2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 12:56 


03/07/15
200
Добрый день.
Разобрался с релятивистским замедлением времени но не могу ясно понять как в преобразованиях Лоренца для времени появляется член $-vx/c^2$.
Причем, вывод самого значения $-vx/c^2$ отдельно я тоже разобрал - на примере движущегося поезда в котором источник света помещают в такую точку чтобы в неподвижной системе свет одновременно достиг противоположных концов поезда.

Аналогичное проделал для преобразований координат. Там все привычно - складываем сдвиг начала координат движущейся системы ($vt$) и координату тела, учитываем Лоренцево сокращение длины и замедление времени и все получается. Как я понимаю сдвиг времени при преобразованиях $t$ аналогичен сдвигу начала координат при преобразованиях $x$. Но вот не могу придумать правильный эксперимент чтобы аккуратно собрать воедино эти результаты - замедление времени и отставание часов на величину $-vx/c^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 13:24 


27/08/16
10235
Синхронизация двух взаимно неподвижных часов при помощи обмена между ними световыми сигналами. Для них пространство изотропно, значит, свет должен в обе стороны доходить за одинаковое время.

student1138 в сообщении #1242716 писал(а):
Как я понимаю сдвиг времени при преобразованиях $t$ аналогичен сдвигу начала координат при преобразованиях $x$.
Нет. обратите внимание, что этот "сдвиг времени" прямо пропорционален координате.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 13:35 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
student1138 в сообщении #1242716 писал(а):
Разобрался с релятивистским замедлением времени но не могу ясно понять как в преобразованиях Лоренца для времени появляется член $-vx/c^2$.
В такой постановке трудно понять, что Вы не понимаете. Преобразования Лоренца можно вывести независимо от сокращения масштабов / замедления часов (получив потом эти эффекты как следствия уже имеющихся преобразований), что, по описанию, Вы уже тоже сделали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 14:01 


03/07/15
200
Pphantom в сообщении #1242726 писал(а):
student1138 в сообщении #1242716 писал(а):
Разобрался с релятивистским замедлением времени но не могу ясно понять как в преобразованиях Лоренца для времени появляется член $-vx/c^2$.
В такой постановке трудно понять, что Вы не понимаете. Преобразования Лоренца можно вывести независимо от сокращения масштабов / замедления часов (получив потом эти эффекты как следствия уже имеющихся преобразований), что, по описанию, Вы уже тоже сделали.

Есть разные способы вывода - сначала вывести преобразования Лоренца а из них выводить релятивистские эффекты. Но есть и другой способ - сначала вывести релятивисткие эффекты (относительность одновременности, замедление времени, сокращение длины) а из них уже преобразования Лоренца. Второй способ для меня проще и нагляднее поэтому я пробую разобраться в нем.

Попробую описать поподробнее. Итак, на известном примере поезда с источником света на полу и зеркалом на потолке, движущегося со скоростью $v$ мы вывели формулу замедления времени: $t = \frac{t'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$. Здесь $t'$ - время между событиями (излучение света и возвращение обратно к источнику) в СО поезда а $t$ - время между теми же событиями в неподвижной СО. Сам вывод этой формулы технически понятен.

Дальше сложнее. Я приблизительно понимаю что эта формула не годится для преобразования времени в разных точках $x'$ потому что в разных точках должно получаться разное время. Иначе нарушится относительность одновременнсти (будет получаться что одновременные в одной системе события всегда одновременны и в другой). Но вот что-то дальше мысль не идет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 14:13 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
student1138 в сообщении #1242737 писал(а):
Второй способ для меня проще и нагляднее
Пожалуй, можно считать экспериментально доказанным, что это не так. :-) В общем-то этот вариант используется весьма редко именно в силу его неестественности. Из более-менее распространенных учебников, кажется, он есть только в одном ("Основные законы механики" Иродова).

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 14:20 
Заслуженный участник


28/12/12
7931
Мне нравится такой способ.
"Подправляем" преобразования Галилея для координаты с сохранением линейности: $x'=\Gamma(x-Vt)$. Обратное преобразование из равноправности СО будет $x=\Gamma(x'-Vt')$.
Затем воспользуемся инвариантностью скорости света. Пусть в точке $x=x'=0$ в момент времени $t=t'=0$ происходит вспышка. Координаты передней точки светового фронта $x=ct$ и $x'=ct'$ соответствуют одному и тому же событию. Подставляем это в выражения для преобразований, исключая время, находим $\Gamma$. Далее подставляем $x'$ из первого выражения во второе и получаем преобразование для времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 15:20 
Заслуженный участник


31/12/15
936
Посмотрите книжку Либшер "Теория относительности с циркулем и линейкой"

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 16:41 


03/07/15
200
Хорошо, пробую зайти с другой стороны. Разбираю вывод преобразований в учебнике Матвеева. Непонятны выводы подчеркнутые красным цветом:
Изображение

1) Автор утверждает что раз $y$ и $z$ не зависят от $x$ и $t$ значит $x$ и $t$ не зависят от $y$ и $z$. Я не понимаю этого вывода. Если мы говорим о каких-то произвольных функциях то $x$ и $t$ могут зависеть от $y$ и $z$

2) Автор утверждает что в силу линейности преобразования оно должно иметь вид 14.10. Этого я тоже не понимаю - общий вид линейной функции $x' = Ax + Bt + C$. Не понимаю почему, раз начало отсчета штрихованной системы находится в точке $vt$, то преобразование обязательно должно иметь вид 14.10

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 16:55 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
student1138 в сообщении #1242752 писал(а):
1) Автор утверждает что раз $y$ и $z$ не зависят от $x$ и $t$ значит $x$ и $t$ не зависят от $y$ и $z$. Я не понимаю этого вывода.
Вообще-то отношение "зависеть от" является симметричным. :-) Или вопрос в том, почему $y$ и $z$ не зависят от $x$ и $t$?
student1138 в сообщении #1242752 писал(а):
2) Автор утверждает что в силу линейности преобразования оно должно иметь вид 14.10. Этого я тоже не понимаю - общий вид линейной функции $x' = Ax + Bt + C$. Не понимаю почему, раз начало отсчета штрихованной системы находится в точке $vt$, то преобразование обязательно должно иметь вид 14.10
В пределе $v \to 0$ искомые преобразования по условию должны превратиться в тождественные. Отсюда можно сделать вывод о том, каким должен быть свободный член в линейной зависимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 17:03 


03/07/15
200
Цитата:
Вообще-то отношение "зависеть от" является симметричным.

Кажется понял. Если бы $x$ каким-то образом выражался через $y$, например, то решив уравнение, можно было бы найти выражение для $y$ через $x$. Т.е. $y$ зависел бы от $x$, а это не так
Цитата:
В пределе $v \to 0$ искомые преобразования по условию должны превратиться в тождественные.

Не совсем понял какие два выражения должны стать тождественными и почему? Я $C$ зря написал, где-то выше автор доказал что он равен нулю. Пусть в нашем случае общий вид линейной функции $x' = Ax + Bt$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 17:35 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
student1138 в сообщении #1242757 писал(а):
Не совсем понял какие два выражения должны стать тождественными и почему? Я $C$ зря написал, где-то выше автор доказал что он равен нулю.
Ну вот этот факт я и собирался доказывать. Поскольку Вы толком не пишете, какие конкретно детали Вам непонятны, приходится их угадывать.
student1138 в сообщении #1242757 писал(а):
Пусть в нашем случае общий вид линейной функции $x' = Ax + Bt$.
Вы можете представить его и в виде $x' = \alpha (x - v t)$, при произвольных значениях $\alpha$ и $v$ это столь же общее представление. Почему там появилась именно относительная скорость СО, понятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 17:53 


03/07/15
200
Цитата:
Вы можете представить его и в виде $x' = \alpha (x - v t)$, при произвольных значениях $\alpha$ и $v$ это столь же общее представление.

Формально понятно.
Цитата:
Почему там появилась именно относительная скорость СО, понятно?

Не понимаю почему именно в таком виде автор представил зависимость, хотя формально это соответствует общему виду линейной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 18:04 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
student1138 в сообщении #1242765 писал(а):
Не понимаю почему именно в таком виде автор представил зависимость, хотя формально это соответствует общему виду линейной функции.
Начало отсчета штрихованной СО по условию движется в нештрихованной СО со скоростью $v$. Поскольку в пределах какой-то одной СО работает обычная классическая кинематика (это, кстати, важное и полезное утверждение, которое обычно плохо осознается), то в момент $t$ координата начала отсчета штрихованной СО в нештрихованной СО равна $v t$. Следовательно, точка в нештрихованной СО с координатой и временем $(v t, t)$ в штрихованной СО должна соответствовать $(0, \dots )$. Это - условие на коэффициенты линейной зависимости, из которого можно получить, что $A$ и $B$ (в Вашем варианте обозначений) связаны соотношением вида $B/A = -v$. После этого остается только переобозначить $A$ как $\alpha$ и нужный вид линейной зависимости готов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 19:43 


03/07/15
200
Вроде начинаю понимать но вот этот момент хочу уточнить:
Цитата:
Следовательно, точка в нештрихованной СО с координатой и временем $(v t, t)$ в штрихованной СО должна соответствовать $(0, \dots )$

А почему мы уверены что $vt$ в нештрихованной системе соответствует $0$ в штрихованной? С одной стороны вроде бы логично: начало координат в нештрихованной системе отображается в начало координат в штрихованной а там по определению его координата $0$. С другой стороны мы же говорим о каком-то произвольном отображении. Оно же может отобразить $vt$ не в ноль а в произвольную точку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования Лоренца для времени
Сообщение24.08.2017, 22:08 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
student1138 в сообщении #1242787 писал(а):
А почему мы уверены что $vt$ в нештрихованной системе соответствует $0$ в штрихованной? С одной стороны вроде бы логично: начало координат в нештрихованной системе отображается в начало координат в штрихованной а там по определению его координата $0$. С другой стороны мы же говорим о каком-то произвольном отображении.

Вы привели картинку из Матвеева, подчеркнув там два фрагмента. Аккурат между подчёркнутыми фрагментами пояснение, почему "$vt$ в нештрихованной системе соответствует $0$ в штрихованной"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group