Не понимаю почему именно в таком виде автор представил зависимость, хотя формально это соответствует общему виду линейной функции.
Начало отсчета штрихованной СО по условию движется в нештрихованной СО со скоростью

. Поскольку в пределах какой-то одной СО работает обычная классическая кинематика (это, кстати, важное и полезное утверждение, которое обычно плохо осознается), то в момент

координата начала отсчета штрихованной СО в нештрихованной СО равна

. Следовательно, точка в нештрихованной СО с координатой и временем

в штрихованной СО должна соответствовать

. Это - условие на коэффициенты линейной зависимости, из которого можно получить, что

и

(в Вашем варианте обозначений) связаны соотношением вида

. После этого остается только переобозначить

как

и нужный вид линейной зависимости готов.