Помогите вычислить глубину погружения

[eugen.zha]

Всем доброго времени суток.
Собираемся строить плот, но никак не можем справиться с решением одной задачи. Требуется вычислить процент глубины погружения бочки в воду, зная процент погруженного объема. Бочка распологается горизонтально (лёжа).
То есть, известно $n = \frac {V_1}{V_2}$, где $V_2$ - объем бочки, а $V_1$ - объем погруженной ее части. Нужно узнать, на какую глубину она погрузилась (можно в процентах от диаметра бочки).
Так как $n$ равно соотношению площадей основания бочки и погруженного сегмента, получилось $n = \frac {\alpha - \sin(\alpha)}{2\pi}$, где $\alpha$ - это угол сектора. Он же в свою очередь вычисляется по определению косинуса $\alpha = \arccos(1 - 2x)$, где $x$ - это искомое отношение глубины погружения к диаметру бочки.
Таким путем вышло зубодробительное уравнение

$\frac {2\arccos(1 - 2x) - \sin(2\arccos(1 - 2x))} {2\pi} = n$, где $0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant n \leqslant 1$

Уравнение верное, проверил на наборе значений, но решить не могу, забыл все, чему учили.
Люди добрые, помогите пожалуйста. А то еще утопнем, не дай бог :)

[iifat]

Лучше б таки сначала почитать тутошние правила вообще и правила набора формул в частности.
Уравнение решается, подозреваю, только численными методами.
В порядке упрощения — $\sin(2\arccos t)=2\sin\arccos t \cos\arccos t=2t\sqrt{1-t^2}$. Хм, не уверен, что так проще...

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

GAA:

Набор формул вроде бы исправлен. Вернул.

[Pphantom]

Так ведь ответ уже дан:

iifat в сообщении #1241223 писал(а):

Уравнение решается, подозреваю, только численными методами.

Для порядка можно перевести подозрение в уверенность - если присмотреться, можно заметить, что это уравнение Кеплера относительно $2\, \arccos (1-2 x)$. Так что подставляйте нужное $n$ и решайте методом простой итерации, в данном случае ничего более хитрого не нужно.