2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 20:00 
Заморожен
Аватара пользователя


03/10/16
59
Стр. 202 в 4-м издании, или 172 в 3-м.
Изображение

(определение наименьшей - пересечение всех сигма-алгебр, содержащих данную систему множеств).

Не понимаю этого примера. Два вопроса.

1. При чём здесь рациональность концов (и именно такая их не/включённость)?

Мне кажется, уже на втором шаге объединения $ \cup \mathscr{A}_n $ можно построить любой (полу)интервал, с иррац. концами. Например, для включения иррац. числа $\beta$ в правый конец: на первом шаге берём объединение (счётное) полуинтервалов (ок, с рац. левыми концами), приближающихся справа (т.е. с другой стороны) к $\beta$. На втором шаге берём дополнение, получаем отрезок, включающий в правый конец $\beta$. Аналогично легко остальные виды (вкл-выкл, справа-слева).

Ну а раз уже на втором шаге - любые полуинтервалы, то какой смысл ограничивать изначально их вид? Объясните пожалуйста.

2. Как проверить, принадлежит ли данное множество наименьшей сигма-алгебре?

Например, мн-во всех иррац. чисел из $\Omega$. Можно кмк легко утверждать что оно не принадлежит $ \cup \mathscr{A}_n $ - потому что несчётно. Чтобы проверить принадлежность наименьшей сигма-алгебре, надо ведь от противного доказывать? (если покажем конструктивно, то теряется смысл - кмк ясно). И, как дальше? Подскажите пожалуйста.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 20:53 


27/08/16
10151
crazy_taxi_driver в сообщении #1239503 писал(а):
берём объединение (счётное) полуинтервалов
По построению все объединения множеств конечные. Счётное объединение алгебр всё равно не содержит в качестве элементов предельных подмножеств, так как содержит в качестве элементов только те подмножества, которые можно получить конечным объединением интервалов с рациональными концами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 21:20 
Заморожен
Аватара пользователя


03/10/16
59
realeugene в сообщении #1239519 писал(а):
По построению все объединения множеств конечные.
В процитированном первом абзаце, 3 строка сверху: там слово "счётных". Неточность в учебнике?

По Вашей интерпретации - вопросов (конечно) нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
crazy_taxi_driver в сообщении #1239524 писал(а):
В процитированном первом абзаце, 3 строка сверху: там слово "счётных". Неточность в учебнике?


Нет, там всё правильно.

Именно что конечным количеством операций вида "взять счётное объединение" и "взять счётное пересечение" все борелевские множества не получить.

Подробнее -- посмотрите здесь:

https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_hierarchy

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
UPD. Удалено. Это всё было неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
grizzly в сообщении #1239532 писал(а):
В обсуждаемом примере всё немного проще.


Чем именно? Я три раза прочитал, и не понял :(

Поскольку разрешены счётные объединения и дополнения, то $\mathcal A_k$ рано или поздно будет содержать любое множество конечной борелевской иерархии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
g______d в сообщении #1239541 писал(а):
Чем именно?
Я ошибся, прошу извинить. Я удалю предыдущее сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 22:22 


27/08/16
10151
grizzly в сообщении #1239532 писал(а):
В сообщении realeugene речь идёт о втором абзаце с "конечными суммами".
Да, конечно, но уже после первого счётного замыкания конечные объединения превращаются в счётные. Так что, да, там всё немного сложнее. Я тоже ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ну т. е. вопрос в том, как наиболее просто доказать, что существуют множества бесконечной борелевской иерархии. Для этого было бы достаточно показать, что включение $\mathcal A_k \subset \mathcal A_{k+1}$ строгое: если есть последовательность $A_k \in \mathcal A_{k+1}\setminus \mathcal A_k$, то их можно отмасштабировать и посадить на непересекающиеся интервалы.

Но тот факт, что $\mathcal A_k$ не стабилизируются, не так очевиден...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение10.08.2017, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
На всякий случай -- доказательство есть здесь:

https://www.mccme.ru/free-books/kanovej/set_theory.pdf

теорема 2.2.5 (само доказательство теоремы дальше, в разделе 2.7). Но я не знаю, может быть, для конечных ординалов можно проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение16.03.2019, 20:20 


16/03/19
1
Я нашел строгое доказательство данного утверждения в книге Probability and Measure (Patrick Billingsley, Anniversary Edition), стр. 32-34. Книга доступна на b-ok.org
Доказательство не требует знаний терминов из топологии, и никаких борелевских иерархий там нет. Оно не простое, но гораздо проще предложенного.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group