Разложение волновой функции - 2

[arseniiv]

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

хорошо, а если исходная функция уже представляет собой собственный вектор другого оператора? можно ли вот так просто взять в качестве базиса собственные векторы некоммутативного оператора?

Не имеет вообще никакого значения являются ли ни векторы базиса, ни раскладываемый вектор чьими-то ни было собственными векторами.

-- Чт авг 03, 2017 02:19:50 --

(Вообще так и хочется сказать «это же основы линейной алгебры!», но бесконечные базисы и интегралы немного останавливают, это уже функан получается.)

[rank_xyz]

arseniiv в сообщении #1237883 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

хорошо, а если исходная функция уже представляет собой собственный вектор другого оператора? можно ли вот так просто взять в качестве базиса собственные векторы некоммутативного оператора?

Не имеет вообще никакого значения являются ли ни векторы базиса, ни раскладываемый вектор чьими-то ни было собственными векторами.

-- Чт авг 03, 2017 02:19:50 --

(Вообще так и хочется сказать «это же основы линейной алгебры!», но бесконечные базисы и интегралы немного останавливают, это уже функан получается.)

дело же не только в математическом формализме
или Ландау с его Квантовой механикой можно уже просто оставить на полке и больше не пытаться что то оттуда цитировать?
а то ведь пишет же он, что базис имеет значение, т.е. физические величины, операторы которых составляют базис разложения, должны быть одновременно измеримы?

[svv]

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

можно ли вот так просто взять в качестве базиса собственные векторы некоммутативного оператора?

Коммутировать или не коммутировать могут два оператора. Но чтобы один?

[Someone]

rank_xyz в сообщении #1237885 писал(а):

ведь пишет же он, что базис имеет значение, т.е. физические величины, операторы которых составляют базис разложения, должны быть одновременно измеримы?

Это совсем другой базис. Не имеющий никакого отношения к разложению по собственным функциям одного оператора.

[rank_xyz]

svv в сообщении #1237888 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

можно ли вот так просто взять в качестве базиса собственные векторы некоммутативного оператора?

Коммутировать или не коммутировать могут два оператора. Но чтобы один?

Someone в сообщении #1237890 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237885 писал(а):

ведь пишет же он, что базис имеет значение, т.е. физические величины, операторы которых составляют базис разложения, должны быть одновременно измеримы?

Это совсем другой базис. Не имеющий никакого отношения к разложению по собственным функциям одного оператора.

конечно, да!
но, в соседней теме был вопрос: можно ли раскладывать волновую функцию свободной частицы по собственным функциям оператора координаты?
если вспомнить, то про волновую функцию свободной частицы Ландау пишет, что это собственная функция оператора импульса
можно ли на основании этого считать, что волновая функция свободной частицы уже представляет собой результат разложения по собственным функциям оператора импульса?
ведь у того же Ландау написано, волновая функция свободной частицы представляет собой также и собственную функцию оператора энергии, причем собственное значение энергии вырождено, так как этому собственному значению соответствует бесконечное множество собственных функций с различными направлениями импульса

[Dragon27]

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

хорошо, а если исходная функция уже представляет собой собственный вектор другого оператора? можно ли вот так просто взять в качестве базиса собственные векторы некоммутативного оператора?

Если волновая функция совпадает с собственной функцией какого-то оператора, то в представлении этого оператора она будет иметь очень простое представление с одним коэффициентом. В представлении другого оператора, некоммутативного первому (и, следовательно, не имеющего с ним общих собственный функций) она будет представлена не одним коэффициентом. И всё. Представление она будет иметь во всех базисах.

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

и снова тот же вопрос: можно ли проецировать собственный вектор однокого оператора на базисные векторы другого некоммутативного оператора?

Что вас останавливает-то, не пойму? Берёте да проецируете смело.

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

"Мы все время говорим здесь только

Он здесь говорит, что одновременно измеримые величины имеют совместные решения уравнений - т.е. одни и те же собственные функции (хотя и разные собственные значения для каждого оператора). Не вижу, что бы тут вас так запутало.

rank_xyz в сообщении #1237885 писал(а):

а то ведь пишет же он, что базис имеет значение, т.е. физические величины, операторы которых составляют базис разложения, должны быть одновременно измеримы?

Он пишет о разложении в один базис сразу для кучи одновременно измеримых величин. А есть другой базис, для оператора, не коммутирующего с первым, и у этого другого базиса опять есть куча наблюдаемых (с их операторами) - целая система одновременных величин, для которых этот вектора этого базиса являются собственными. И наше квантовое состояние можно представить и в этом другом базисе. И в третьем (со своей системой одновременно измеримых величин), и в четвёртом, и т.д.

arseniiv в сообщении #1237883 писал(а):

(Вообще так и хочется сказать «это же основы линейной алгебры!», но бесконечные базисы и интегралы немного останавливают, это уже функан получается.)

Ну так у человека либо проблемы с пониманием этих основ (линейной алгебры), либо он от чего-то считает что какие-то физические соображения должны делать нелегальными такие простые математические действия, как получение представления вектора в том или ином базисе.

[rank_xyz]

Dragon27 в сообщении #1237909 писал(а):

Если волновая функция совпадает с собственной функцией какого-то оператора, то в представлении этого оператора она будет иметь очень простое представление с одним коэффициентом. В представлении другого оператора, некоммутативного первому (и, следовательно, не имеющего с ним общих собственный функций) она будет представлена не одним коэффициентом. И всё. Представление она будет иметь во всех базисах..

какой же тогда будет смысл разложения собственной функции оператора импульса в координатном представлении по собственным функциям оператора координаты тоже в координатном представлении с точки зрения квантовой механики?

Dragon27 в сообщении #1237909 писал(а):

Что вас останавливает-то, не пойму? Берёте да проецируете смело..

не вижу в этом внятного физического смысла, хотелось бы разобраться

Dragon27 в сообщении #1237909 писал(а):

Он здесь говорит, что одновременно измеримые величины имеют совместные решения уравнений - т.е. одни и те же собственные функции (хотя и разные собственные значения для каждого оператора). Не вижу, что бы тут вас так запутало.
Он пишет о разложении в один базис сразу для кучи одновременно измеримых величин. А есть другой базис, для оператора, не коммутирующего с первым, и у этого другого базиса опять есть куча наблюдаемых (с их операторами) - целая система одновременных величин, для которых этот вектора этого базиса являются собственными. И наше квантовое состояние можно представить и в этом другом базисе. И в третьем (со своей системой одновременно измеримых величин), и в четвёртом, и т.д.

хорошо, пусть можно раскладывать волновую функцию сначала по собственным функциям оператора импульса в координатном представлении, а затем уже собственные функции оператора импульса в координатном представлении по собственным функциям оператора координаты опять же в координатном представлении
мне бы хотелось разобраться с физической интерпретацией результата такого разложения

-- 03.08.2017, 08:20 --

Dragon27 в сообщении #1237909 писал(а):

arseniiv в сообщении #1237883 писал(а):

(Вообще так и хочется сказать «это же основы линейной алгебры!», но бесконечные базисы и интегралы немного останавливают, это уже функан получается.)

Ну так у человека либо проблемы с пониманием этих основ (линейной алгебры), либо он от чего-то считает что какие-то физические соображения должны делать нелегальными такие простые математические действия, как получение представления вектора в том или ином базисе.

вот именно, к математическому формализму претензий нет, там все четко и понятно
а вот с точки зрения квантовой механики вопросы возникают

[Alex-Yu]

rank_xyz в сообщении #1237798 писал(а):

судя по тому, что пишет автор темы, речь идет именно о разложении собственной функции оператора импульса ПО собственным функциям оператора координаты
т.е. идет речь о произведении двух операторов, причем именно двух некоммутативных операторов

Опять бред. Столь же горячечный, как и раньше.

Вполне можно разложить собственную функцию оператора импульса по собственным функциям оператора координаты. Никаких проблем. И некоммутативность (и вообще произведение операторов) здесь АБСОЛЮТНО НИ ПРИ ЧЕМ.

Некоммутативность станет причем, если пытаться найти систему функций, одновременно собственных для двух операторов. Но это совершенно другая история, не имеющая НИКАКОГО отношения к разложению функции по некой (полной) системе функций. И при разложении, кстати, даже не важно (абсолютно!) является ли разлагаемая функция собственной функцией какого-то оператора или нет. Это ее свойство (что она собственная) просто нигде не фигурирует при разложении.

-- Чт авг 03, 2017 12:12:54 --

rank_xyz в сообщении #1237826 писал(а):

почему разложение автора нельзя считать произведением операторов импульса и координаты?

Потому что такое "считать" есть полнейший бред. Произведение операторов тут ни при чем.

-- Чт авг 03, 2017 12:15:18 --

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

можно ли вот так просто взять в качестве базиса собственные векторы некоммутативного оператора?

Некоммутативных операторов не бывает. Бывает некоммутативные ПАРЫ операторов.

-- Чт авг 03, 2017 12:17:51 --

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

и снова тот же вопрос: можно ли проецировать собственный вектор однокого оператора на базисные векторы другого некоммутативного оператора?

Прецировать вектор на ЛЮБУЮ систему базисных векторов можно ВСЕГДА. Это не имеет НИКАКОГО отношения к тому, являются или нет эти базисные векторы собственными векторами какого-то оператора.

-- Чт авг 03, 2017 12:19:17 --

rank_xyz в сообщении #1237879 писал(а):

"Мы все время говорим здесь только об одной физической величине f, хотя стоило бы говорить, как было отмечено в начале параграфа, о полной системе одновременно измеряемых величин. Тогда мы нашли бы, что каждой из этих физических величин f,
f, …, соответствует свой оператор $\hat f$, $\hat g$, ... Собственные функции \psi_n соответствуют состояния, в которых все рассматриваемые физические величины имеют определенные значения, т.е. соответствуют определенным наборам собственных значений f_n, g_n, … и являются совместными решениями системы уравнений
$\hat f\psi=f\psi$, $\hat g\psi=g\psi$"

И какое это имеет отношение к разложению функций??? А никакого!!!

[Dragon27]

rank_xyz в сообщении #1237912 писал(а):

какой же тогда будет смысл разложения собственной функции оператора импульса в координатном представлении по собственным функциям оператора координаты тоже в координатном представлении с точки зрения квантовой механики?

Чего вы такого хотите сотворить, я не пойму. Собственная функция оператора импульса в координатном представлении уже разложена в базис оператора координаты. Координатное представление - это и есть разложение в координатный базис.

rank_xyz в сообщении #1237912 писал(а):

не вижу в этом внятного физического смысла, хотелось бы разобраться

Какой физический смысл вы имеете в виду? Вектор $(1,1)$ в стандартном базисе двумерного пространства будет $(\sqrt{2},0)$ в базисе, повёрнутом на 45 градусов в этом пространстве. Какой глубокий физический смысл в этом можно углядеть?

rank_xyz в сообщении #1237912 писал(а):

а вот с точки зрения квантовой механики вопросы возникают

Вы разве не замечали, как в учебниках квантовой механики авторы записывают волновые функции то в координатном, то в импульсном представлении, и ничего при этом не боятся? Вот прямо из таблички скопирую:
Собственное состояние оператора позиции:
$\left\lvert x_0 \right\rangle = \delta(x-x_0); \left\lvert x_0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} e^{-ipx_0/\hbar}$
Собственное состояние оператора импульса:
$\left\lvert p_0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} e^{ip_0x/\hbar}; \left\lvert p_0 \right\rangle = \delta(p-p_0)$
Слева в координатном представлении, справа - в импульсном.

[Alex-Yu]

rank_xyz в сообщении #1237885 писал(а):

дело же не только в математическом формализме
или Ландау с его Квантовой механикой можно уже просто оставить на полке и больше не пытаться что то оттуда цитировать?
а то ведь пишет же он, что базис имеет значение, т.е. физические величины, операторы которых составляют базис разложения, должны быть одновременно измеримы?

Ландау все правильно пишет. Только чтобы что-то из него цитировать, нужно хоть что-то понимать. А так, как Вы это делаете, так это можно выдирать произвольный набор строчек из любой книжки, да хоть из истории древнего Китая. Строчки-то правильные, да только не имеют НИКАКОГО отношения к обсуждаемому вопросу.

[rank_xyz]

Alex-Yu, Dragon27
меня интересует конкретное разложение, описанное тут
допустим, что можно раскладывать волновую функцию свободной частицы $\psi_n(r, t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(p_nr-Et)}$ по собственным функциям оператора координаты в координатном представлении
если частица находится в состоянии \psi=\psi_n$, то любое измерение импульса в данном состоянии с вероятностью 1 даст собственное значение импульса $p_n$
после разложения функция будет иметь следующий вид:
$\psi_n(r, t)=\int\limits_{m}\psi_n_m\varphi_m=\int\limits_{m}{Ae^{\frac{i}{\hbar}(p_nr_m-Et)}\delta(r-r_m)}$
по смыслу разложения:
1) любое измерение импульса в состоянии $\psi=\psi_n_m$ с вероятностью 1 даст значение $p_n$
2) любое измерение координаты в состоянии $\varphi_m$ с вероятностью 1 даст значение $r_m$
3) если изначально состояние частицы неизвестно, то измерение координаты даст значение $r_m$ с вероятностью $|Ae^{\frac{i}{\hbar}(p_nr_m-Et)}|^2$
вроде все хорошо, но:
4) из п.1 и 2 следует, что любое совместное измерение импульса и координаты в состоянии $\varphi_m$ с вероятностью 1 даст собственные значения импульса $p_n$ и координаты $r_m$, что противоречит принципу неопределенности
где допущены принципиальные ошибки в рассуждениях?

[Dragon27]

rank_xyz в сообщении #1237934 писал(а):

любое совместное измерение импульса и координаты в состоянии $\varphi_m$ с вероятностью 1 даст собственные значения импульса $p_n$ и координаты $r_m$

С чего это? $\varphi_m=\delta(r-r_m)$ - это собственное состояние оператора координаты с собственным значением $r_m$, его и даст с вероятностью 1, а измерение импульса этого состояния даст любое из континуума значений импульса, а вовсе не какую-то заранее известную $p_n$.

[rank_xyz]

Dragon27 в сообщении #1237944 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237934 писал(а):

любое совместное измерение импульса и координаты в состоянии $\varphi_m$ с вероятностью 1 даст собственные значения импульса $p_n$ и координаты $r_m$

С чего это? $\varphi_m=\delta(r-r_m)$ - это собственное состояние оператора координаты с собственным значением $r_m$, его и даст с вероятностью 1, а измерение импульса этого состояния даст любое из континуума значений импульса, а вовсе не какую-то заранее известную $p_n$.

состояние частицы хоть и описывается при таком разложении двумя функциями, раз операторы импульса и координаты не имеют общих волновых функций, но тем не менее, это должно быть одно состояние, и собственное значение импульса для этого состояния унаследовано из исходной волновой функции, и измерение импульса в этом состоянии должно с вероятностью 1 дать именно собственное значение $p_n$
разве не так должно быть?

[Dragon27]

rank_xyz в сообщении #1237948 писал(а):

состояние частицы хоть и описывается при таком разложении двумя функциями, раз операторы импульса и координаты не имеют общих волновых функций, но тем не менее, это должно быть одно состояние, и собственное значение импульса для этого состояния унаследовано из исходной волновой функции, и измерение импульса в этом состоянии должно с вероятностью 1 дать именно собственное значение

Вы о каких состояниях говорите? $\psi_n(r, t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(p_nr-Et)}$ и $\varphi_m=\delta(r-r_m)$ - это два разных состояния. Вы обратили внимание, что они оба в координатном представлении? Первое состояние даёт определённый импульс при измерении, второе - координату.

[rank_xyz]

Dragon27 в сообщении #1237954 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237948 писал(а):

состояние частицы хоть и описывается при таком разложении двумя функциями, раз операторы импульса и координаты не имеют общих волновых функций, но тем не менее, это должно быть одно состояние, и собственное значение импульса для этого состояния унаследовано из исходной волновой функции, и измерение импульса в этом состоянии должно с вероятностью 1 дать именно собственное значение

Вы о каких состояниях говорите? $\psi_n(r, t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(p_nr-Et)}$ и $\varphi_m=\delta(r-r_m)$ - это два разных состояния. Вы обратили внимание, что они оба в координатном представлении? Первое состояние - собственное состояние оператора импульса, второе - оператора координаты.

не о состояниях, а о состоянии, которое после разложения описывается очень странным образом, раз операторы импульса и координаты не имеют общих функций
и если такое разложения допускается, то в любом случае, информация о собственном значении импульса не должна быть потеряна, и это собственное значение импульса должно быть для каждого собственного значения координаты
или при разложении волновой функции свободной частицы по собственным функциям оператора координаты информация о собственном значении импульса необратимо утрачивается? но разве тогда можно это разложение назвать корректным?