Стр. 202 в 4-м издании, или 172 в 3-м.
(определение наименьшей - пересечение всех сигма-алгебр, содержащих данную систему множеств).
Не понимаю этого примера. Два вопроса.
1. При чём здесь рациональность концов (и именно такая их не/включённость)?
Мне кажется, уже на втором шаге объединения
можно построить любой (полу)интервал, с иррац. концами. Например, для включения иррац. числа
в правый конец: на первом шаге берём объединение (счётное) полуинтервалов (ок, с рац. левыми концами), приближающихся справа (т.е. с другой стороны) к
. На втором шаге берём дополнение, получаем отрезок, включающий в правый конец
. Аналогично легко остальные виды (вкл-выкл, справа-слева).
Ну а раз уже на втором шаге - любые полуинтервалы, то какой смысл ограничивать изначально их вид? Объясните пожалуйста.
2. Как проверить, принадлежит ли данное множество наименьшей сигма-алгебре?
Например, мн-во всех иррац. чисел из
. Можно кмк легко утверждать что оно не принадлежит
- потому что несчётно. Чтобы проверить принадлежность наименьшей сигма-алгебре, надо ведь от противного доказывать? (если покажем конструктивно, то теряется смысл - кмк ясно). И, как дальше? Подскажите пожалуйста.
Спасибо!