Прежде чем рассуждать об ЭПР-экспериментах Вы всё-таки освойте принятые в КМ обозначения и научитесь такую простую задачку, какую Вы тут пытаетесь сам себе объяснить, решать без ошибок. Ваши формулы - с ошибками.
Кроме того, элементарная задачка, которую Вы разбираете (про одну частицу), слишком проста; в ней нет ЭПР-ситуации: у Вас "с водой выплеснут и ребёнок".
Символом

принято обозначать вектор спина (усреднённый по квантовому состоянию частицы) - это трёхкомпонентный вектор, а не двухкомпонентный. Двухкомпонентный вектор состояния спиновой степени свободы частицы (его называют спинором) можно обозначать с помощью скобок Дирака, типа

Теперь давайте проверим ваш ответ, например, для вероятности наблюдения спина "вверх" при измерении вдоль оси

С этой целью возьмём состояние со спином именно вдоль оси

для него значение указанной вероятности заведомо должно получиться равным единице. В стандартном базисе

такой спинор имеет компоненты

Это означает, что в ваших формулах в данном частном случае надо положить:
При этом ваша формула даёт для указанной вероятности значение

вместо правильного значения

Проверьте аналогично и остальные две ваши формулы; там у Вас тоже путаница.
Чтобы подобраться к осмыслению ЭПР-экспериментов, Вам надо не философствовать, а научиться
делать КМ-расчёты с двухчастичными состояниями. Для начала, например, такой план советую избрать:
1. Пусть

- обозначает единичный вектор направления спина одной частицы. Разумеется, усреднённого по её спиновому состоянию

Для дальнейшего удобно обозначать это состояние как

Вектор

описывается стандартным образом двумя углами в сферической системе координат:

и

Это понятнее и нагляднее, чем ваши

с которыми Вы уже ошиблись и смысла которых Вы не раскрыли.
Убедитесь, что с точностью до (несущественного) фазового множителя спинор

имеет вид
Из условия ортогональности

с учётом условия нормировки (или ещё как-то, подумайте как, придумайте проверки) найдите спинор

описывающий состояние частицы со спином в направлении, противоположном

Таких заготовок будет поначалу достаточно для дальнейших вычислений. Так, по аналогии, Вы сможете записать ещё два взаимно ортогональных спинора: спинор

будет описывать частицу со спином вдоль оси, наклонённой в плоскости

к оси

под углом

а спинор

будет описывать частицу со спином в противоположном направлении. Эти спиноры будут применены для "проецирования на них" - т. е. для расчёта амплитуд вероятностей обнаружения спина вдоль или против оси, наклонённой к оси

под углом

2. Чтобы разобраться с ЭПР, желательно научиться сравнивать ситуации, в которых ЭПР-эффект есть, с ситуациями, в которых его нет. Начните с простого примера ситуации, в которой нет ЭПР-эффекта. А именно, запишите, т. е. выразите через двухчастичные базисные спиноры



двухчастичный спинор:
Он описывает пару частиц с противоположными спинами - вдоль и против оси

Пусть детектор первой частицы сигнализирует об обнаружении у неё спина вдоль оси

а детектор второй частицы сигнализирует об обнаружении спина вдоль оси, наклонённой к

под углом

Вычислите амплитуду вероятности таких обнаружений:
Вычислите вероятность (квадрат модуля этой амплитуды вероятности) - она будет зависеть от направления

И усредните её по всевозможным направлениям

считая все направления равновероятными, т. е. должным образом проинтегрируйте по углам

и
Обозначим эту усреднённую вероятность, например, как

Она описывает результат указанного выше детектирования спинов частиц у пар, о которых нам известно, что в каждой паре частицы заведомо имеют определённое направление спинов (и они противоположны), а от пары к паре это направление случайным образом меняется.
Аналогичным образом вычислите

- это для ситуации, когда детектор первой частицы реагирует на спин против оси

Затем

- когда детектор первой частицы реагирует на спин против оси

и детектор второй частицы реагирует на спин не вдоль, а против оси, наклонённой к

под углом

Ну и, наконец,

тоже надо вычислить. Для проверки убедитесь, что сумма всех этих четырёх вероятностей равна единице.
Эти вероятности потребуются для расчёта корреляционной функции и сравнения результатов с принципиально отличной ситуацией:
3. Запишите (выразите через двухчастичные базисные спиноры) двухчастичный спинор, который описывает пару частиц в синглетном спиновом состоянии, т. е. пару частиц, имеющих спин

в состоянии с суммарным спином


Результат, если вы его ещё не знаете, Вас может удивить: этот спинор не зависит от направления

Этот спинор инвариантен к поворотам, т. е. он не содержит информации ни о каком выделенном направлении.
Другими словами, хотя можно утверждать, что спины частиц противоположны в состоянии

нельзя указать конкретного направления

, по отношению к которому они были бы ориентированы. Дело не в том, что мы не знаем этого направления (как было в предыдущем примере, со случайными направлениями

а в том, что этого направления ни у одной пары частиц нет. Ось первого детектора

мы можем выбрать в любом направлении, и только после того как он подаст сигнал, можно считать, что у первой частицы обнаружился спин вдоль этой оси

а у второй частицы, следовательно, спин становится направленным против

До измерения есть только синглетное спиновое состояние пары

но нет индивидуальных спиноров, описывающих частицы в паре.
Подобная ситуация характерна именно в КМ: при заданном векторе состояния системы в целом могут не существовать векторы состояния её частей.
4. Вычислите четыре вероятности:




И проверьте, что их сумма равна единице. Усреднять по углам

здесь не требуется, да такое усреднение ничего и не меняет (так как от этих углов указанные вероятности не зависят).
Вот, после примерно таких упражнений уже можно будет беседовать об ЭПР, рассматривать примеры с соблюдением и с нарушением неравенств Белла.