Беседа про ЭПР-парадокс

[AlexNew]

Walker_XXI писал(а):

Вы же, как мне показалось, отсутствие одновременных определённых координат и импульсов (например) характеризуете как "состояние неизвестно", тем самым фактически подменяя рассмотрение квантовой частицы рассмотрением классической.

Разговор ведь у нас идет о внутренней степени свободы частицы, и о состоянии ее определяющем.

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

AlexNew в сообщении #1239369 писал(а):

Разговор ведь у нас идет о внутренней степени свободы частицы, и о состоянии ее определяющем.

На самом деле это не имеет большого значения. Важно то, что речь идёт о несовместных наблюдаемых. Просто импульс и координата - один из самых первых и наиболее известных широкой публике примеров таких наблюдаемых (к слову сказать, в оригинальной статье ЭПР речь тоже шла о координате и импульсе, а не о поляризации). Ну и, согласно КМ, полная волновая функция - это максимум, что мы в принципе можем знать о состоянии частицы. Если известна ВФ частицы, то состояние частицы полностью определено. Но это не значит, что в этом состоянии все возможные наблюдаемые имеют определённые значения.

[AlexNew]

Walker_XXI писал(а):

Если известна ВФ частицы, то состояние частицы полностью определено. Но это не значит, что в этом состоянии все возможные наблюдаемые имеют определённые значения.

От куда вам известна ВФ частицы? с таким же успехом можно сказать что все возможные наблюдаемые имеют определённые значение.

Вся это философия только вредит делу.

[Walker_XXI]

AlexNew в сообщении #1239447 писал(а):

От куда вам известна ВФ частицы? с таким же успехом можно сказать что все возможные наблюдаемые имеют определённые значение

ВФ можно получить, как разложение по собственным функциям всех совместных наблюдаемых, которые образуют полный набор (см. те же первые параграфы ЛЛ-3). Откуда вдруг мысль, что это эквивалентно наличию определённых значений у несовместных наблюдаемых?

Если полагаем, что ВФ частицы неизвестна, то на основании чего тогда вообще ведутся вычисления в КМ? Как по-Вашему?

P.S. И при чём тут философия? Вы постулаты КМ называете философией или о чём речь?

[AlexNew]

Walker_XXI писал(а):

ВФ можно получить, как разложение по собственным функциям всех совместных наблюдаемых, которые образуют полный набор (см. те же первые параграфы ЛЛ-3).

И будет у вас несколько чисел а не ВФ, да, а еще вам нужно знать собственным функции оператора.

Walker_XXI писал(а):

Откуда вдруг мысль, что это эквивалентно наличию определённых значений у несовместных наблюдаемых?

несовместныe получаются из совместных поворотом, о чем наверное забыли упомянуть в постулатах, не берусь утверждать, сей философский трактат я не читал

[george66]

Мне кажется, надо сначала продумать качественные опыты (теорема Кочена-Шпеккера, Free will theorem). Первая реакция "такого не бывает". Потом привыкаешь. И тут уже вопрос "откуда берутся линейные операторы в комплексном пространстве?" А ниоткуда, угадали. Квантовая механика не выводится из каких-то принципов, а подобрана наугад.

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

george66 в сообщении #1239555 писал(а):

Квантовая механика не выводится из каких-то принципов, а подобрана наугад

Есть варианты аксиоматического построения теории. Если уж и говорить в таком ключе, то наугад подобраны принципы, а всё остальное выводится. А иначе и быть не может - иначе получится не теория, а только лишь гадание, да ворох эмпирики.

(Оффтоп)

AlexNew в сообщении #1239467 писал(а):

И будет у вас несколько чисел а не ВФ, да, а еще вам нужно знать собственным функции оператора.

Собственные функции, безусловно, нужно знать. Их и знают. Или как по-Вашему, в КМ не знают, например, собственные функции оператора импульса в координатном представлении, типа, тайна за семью печатями? Не знают, как имея несколько чисел (значение импульса) выразить волновую функцию свободной частицы с определённым импульсом через собственные функции оператора импульса?

Извините, но Вас послушать, так в КМ только философствуют, да руками разводят, а посчитать ничего не могут - типа, ничего не известно.

AlexNew в сообщении #1239467 писал(а):

Walker_XXI писал(а):

Откуда вдруг мысль, что это эквивалентно наличию определённых значений у несовместных наблюдаемых?

несовместныe получаются из совместных поворотом, о чем наверное забыли упомянуть в постулатах, не берусь утверждать

Но утверждаете, что в КМ, если известна ВФ, несовместные наблюдаемые (например, импульс и координата) одновременно имеют определённые значения? Вот уж действительно, какие-то сплошные философские домыслы. Мне кажется, пора этот оффтопик заканчивать - беседа получилась явно неконструктивная.

[AlexNew]

warlock66613 писал(а):

Покажите! (Ничего похожего не получается.)

я сделал то что хотел, посчитал и построил графики, и похоже я был прав.
Выбрал самый ленивый способ и не не стал сильно мудрить:

1. Взял произвольный вектор состояния с двумя параметрами углами, определяющий точку на блоховской сфере:

Мы предположим частица имела это состояние перед измерением.

2. Теперь мы можем измерять спин (или поляризацию, математика та же) 3мя типами экспериментов, математически это сводится к проецированию вектора состояния на собственные вектора матриц Паули.
Эти проекции и есть вероятность наблюдений спина вверх/вниз для данного типа эксперимента/матрицы.

3. Построил график зависимости вероятностей от параметров (2 угла) вектора состояния.
Могу добавить картинки если интересно (Только вот как ???) но там все скучно.
Если зафиксировать один угол то получим, образно выражаясь, один cos() и два sin(), то что ожидалось.
Таким образом, если вы измеряете спин вдоль Oz, и у вас получается всегда "Вверх", то при измерении вдоль Ox (или Oy) у вас будет 50% "Вверх" и 50% "Вниз" ,
Если при измерении спина вдоль Oz у вас получается скажем 70% "Вверх" то и при измерении вдоль Ox (или Oy) "Вверх"/"Вниз" ответ уже будет не равновероятен.

4. Заключение:
ЭПР легко трактуется если предположить что у частиц при рождении были связанные состояние (в том же смысле в котором моменты классических частиц связаны после удара).

[AlexNew]

Для вектора состояния, с параметрами/углами $a,b$
$\vec{s} = (\cos{a} * e^{-i b_1}, \sin{a}*e^{-i b_2})$

Мы получим след вероятности наблюдения спина "вверх" при измерении вдоль осей $x,y,z$ :
$ 1/2 -1/2 \sin{2a}\cos{b_1}cos{b_2}-1/2 \sin{2a}\sin{b_1}sin{b_2}$,
$ 1/2 -1/2 \sin{2a}\cos{b_2}sin{b_1}+1/2 \sin{2a}\cos{b_1}sin{b_2}$,
$(\sin{a})^2$.
(нас интересует разность фаз, поэтому $b_1$ можно считать равным нулю )
Если построить картинки то видно что ЭПР показывает то что должен, никакой мистики нет.

(Оффтоп)

В этом примере, на мой взгляд, хорошо видно как Суровая Алгебра дает отпор философской мысли привлекающей цветные носки действующие на расстоянии.

[Walker_XXI]

AlexNew, естественно, у частиц при рождении были связанные состояния. С этого начинается описание "парадоксального" эксперимента, и я об этом уже писал.
Естественно, алгебраические вычисления по формулам КМ (довольно простые) дают тот результат, который потом обсуждаем, как "парадоксальный" (и который имеем в эксперименте, что уже не столь "естественно"). Но у меня сложилось стойкое впечатление (возможно ошибочное), что Вы не понимаете, что называют ЭПР-парадоксом, иначе не заявляли бы о расстановке всех точек над i и об отсутствии предмета для обсуждения, всего лишь сформулировав начальные условия.

[AlexNew]

Walker_XXI писал(а):

Но у меня сложилось стойкое впечатление (возможно ошибочное), что Вы не понимаете, что называют ЭПР-парадоксом

На мой взгляд парадокс тут существует исключительно в умах квантовозапутанных философов. Понимать где они запутались и их распутывать большого желания нет, ситуацию с точки зрения физики я уже описал, тому кому нужно и так все было ясно.

[Walker_XXI]

AlexNew в сообщении #1240549 писал(а):

парадокс тут существует исключительно в умах квантовозапутанных философов.

Это Вы про Бора с Эйнштейном? Или про Белла с Аспэ, которые пожелали всё это "распутать" и даже эксперименты какие-то придумали (а последний и провёл)?
Впрочем, если Вам всё понятно, то и обсуждать больше нечего.

[Cos(x-pi/2)]

AlexNew
Прежде чем рассуждать об ЭПР-экспериментах Вы всё-таки освойте принятые в КМ обозначения и научитесь такую простую задачку, какую Вы тут пытаетесь сам себе объяснить, решать без ошибок. Ваши формулы - с ошибками.

Кроме того, элементарная задачка, которую Вы разбираете (про одну частицу), слишком проста; в ней нет ЭПР-ситуации: у Вас "с водой выплеснут и ребёнок".

(конкретные советы)

Символом $\vec{s}$ принято обозначать вектор спина (усреднённый по квантовому состоянию частицы) - это трёхкомпонентный вектор, а не двухкомпонентный. Двухкомпонентный вектор состояния спиновой степени свободы частицы (его называют спинором) можно обозначать с помощью скобок Дирака, типа $|\psi \rangle.$

Теперь давайте проверим ваш ответ, например, для вероятности наблюдения спина "вверх" при измерении вдоль оси $x.$ С этой целью возьмём состояние со спином именно вдоль оси $x:$ для него значение указанной вероятности заведомо должно получиться равным единице. В стандартном базисе $|\uparrow_z\rangle,\, |\downarrow_z\rangle$ такой спинор имеет компоненты $1/\sqrt{2},\, 1/\sqrt{2}.$ Это означает, что в ваших формулах в данном частном случае надо положить:

$b_1=b_2=0,$
$\cos a= \sin a =1/\sqrt{2}.$

При этом ваша формула даёт для указанной вероятности значение $0$ вместо правильного значения $1.$ Проверьте аналогично и остальные две ваши формулы; там у Вас тоже путаница.

Чтобы подобраться к осмыслению ЭПР-экспериментов, Вам надо не философствовать, а научиться делать КМ-расчёты с двухчастичными состояниями. Для начала, например, такой план советую избрать:

1. Пусть $\vec{n}$ - обозначает единичный вектор направления спина одной частицы. Разумеется, усреднённого по её спиновому состоянию $|\psi \rangle.$ Для дальнейшего удобно обозначать это состояние как $|\uparrow_{\vec{n}}\rangle.$ Вектор $\vec{n}$ описывается стандартным образом двумя углами в сферической системе координат: $\theta$ и $\varphi.$ Это понятнее и нагляднее, чем ваши $a,b_1,b_2,$ с которыми Вы уже ошиблись и смысла которых Вы не раскрыли.

Убедитесь, что с точностью до (несущественного) фазового множителя спинор $|\uparrow_{\vec{n}}\rangle$ имеет вид

$|\uparrow_{\vec{n}}\rangle = \cos(\theta /2)\,|\uparrow_z\rangle + \sin(\theta/2)\,e^{i\varphi}\,|\downarrow_z\rangle.$

Из условия ортогональности $\langle \uparrow_{\vec{n}}|\downarrow_{\vec{n}} \rangle = 0$ с учётом условия нормировки (или ещё как-то, подумайте как, придумайте проверки) найдите спинор $|\downarrow_{\vec{n}} \rangle,$ описывающий состояние частицы со спином в направлении, противоположном $\vec{n}.$

Таких заготовок будет поначалу достаточно для дальнейших вычислений. Так, по аналогии, Вы сможете записать ещё два взаимно ортогональных спинора: спинор $|\uparrow_{\alpha}\rangle$ будет описывать частицу со спином вдоль оси, наклонённой в плоскости $(x,z)$ к оси $z$ под углом $\alpha,$ а спинор $|\downarrow_{\alpha}\rangle $ будет описывать частицу со спином в противоположном направлении. Эти спиноры будут применены для "проецирования на них" - т. е. для расчёта амплитуд вероятностей обнаружения спина вдоль или против оси, наклонённой к оси $z$ под углом $\alpha.$

2. Чтобы разобраться с ЭПР, желательно научиться сравнивать ситуации, в которых ЭПР-эффект есть, с ситуациями, в которых его нет. Начните с простого примера ситуации, в которой нет ЭПР-эффекта. А именно, запишите, т. е. выразите через двухчастичные базисные спиноры

$|\uparrow_z\rangle \,|\uparrow_z\rangle,$

$|\uparrow_z\rangle \,|\downarrow_z\rangle,$

$|\downarrow_z\rangle \,|\uparrow_z\rangle,$

$|\downarrow_z\rangle \,|\downarrow_z\rangle,$


двухчастичный спинор:

$|\Phi_{\vec{n}}\rangle=|\uparrow_{\vec{n}}\rangle \, |\downarrow_{\vec{n}}\rangle.$

Он описывает пару частиц с противоположными спинами - вдоль и против оси $\vec{n}.$

Пусть детектор первой частицы сигнализирует об обнаружении у неё спина вдоль оси $z,$ а детектор второй частицы сигнализирует об обнаружении спина вдоль оси, наклонённой к $z$ под углом $\alpha.$ Вычислите амплитуду вероятности таких обнаружений:

$\langle \uparrow_z |\, \langle \uparrow_{\alpha}| \, \Phi_{\vec{n}}\rangle.$

Вычислите вероятность (квадрат модуля этой амплитуды вероятности) - она будет зависеть от направления $\vec{n}.$ И усредните её по всевозможным направлениям $\vec{n},$ считая все направления равновероятными, т. е. должным образом проинтегрируйте по углам $\theta$ и $\varphi.$

Обозначим эту усреднённую вероятность, например, как $W_{++}(\alpha).$ Она описывает результат указанного выше детектирования спинов частиц у пар, о которых нам известно, что в каждой паре частицы заведомо имеют определённое направление спинов (и они противоположны), а от пары к паре это направление случайным образом меняется.

Аналогичным образом вычислите $W_{-+}(\alpha)$ - это для ситуации, когда детектор первой частицы реагирует на спин против оси $z.$ Затем $W_{--}(\alpha)$ - когда детектор первой частицы реагирует на спин против оси $z$ и детектор второй частицы реагирует на спин не вдоль, а против оси, наклонённой к $z$ под углом $\alpha.$ Ну и, наконец, $W_{+-}(\alpha)$ тоже надо вычислить. Для проверки убедитесь, что сумма всех этих четырёх вероятностей равна единице.



Эти вероятности потребуются для расчёта корреляционной функции и сравнения результатов с принципиально отличной ситуацией:

3. Запишите (выразите через двухчастичные базисные спиноры) двухчастичный спинор, который описывает пару частиц в синглетном спиновом состоянии, т. е. пару частиц, имеющих спин $1/2,$ в состоянии с суммарным спином $0:$

$|\Phi_0\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}\,|\uparrow_{\vec{n}}\rangle \,|\downarrow_{\vec{n}}\rangle \,-\, \frac{1}{\sqrt 2}\,|\downarrow_{\vec{n}}\rangle \, |\uparrow_{\vec{n}}\rangle.$

Результат, если вы его ещё не знаете, Вас может удивить: этот спинор не зависит от направления $\vec{n}.$ Этот спинор инвариантен к поворотам, т. е. он не содержит информации ни о каком выделенном направлении.

Другими словами, хотя можно утверждать, что спины частиц противоположны в состоянии $|\Phi_0\rangle,$ нельзя указать конкретного направления $\vec{n}$, по отношению к которому они были бы ориентированы. Дело не в том, что мы не знаем этого направления (как было в предыдущем примере, со случайными направлениями $\vec{n}),$ а в том, что этого направления ни у одной пары частиц нет. Ось первого детектора $z$ мы можем выбрать в любом направлении, и только после того как он подаст сигнал, можно считать, что у первой частицы обнаружился спин вдоль этой оси $z,$ а у второй частицы, следовательно, спин становится направленным против $z.$ До измерения есть только синглетное спиновое состояние пары $|\Phi_0\rangle,$ но нет индивидуальных спиноров, описывающих частицы в паре.

Подобная ситуация характерна именно в КМ: при заданном векторе состояния системы в целом могут не существовать векторы состояния её частей.

4. Вычислите четыре вероятности:

$P_{++}(\alpha)=|\langle \uparrow_z|\langle \uparrow_{\alpha}|\Phi_0\rangle|^2,$

$P_{--}(\alpha)=|\langle \downarrow_z|\langle \downarrow_{\alpha}|\Phi_0\rangle|^2,$

$P_{-+}(\alpha)=|\langle \downarrow_z|\langle \uparrow_{\alpha}|\Phi_0\rangle|^2,$

$P_{+-}(\alpha)=|\langle \uparrow_z|\langle \downarrow_{\alpha}|\Phi_0\rangle|^2.$

И проверьте, что их сумма равна единице. Усреднять по углам $\theta, \varphi$ здесь не требуется, да такое усреднение ничего и не меняет (так как от этих углов указанные вероятности не зависят).

Вот, после примерно таких упражнений уже можно будет беседовать об ЭПР, рассматривать примеры с соблюдением и с нарушением неравенств Белла.

[AlexNew]

Все мои формулы без ошибок, не надо обманывать, немного другие обозначения, но все подписано.

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2) писал(а):

Это понятнее и нагляднее, чем ваши $a,b_1,b_2,$ с которыми Вы уже ошиблись и смысла которых Вы не раскрыли.

Убедитесь, что с точностью до (несущественного) фазового множителя спинор $|\uparrow_{\vec{n}}\rangle$ имеет вид

$|\uparrow_{\vec{n}}\rangle = \cos(\theta /2)\,|\uparrow_z\rangle + \sin(\theta/2)\,e^{i\varphi}\,|\downarrow_z\rangle.$

Ведь было сказано что мой вектор состояния, определяет точку на сфере Блоха, что тут еще раскрывать?
Получается тоже самое что у вас, вы просто "общую" фазу вынесли, которая все равно ни на что не влияет.
(Кстати, зачем вы угол на два поделили: $\theta /2$ ? )

Cos(x-pi/2) писал(а):

При этом ваша формула даёт для указанной вероятности значение $0$ вместо правильного значения $1.$

какая разница, "вверх"/"вниз" понятия относительные, суть дела не меняется. На другом векторе как раз единица получается, но на моем приборе он называется "вниз".

Cos(x-pi/2) писал(а):

Двухкомпонентный вектор состояния спиновой степени свободы частицы (его называют спинором) можно обозначать с помощью скобок Дирака, типа $|\psi \rangle.$

Называю как хочу, это мои формулы, все мои обозначения подписаны, нечего тут ко мне придираться!

Cos(x-pi/2) спасибо за комментарий,
с остальным я внимательно разберусь и отвечу.

[Cos(x-pi/2)]

AlexNew в сообщении #1240612 писал(а):

(Кстати, зачем вы угол на два поделили: $\theta /2$ ? )

Затем, что именно в этом случае спинор

$|\uparrow_{\vec{n}}\rangle = \cos(\theta /2)\,|\uparrow_z\rangle + \sin(\theta/2)\,e^{i\varphi}\,|\downarrow_z\rangle $

описывает частицу со спином в направлении вектора $\vec{n},$ которое задаётся углами $\theta$ и $\varphi$ обычной сферической системы координат, не делёнными ни на два, ни на что-либо ещё (см. углы $\theta$ и $\varphi$ на рис. в вики, например).


Вообще: у частицы со спином $1/2$, описываемой спинором $|\psi \rangle,$ спин направлен вдоль вектора

$\vec{n}=\langle \psi| \vec{\sigma}|\psi \rangle,$

где $\vec{\sigma}$ - матричный вектор, составленный из трёх матриц Паули.

Вот, сосчитайте вектор $\vec{n}=\langle \uparrow_{\vec{n}}| \vec{\sigma}|\uparrow_{\vec{n}} \rangle,$ и увидите, под какими углами он направлен к осям $x,y,z.$ Или обратите задачку: найдите спинор $|\uparrow_{\vec{n}}\rangle $ как "собственный вектор" для матрицы $\vec{n} \cdot \vec{\sigma},$ принадлежащий собственному значению $+1,$ где $\vec{n}$ - единичный вектор с угловыми координатами $\theta$ и $\varphi,$ и убедитесь, что компоненты спинора выражаются в стандартном базисе именно указанным образом - через косинус и синус угла $\theta/2.$

Отсюда, кстати, очевиден ответ о вероятностях для одной частицы (со спином $1/2,$ состояние которой описывается спинором) для всех случаев жизни: если спин частицы и ось детектора составляют угол $\theta,$ то вероятность обнаружить эту частицу в состоянии со спином вдоль оси детектора равна $\cos^2(\theta/2),$ а вероятность обнаружить эту частицу в состоянии со спином против оси детектора равна $\sin^2(\theta/2).$ "Вот и вся любовь". Но эта элементарная картинка ещё ничего не говорит о корреляциях в системе двух частиц, т. е. никаких "заключений об ЭПР" из одночастичной задачки сделать нельзя.

-- 14.08.2017, 22:15 --

AlexNew в сообщении #1240612 писал(а):

Все мои формулы без ошибок, не надо обманывать, немного другие обозначения, но все подписано.

Разберитесь, кто кого обманывает. Например, у вас на картинке ясно подписано, что состояние со спином "вверх" относительно оси $z$ описывается спинором с компонентами $(1,0).$ Значит, для такого состояния $\cos a = 1,$ $b_1=0,$ $\sin a=0;$ и при этом Вы пишете, будто вероятность обнаружить спин "вверх" вдоль $z$ равна $(\sin a)^2.$ Получается, Вам без разницы - вероятность нулю равна или единице... Кстати углы ваши $a,b_1, b_2$ нигде на картинке не подписаны; как они соотносятся с направлением оси детектора на эксперименте - Вы так и не сказали. Если Вы желаете путать "верх" с "низом" или первую компоненту спинора со второй, потому что

AlexNew в сообщении #1240612 писал(а):

Называю как хочу, это мои формулы,

то и пишите сам себе свои формулы у себя на диване втихаря. А на публичном форуме извольте пользоваться общепринятыми терминами и обозначениями, а не рожи из сердитых смайлов корчить.