Разложение волновой функции - 2

[arseniiv]

rank_xyz в сообщении #1237798 писал(а):

т.е. идет речь о произведении двух операторов

Ничего не т. е.. Было бы, конечно, неплохо, если бы вы попытались что-то доказать, но только (1) не в этой теме и (2) чтобы это было нормальное математическое доказательство с формулами.

[rank_xyz]

svv в сообщении #1237797 писал(а):

edge

rank_xyz в сообщении #1237767 писал(а):

так как разложение не должно менять свойства исходной волновой функции, то по идее, $\Psi_{nm}$ должна оставаться собственной функцией оператора импульса

rank_xyz
Предположите, что $\psi$ является собственной функцией некоторых операторов $\hat A$ и $\hat B$, соответствующей известным собственным значениям, обозначим их $\lambda$ и $\mu$. Вычислите $(\hat A\hat B-\hat B\hat A)\psi$.
С другой стороны, вспомните, чему равен коммутатор операторов координаты и импульса.

$(\hat A\hat B-\hat B\hat A)=0 если операторы А и В коммутативны
$(\hat p_x\hat x-\hat x\hat p_x)\psi=-i\hbar\psi$

[Walker_XXI]

rank_xyz в сообщении #1237761 писал(а):

Получается, что при измерении импульса и координаты в состоянии, описываемом волновой функцией $\Psi_n _m$, вероятность получить собственные значения $p_n$ и $r_m$, равна 1
Как же так, разве можно при измерении импульса и координаты получить определенные значения этих физических величин?

rank_xyz в сообщении #1237767 писал(а):

так как разложение не должно менять свойства исходной волновой функции, то по идее, $\Psi_{nm}$ должна оставаться собственной функцией оператора импульса

Не наводите тень на плетень :)
В вопросе идёт речь об обычном разложении в ряд Фурье (да, импульсное и координатное представления связаны преобразованием Фурье, разложение в ряд будет иметь место для частицы в ограниченной области, когда набор собственных функций дискретный, а так это преобразование Фурье). В общем случае - разложение по полной системе функций. Здесь нет ничего загадочного и ничто при таком разложении не теряется (равенство математически строгое, если система функций полная).

При этом тот объект, который Вы обозначаете $\Psi_{nm}$, является произведением скалярного коэффициента (скалярного произведения $\left\langle\Phi_m,\psi_n\right\rangle$) на $\Phi_m$ - собственную функцию оператора координаты (или $\hat{L}$, как тут выше стали писать). C какой стати он должен оказаться ещё и собственной функцией оператора импульса, не коммутирующего с $\hat{L}$? Если настаиваете на своём - докажите :).

rank_xyz в сообщении #1237774 писал(а):

т.е. $c_{nm}$ и есть собственная функция $\hat p$

Ерунду пишете. Как я отметил выше, $c_{nm}$ - это скалярное произведение функций, комплексное число. Называть его функцией в данном контексте язык не поворачивается. :)) (Доп. Тут я, пожалуй, перегнул палку. Всё-таки функция, но другим переменным, по отношению к оператору - скаляр.

rank_xyz в сообщении #1237780 писал(а):

svv в сообщении #1237776 писал(а):

Вы используете систему таких функций, которые являются собственными сразу для двух операторов, и эта система полная. А существует ли она?

в том то и дело, что данную систему использует автор темы

Докажите. Продемонстрируйте публике, что функции $\Psi(r,t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(\operatorname{pr}-Et)}$
и $\varphi_{r_n}=\delta(r-r_n)$ обе являются собственными функциями и оператора импульса, и оператора координаты.

Другое дело, что для свободной частицы в неограниченном пространстве речь должна идти о непрерывном спектре и о преобразовании Фурье, а не разложении в ряд.

rank_xyz в сообщении #1237798 писал(а):

т.е. идет речь о произведении двух операторов, причем именно двух некоммутативных операторов

Речь идет о разложении функции по полной системе других функций. При чём тут произведение операторов и их коммутатор?

Ну и ещё раз: если функция является суммой двух собственных функций какого-то оператора, то она, очевидно, тоже будет собственной функцией этого же оператора. Обратное, вообще говоря, не верно. Собственная функция оператора может быть представлена линейной комбинацией функций, не являющихся собственными. Это показывают примитивные прямые выкладки.

-- 02.08.2017, 22:29 --

svv в сообщении #1237802 писал(а):

Мне показалось, что функции $\Psi_{nm}$ — это мои $\Phi_m$

Мне показалось, что $\Psi_{nm} = C_{nm}\Phi_m$

[svv]

rank_xyz в сообщении #1237808 писал(а):

$(\hat A\hat B-\hat B\hat A)=0$ если операторы А и В коммутативны
$(\hat p_x\hat x-\hat x\hat p_x)\psi=-i\hbar\psi$

Так, смотрите какое дело. Пусть мы не знаем, коммутируют операторы $\hat A$ и $\hat B$ или нет. Предположим, что $\psi$ — собственная функция обоих операторов:
$\hat A\psi=\lambda \psi, \quad \hat B\psi=\mu\psi$
Тогда хочешь-не хочешь, а
$(\hat A\hat B-\hat B \hat A)\psi=(\lambda\mu-\mu\lambda)\psi=0$, даже если операторы не коммутируют.
Пока в этом ничего страшного, может, функция $\psi$ такая уникальная попалась. Но конкретно для операторов координаты и импульса из вида их коммутатора понятно, что равенство нулю может быть, лишь если $\psi=0$.

[rank_xyz]

arseniiv в сообщении #1237805 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237798 писал(а):

т.е. идет речь о произведении двух операторов

Ничего не т. е.. Было бы, конечно, неплохо, если бы вы попытались что-то доказать, но только (1) не в этой теме и (2) чтобы это было нормальное математическое доказательство с формулами.

тогда спрошу: как понимать разложение волновой функции свободной частицы с собственными значениями энергии и импульса по собственным функциям оператора координаты?
ведь одному значению энергии соответствует бесконечное число собственных функций с различными направлениями импульса
таким образом, каждая собственная функция оператора импульса может считаться разложением волновой функции свободной частицы по различным направлениям импульса
почему разложение автора нельзя считать произведением операторов импульса и координаты?
ведь неявное разложение волновой функции свободной частицы по собственным функциям по собственным функциям импульса уже было произведено до разложения автора темы

[Dragon27]

edge в сообщении #1237796 писал(а):

разложение волновой функции вроде как выполняется только по собственным функциям оператора координат, а не по собственным функциям сразу двух некоммутирующих операторов...вы считаете подобное разложение неправомерным?

Разложение функции по собственным функциям какого-нибудь оператора - это как разложение вектора по базису (по базисным векторам). Оно ничего не меняет, а просто позволяет нам представить вектор в удобном для оперирования виде. Вектор может быть представлен в любом базисе, а волновая функция может быть разложена по собственным функциям любого (подходящего) оператора. Коммутируют ли там операторы или нет - совершенно по боку. Волновая функция в координатном представление или в импульсном или в ещё каком - это одна и та же функция, просто в разных представлениях. Как координаты обычного вектора в трёхмерном пространстве.

[Pphantom]

Выделено из «Разложение волновой функции по оператору координат»

rank_xyz, замечание за захват темы.

[rank_xyz]

Dragon27 в сообщении #1237828 писал(а):

edge в сообщении #1237796 писал(а):

разложение волновой функции вроде как выполняется только по собственным функциям оператора координат, а не по собственным функциям сразу двух некоммутирующих операторов...вы считаете подобное разложение неправомерным?

Разложение функции по собственным функциям какого-нибудь оператора - это как разложение вектора по базису (по базисным векторам). Оно ничего не меняет, а просто позволяет нам представить вектор в удобном для оперирования виде. Вектор может быть представлен в любом базисе, а волновая функция может быть разложена по собственным функциям любого (подходящего) оператора. Коммутируют ли там операторы или нет - совершенно по боку. Волновая функция в координатном представление или в импульсном или в ещё каком - это одна и та же функция, просто в разных представлениях. Как координаты обычного вектора в трёхмерном пространстве.

в общем случае с точки зрения математического формализма, возможно
но какой смысл раскладывать функцию вида y(х) по собственным функциям координаты, если все равно в итоге получится y(x)?

[Dragon27]

Если она уже в координатном представлении, то второй раз можно не раскладывать, конечно. А если у нас дана волновая функция в импульсном представлении? Может понадобиться перевести её в координатное.

[rank_xyz]

Dragon27 в сообщении #1237841 писал(а):

Если она уже в координатном представлении, то второй раз можно не раскладывать, конечно. А если у нас дана волновая функция в импульсном представлении? Может понадобиться перевести её в координатное.

не надо, да, а можно? с точки зрения квантовой механики?

-- 02.08.2017, 23:23 --

svv в сообщении #1237816 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237808 писал(а):

$(\hat A\hat B-\hat B\hat A)=0$ если операторы А и В коммутативны
$(\hat p_x\hat x-\hat x\hat p_x)\psi=-i\hbar\psi$

Так, смотрите какое дело. Пусть мы не знаем, коммутируют операторы $\hat A$ и $\hat B$ или нет. Предположим, что $\psi$ — собственная функция обоих операторов:
$\hat A\psi=\lambda \psi, \quad \hat B\psi=\mu\psi$
Тогда хочешь-не хочешь, а
$(\hat A\hat B-\hat B \hat A)\psi=(\lambda\mu-\mu\lambda)\psi=0$, даже если операторы не коммутируют.
Пока в этом ничего страшного, может, функция $\psi$ такая уникальная попалась. Но конкретно для операторов координаты и импульса из вида их коммутатора понятно, что равенство нулю может быть, лишь если $\psi=0$.

это понятные азы, вопрос в другом: можно ли волновую функцию свободной частицы вообще раскладывать по собственным функциям оператора координаты, учитывая вид самой функции, т.е. того, что она уже является собственной функцией оператора импульса?
какой функцией в итоге будут описываться состояния после подобного разложения?

[Dragon27]

А почему не можно-то? Это просто представление.

[svv]

rank_xyz в сообщении #1237843 писал(а):

какой функцией в итоге будут описываться состояния после подобного разложения?

Разложение данной функции по собственным функциям какого-то оператора — оно же как разложение вектора по базису. Сам вектор от этого не меняется, он лишь представляется в виде суммы базисных векторов с коэффициентами.

[rank_xyz]

Dragon27 в сообщении #1237846 писал(а):

А почему не можно-то? Это просто представление.

представление у автора первоначального вопроса не меняется, остается координатным

-- 02.08.2017, 23:45 --

svv в сообщении #1237848 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237843 писал(а):

какой функцией в итоге будут описываться состояния после подобного разложения?

Разложение данной функции по собственным функциям какого-то оператора — оно же как разложение вектора по базису. Сам вектор от этого не меняется, он лишь представляется в виде суммы базисных векторов с коэффициентами.

базисные векторы чем описываются?
содержат ли описания этих векторов собственные значения импульса?
чем описываются коэффициенты?
как быть с утверждением Ландау в Квантовой механике на стр.27, что одновременно измеримые величины составляют полный базис разложения?

[Dragon27]

rank_xyz в сообщении #1237855 писал(а):

базисные векторы чем описываются?
содержат ли описания этих векторов собственные значения импульса?

В качестве базисных векторов обычно берут собственные векторы оператора. Он же (оператор) содержит информацию о всех своих собственных значениях.

rank_xyz в сообщении #1237855 писал(а):

чем описываются коэффициенты?

Что значит "чем описываются"? Мы просто проецируем наше квантовое состояние на каждый базисный вектор и получаем коэффициент ("сколько" этого квантового состояния у нас есть вдоль данного базисного вектора).

rank_xyz в сообщении #1237855 писал(а):

как быть с утверждением Ландау в Квантовой механике на стр.27, что одновременно измеримые величины составляют полный базис разложения?

Конкретная цитата?

[rank_xyz]

Dragon27 в сообщении #1237871 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237855 писал(а):

базисные векторы чем описываются?
содержат ли описания этих векторов собственные значения импульса?

В качестве базисных векторов обычно берут собственные векторы оператора. Он же (оператор) содержит информацию о всех своих собственных значениях.

хорошо, а если исходная функция уже представляет собой собственный вектор другого оператора? можно ли вот так просто взять в качестве базиса собственные векторы некоммутативного оператора?

Dragon27 в сообщении #1237871 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237855 писал(а):

чем описываются коэффициенты?

Что значит "чем описываются"? Мы просто проецируем наше квантовое состояние на каждый базисный вектор и получаем коэффициент ("сколько" этого квантового состояния у нас есть вдоль данного базисного вектора).

и снова тот же вопрос: можно ли проецировать собственный вектор однокого оператора на базисные векторы другого некоммутативного оператора?

Dragon27 в сообщении #1237871 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237855 писал(а):

как быть с утверждением Ландау в Квантовой механике на стр.27, что одновременно измеримые величины составляют полный базис разложения?

Конкретная цитата?

"Мы все время говорим здесь только об одной физической величине f, хотя стоило бы говорить, как было отмечено в начале параграфа, о полной системе одновременно измеряемых величин. Тогда мы нашли бы, что каждой из этих физических величин f,
f, …, соответствует свой оператор $\hat f$, $\hat g$, ... Собственные функции \psi_n соответствуют состояния, в которых все рассматриваемые физические величины имеют определенные значения, т.е. соответствуют определенным наборам собственных значений f_n, g_n, … и являются совместными решениями системы уравнений
$\hat f\psi=f\psi$, $\hat g\psi=g\psi$"