало отсчета штрихованной СО по условию движется в нештрихованной СО со скоростью $v$. Поскольку в пределах какой-то одной СО работает обычная классическая кинематика (это, кстати, важное и полезное утверждение, которое обычно плохо осознается), то в момент $t$ координата начала отсчета штрихованной СО в нештрихованной СО равна $v t$. Следовательно, точка в нештрихованной СО с координатой и временем $(v t, t)$ в штрихованной СО должна соответствовать $(0, \dots )$. Это - условие на коэффициенты линейной зависимости, из которого можно получить, что $A$ и $B$ (в Вашем варианте обозначений) связаны соотношением вида $B/A = -v$. После этого остается только переобозначить $A$ как $\alpha$ и нужный вид линейной зависимости готов.

[student1138]

Вроде начинаю понимать но вот этот момент хочу уточнить:

Цитата:

Следовательно, точка в нештрихованной СО с координатой и временем $(v t, t)$ в штрихованной СО должна соответствовать $(0, \dots )$

А почему мы уверены что $vt$ в нештрихованной системе соответствует $0$ в штрихованной? С одной стороны вроде бы логично: начало координат в нештрихованной системе отображается в начало координат в штрихованной а там по определению его координата $0$. С другой стороны мы же говорим о каком-то произвольном отображении. Оно же может отобразить $vt$ не в ноль а в произвольную точку?

[Walker_XXI]

student1138 в сообщении #1242787 писал(а):

А почему мы уверены что $vt$ в нештрихованной системе соответствует $0$ в штрихованной? С одной стороны вроде бы логично: начало координат в нештрихованной системе отображается в начало координат в штрихованной а там по определению его координата $0$. С другой стороны мы же говорим о каком-то произвольном отображении.

Вы привели картинку из Матвеева, подчеркнув там два фрагмента. Аккурат между подчёркнутыми фрагментами пояснение, почему "$vt$ в нештрихованной системе соответствует $0$ в штрихованной"