Логические высказывания с "если"

[xjar1]

Всем привет, подскажите, как правильно интерпретировать слово "если"? Я понимаю это так: (Здесь $A$ и $B$ утверждения)
$A$ если $B$ означает $A \Leftarrow B$
Но как быть если мы что-то определяем? Например $m$ - четное число если $m \vdots 2$
Здесь ведь это можно переписать так: $m$ - четно $ \Leftrightarrow$ $m \vdots 2$, т.е. стрелка уже не в одну сторону.
И еще, в Зориче есть выражение "если и только если". Следует ли понимать, что "если" соответствует $ \Leftarrow $, а "только если" соответствует $ \Rightarrow $?
Спасибо.

[Mikhail_K]

xjar1 в сообщении #1236830 писал(а):

Я понимаю это так: (Здесь $A$ и $B$ утверждения)
$A$ если $B$ означает $A \Leftarrow B$

Правильно понимаете.

xjar1 в сообщении #1236830 писал(а):

Но как быть если мы что-то определяем? Например $m$ - четное число если $m \vdots 2$

Да, в таких случаях слово "если" означает другое, нежели в первом случае. Просто условность речи.

xjar1 в сообщении #1236830 писал(а):

Следует ли понимать, что "если" соответствует $ \Leftarrow $, а "только если" соответствует $ \Rightarrow $?

Да.
Но надо сказать, что обычно говорят не "$A$ если $B$"; обычно говорят "если $B$, то $A$". Так лучше звучит. И то и другое означает $B\Rightarrow A$. То есть, связка "если-то" читается как $\Rightarrow$.

[Iam]

$ (B \Rightarrow A)= true $ для пар $(A,B): (0,0),(1,0),(1,1)$,

($ A$ если (if) $B) = true $ для пар $(A,B): (0,0),(0,1),(1,1)$,

($ A если и только если (iff) $B) =true $ для пар $(A,B): (0,0),(1,1)$.

[arseniiv]

Только не iif, а iff.

[Iam]

@arseniiv, спасибо - поправил.

[VAL]

Iam в сообщении #1236842 писал(а):

@arseniiv, спасибо - поправил.

Но вторая строка, все равно, вызывает вопросы.

[arseniiv]

Хм, точно, аргументы местами перепутаны.

[Iam]

Временно удалил для корректировки.

[Iam]

Использование в неформализованном языке выражений типа "$A$, если $B$" может иметь различный смысл и соответственно различные формализации. В частности:

1. "$A$, если $ B $" в смысле “$ A $ выполняется, если (при условии, что) выполняется $ B $ (при этом под $ B $ подразумевается необходимое условие для $ A $ )”.
Утверждение эквивалентно "$ A $ влечет $ B $" $ \Leftrightarrow A \to B = A’B’ \lor B $.
Например, в тексте: «учитывая, что $(2^n-1) $ простое, если $n$ простое, получим, что $8\cdot 65536 \cdot 65536-1 $ – составное число»: $A$ ($(2^n-1)$ – простое) влечет $ B $ ($n$ – простое).

Такая интерпретация выражения "$A$, если $B$" представлена в моем предыдущем посте в строке 2. Несмотря на некоторую корявость, выражения такого типа зачастую используются: «n делится на 4, если оно четно», «выйду замуж, если бросишь пить» (из к/ф)...

2. "$A$, если $B$" в смысле “ $A$ выполняется (обязательно), если выполняется $B$ (при этом под $B$ подразумевается достаточное условие для $A$ )”.
Такой вариант трактовки получим, если переставить аргументы "$A$ и $B$".

arseniiv в сообщении #1237024 писал(а):

Хм, точно, аргументы местами перепутаны.

При этом утверждение "$A$, если $B$» будет эквивалентно «$ B $ влечет $A$» $ \Leftrightarrow B \to A = A’B’ \lor A $.
Примеры те же: «n четно, если оно делится на 4» и др...

Mikhail_K в сообщении #1236836 писал(а):

Но надо сказать, что обычно говорят не "$A$ если B"; обычно говорят "если $B$, то $A$". Так лучше звучит. И то и другое означает $B\Rightarrow A$. То есть, связка "если-то" читается как \Rightarrow.

И звучит лучше, и понимается без двусмысленностей.

[Munin]

xjar1 в сообщении #1236830 писал(а):

Но как быть если мы что-то определяем? Например $m$ - четное число если $m \vdots 2$

Определение - отдельная конструкция (мета)языка. Его можно записать значком $\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow},$ хотя есть и много других обозначений ($\triangle,::=,$ и так далее).

В более подробном и развёрнутом виде, оно звучит как "назовём такую ситуацию $A,$ если $B$". Здесь нет двух разных утверждений, а есть новое имя (название) для некоторого старого утверждения.

[xjar1]

И еще возник небольшой вопрос:
($A$ ровно тогда, когда $B$) это тоже самое, что и $A \Leftarrow B$ ?

[Mikhail_K]

xjar1 в сообщении #1238518 писал(а):

($A$ ровно тогда, когда $B$) это тоже самое, что и $A \Leftarrow B$ ?

Очевидно, нет. Это то же самое, что $A\Leftrightarrow B$. Ещё говорят: $A$ тогда и только тогда, когда $B$.

[xjar1]

Спасибо! Смутило то, что фразу "тогда и только тогда, когда" используют чаще, но писать и произносить ее чуть дольше, поэтому подумал что это разные вещи.

[grizzly]

xjar1 в сообщении #1238522 писал(а):

Смутило то, что фразу "тогда и только тогда, когда" используют чаще, но писать и произносить ее чуть дольше, поэтому подумал что это разные вещи.

Это у Вас профессиональные искажения. Оборот "тогда и только тогда" редко используют нематематики, в то время как "ровно тогда" используется в обиходной речи. Вот уж не думаю, что это может быть реже

[popolznev]

grizzly в сообщении #1238532 писал(а):

"ровно тогда" используется в обиходной речи

Вот не припоминаю случая, чтобы я слышал этот оборот в обиходной речи.