2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 20:00 
Аватара пользователя
Стр. 202 в 4-м издании, или 172 в 3-м.
Изображение

(определение наименьшей - пересечение всех сигма-алгебр, содержащих данную систему множеств).

Не понимаю этого примера. Два вопроса.

1. При чём здесь рациональность концов (и именно такая их не/включённость)?

Мне кажется, уже на втором шаге объединения $ \cup \mathscr{A}_n $ можно построить любой (полу)интервал, с иррац. концами. Например, для включения иррац. числа $\beta$ в правый конец: на первом шаге берём объединение (счётное) полуинтервалов (ок, с рац. левыми концами), приближающихся справа (т.е. с другой стороны) к $\beta$. На втором шаге берём дополнение, получаем отрезок, включающий в правый конец $\beta$. Аналогично легко остальные виды (вкл-выкл, справа-слева).

Ну а раз уже на втором шаге - любые полуинтервалы, то какой смысл ограничивать изначально их вид? Объясните пожалуйста.

2. Как проверить, принадлежит ли данное множество наименьшей сигма-алгебре?

Например, мн-во всех иррац. чисел из $\Omega$. Можно кмк легко утверждать что оно не принадлежит $ \cup \mathscr{A}_n $ - потому что несчётно. Чтобы проверить принадлежность наименьшей сигма-алгебре, надо ведь от противного доказывать? (если покажем конструктивно, то теряется смысл - кмк ясно). И, как дальше? Подскажите пожалуйста.

Спасибо!

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 20:53 
crazy_taxi_driver в сообщении #1239503 писал(а):
берём объединение (счётное) полуинтервалов
По построению все объединения множеств конечные. Счётное объединение алгебр всё равно не содержит в качестве элементов предельных подмножеств, так как содержит в качестве элементов только те подмножества, которые можно получить конечным объединением интервалов с рациональными концами.

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 21:20 
Аватара пользователя
realeugene в сообщении #1239519 писал(а):
По построению все объединения множеств конечные.
В процитированном первом абзаце, 3 строка сверху: там слово "счётных". Неточность в учебнике?

По Вашей интерпретации - вопросов (конечно) нет.

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 21:29 
Аватара пользователя
crazy_taxi_driver в сообщении #1239524 писал(а):
В процитированном первом абзаце, 3 строка сверху: там слово "счётных". Неточность в учебнике?


Нет, там всё правильно.

Именно что конечным количеством операций вида "взять счётное объединение" и "взять счётное пересечение" все борелевские множества не получить.

Подробнее -- посмотрите здесь:

https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_hierarchy

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 21:38 
Аватара пользователя
UPD. Удалено. Это всё было неправильно.

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 21:56 
Аватара пользователя
grizzly в сообщении #1239532 писал(а):
В обсуждаемом примере всё немного проще.


Чем именно? Я три раза прочитал, и не понял :(

Поскольку разрешены счётные объединения и дополнения, то $\mathcal A_k$ рано или поздно будет содержать любое множество конечной борелевской иерархии.

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 22:14 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #1239541 писал(а):
Чем именно?
Я ошибся, прошу извинить. Я удалю предыдущее сообщение.

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 22:22 
grizzly в сообщении #1239532 писал(а):
В сообщении realeugene речь идёт о втором абзаце с "конечными суммами".
Да, конечно, но уже после первого счётного замыкания конечные объединения превращаются в счётные. Так что, да, там всё немного сложнее. Я тоже ошибся.

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение09.08.2017, 22:48 
Аватара пользователя
Ну т. е. вопрос в том, как наиболее просто доказать, что существуют множества бесконечной борелевской иерархии. Для этого было бы достаточно показать, что включение $\mathcal A_k \subset \mathcal A_{k+1}$ строгое: если есть последовательность $A_k \in \mathcal A_{k+1}\setminus \mathcal A_k$, то их можно отмасштабировать и посадить на непересекающиеся интервалы.

Но тот факт, что $\mathcal A_k$ не стабилизируются, не так очевиден...

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение10.08.2017, 19:31 
Аватара пользователя
На всякий случай -- доказательство есть здесь:

https://www.mccme.ru/free-books/kanovej/set_theory.pdf

теорема 2.2.5 (само доказательство теоремы дальше, в разделе 2.7). Но я не знаю, может быть, для конечных ординалов можно проще.

 
 
 
 Re: Ширяев, гл.2,пар.2, текст: определ. наименьшей сигма-алгебры
Сообщение16.03.2019, 20:20 
Я нашел строгое доказательство данного утверждения в книге Probability and Measure (Patrick Billingsley, Anniversary Edition), стр. 32-34. Книга доступна на b-ok.org
Доказательство не требует знаний терминов из топологии, и никаких борелевских иерархий там нет. Оно не простое, но гораздо проще предложенного.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group