Как пришли к использованию пространства Минковского в СТО

[Walker_XXI]

amon в сообщении #1237135 писал(а):

Ещё тех же авторов, совсем в тему.
В.И. ФУЩИЧ, А.Г. НИКИТИН. О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака.

Да, спасибо - я сходу у себя этой статьи не нашёл. Но насколько помню, её материал практически полностью входит в монографию (хотя и разнесён по главам).

[пианист]

А, нелокальные.
Я думал, мож кто совершил подвиг :) и нашел (неизвестные) дискретные симметрии уМ (то бишь, преобразования исходных переменных, пространства $(\vec{x},t,\vec{E}, \vec{H})$)

[Munin]

maximav в сообщении #1237105 писал(а):

Речь об электродинамике. Дирак - другое уравнение

Вообще электродинамика состоит не только из электромагнитного поля, но и из заряженных частиц (полей).

[Anna from Svetl]

Munin
большое спасибо за интересную литературу. Кое-что посмотрела сейчас, но, конечно, буду читать целиком. Однако я поняла, что вопрос мой носит все же не исторический характер.

Munin в сообщении #1236210 писал(а):

Уравнения Максвелла дают не только группу Лоренца, но и её действие на пространстве $(x,y,z,t).$ Не согласны - найдите мне в них ещё какую-нибудь другую группу Лоренца.

На самом деле, мой вопрос должен был быть такой: как из уравнений Максвелла получить группу Лоренца?

[amon]

Anna from Svetl в сообщении #1237548 писал(а):

На самом деле, мой вопрос должен был быть такой: как из уравнений Максвелла получить группу Лоренца?

Для этого надо искать группу линейных преобразований, оставляющих инвариантными уравнения Максвелла. Если ограничится уравнениями в пустоте и перейти к потенциалам, то задача становится почти тривиальной.

[Anna from Svetl]

amon
я уже пробовала post1236089.html#p1236089
Но там я смотрела только на преобразование координат, без учета преобразования 4-потенциала и тока. Но их же тоже как-то надо учесть.
Кстати, раньше не задумывалась, но почему преобразование должно быть именно линейным?

[Munin]

На самом деле, вопрос (и его "стандартный" ответ) не вполне корректен.

Электродинамика - это теория электромагнитного поля и его взаимодействия с зарядами и токами. Электродинамическая задача связана с зарядами и токами либо как с заданными условиями, либо как с искомыми величинами (либо и то и другое).

На электромагнитное поле мы можем подействовать преобразованиями Лоренца, и в уравнениях ничего не изменится. Но надо ещё совершить какие-то преобразования над зарядами и токами. А их электродинамика целиком не охватывает. Они подчиняются ещё и механике (и / или другим законам физики), например, как частицы, твёрдые тела и т. д., движение которых определяется силами или другими внешними причинами. И вот тут возникает вопрос: а какие преобразования на них действуют? Если тоже Лоренца - то всё хорошо. А если нет?

Приходится выйти за рамки электродинамики. При создании СТО взяли механику, и подогнали её под те же преобразования Лоренца. Получилось хорошо. Дальше так и действовали: уравнение Дирака, Клейна-Гордона, далее везде. Но могло-то получиться и по-другому! И поэтому не надо думать, что вся история сводится только к электродинамике.

[amon]

В дополнение к вышесказанному. Если ограничится только электродинамикой, то в хозяйстве пригодятся все симметрии уравнений Максвелла. Они помогают решать некоторые задачи как простые (метод изображений - частный случай конформных преобразований), так и достаточно сложные. Если же мы выходим за рамки электродинамики, то см. выше.

[Walker_XXI]

Anna from Svetl в сообщении #1237548 писал(а):

На самом деле, мой вопрос должен был быть такой: как из уравнений Максвелла получить группу Лоренца?

Anna from Svetl в сообщении #1237555 писал(а):

я уже пробовала post1236089.html#p1236089
Но там я смотрела только на преобразование координат, без учета преобразования 4-потенциала и тока. Но их же тоже как-то надо учесть.
Кстати, раньше не задумывалась, но почему преобразование должно быть именно линейным?

Anna from Svetl в сообщении #1236089 писал(а):

Мне вот интересно для чего именно их изначально подбирали, что они должны были сохранять.

На самом деле операция получения группы симметрии чисто алгебраическая. Позволю себе несколько вольно процитировать уже упомянутую выше монографию Фущича и Никитина.

Пусть у нас есть некоторое однородное уравнение (Максвелла, Клейна-Гордона, Дирака - не важно, оно моет быть и нелинейным, и не дифференциальным)

$$ L\psi = 0,\qquad(1)$$

где $L$ - оператор, определённый на пространстве функций $\psi$. Тогда в широком смысле оператором симметрии уравнения (1) считается произвольный (линейный, нелинейный, дифференциальный, интегральный и т.д.) оператор $Q$, переводящий решения уравнения $L\psi = 0$ в решения же, т.е. удовлетворяющий условию

$$L(Q\psi)=0\qquad(2)$$

для каждого $\psi$, принадлежащего множеству решений.

Однако наряду с $Q$ для линейного дифференциального уравнения указанному условию, очевидно, удовлетворяют также $Q^2, Q^3, ...$, т.е. число операторов симметрии для каждого дифференциального уравнения, вообще говоря, бесконечно. Поэтому на практике, как правило, ограничиваются каким-то достаточно узким классом операторов симметрии. Линейные дифференциальные операторы первого порядка представляют особый интерес, поскольку могут рассматриваться, как генераторы групп Ли. Ну а далее, выписывая конкретный вид операторов $L$ и $Q$ (с неизвестными коэффициентами) и подставляя в условие (2), получаем систему уравнений, решения которой и дают нам операторы симметрии.
Примечание. Все операторные равенства нужно понимать в слабом смысле, т.е. операторы слева и справа должны давать одинаковый результат при действии на произвольную функцию $\psi$.

Операторы $Q$ (из класса линейных диффоператоров первого порядка) образуют алгебру, которая называется алгеброй инвариантности уравнения (1). Алгоритм восстановления группы локальной непрерывной симметрии по алгебре инвариантности строго описан во многих книгах по теории групп. Каждому базисному элементу алгебры ставится в соответствие однопараметрическая подгруппа преобразований координат $x$ и функций $\psi(x)$.

Именно таким способом из уравнений Максвелла можно получить группу Лоренца (точнее, её неоднородное расширение - группу Пуанкаре).

Для чего это нужно?
1) Алгебра инвариантности обычно позволяет относительно легко найти интегралы движения, не прибегая к решению диффура.
2) Используя алгебру инвариантности можно в принципе описать все системы координат, в которых уравнение допускает решения с разделяющимися переменными.
3) Каждой алгебре инвариантности (в класса линейных диффоператоров первого порядка) можно сопоставить локальную группу преобразований симметрии данного уравнения. Ну а вопросам динамической симметрии физических систем, их роли в понимании физики процессов, посвящена обширная литература.

[maximav]

amon в сообщении #1237552 писал(а):

то задача становится почти тривиальной

А я добавлю, что на таком пути выскочат (могут выскочить) и другие преобразования, которые изначально ТС не собирался добывать и осмысливать "откуда?". Вот тут и полезут конформизмы и другое. И они, между прочим, в исходную физику (ковариантность) НЕ закладывались. Кстати, это любопытное наблюдение (многих об этом спрашивал, ответы сумбурны). Ну ладно, масштабные растяжения - это тоже физика и расширение тензоров. Но ведь там может быть полно и всяких других симметрий. Им нужна физическая трактовка. Локальные-глобальные - это сейчас не важно. Иначе вопрос висит в воздухе. Точно не помню какие, но в том же Даламбере есть странные неочевидные симметрии. Спецы, типа пианист, думаю быстро подскажут - какие.

[amon]

maximav в сообщении #1237698 писал(а):

А я добавлю, что на таком пути выскочат (могут выскочить) и другие преобразования

Не выскочат, поскольку максимальной локальной группой инвариантности такого уравнения является 16-параметрическая группа $C(1,3)\otimes H,$ где $H$ — однопараметрическая подгруппа преобразований Хевисайда–Лармора–Райнича, а ее максимальной линейной подгруппой будет группа Пуанкаре. (Точнее, говорить надо об алгебрах и подалгебрах, но смысл тот же.)

[maximav]

Это если вы заведомо ограничиваетесь линейностью преобразований и подразумеваете только электродинамику. Замечание было в более широком смысле. Некоторые данные уравнения (модель), а идеология ковариантности та же. Стандартно физическая. Я вспомнил более простой пример. Вчерне и по памяти. Задача Кеплера с радиальной симметрией. Вот теперь и обоснуйте (на пальцах) наличие закона сохранения Рунге-Ленца. Заложили радиальность, а получили бОльшее.

[Walker_XXI]

maximav в сообщении #1237710 писал(а):

Задача Кеплера с радиальной симметрией. Вот теперь и обоснуйте (на пальцах) наличие закона сохранения Рунге-Ленца. Заложили радиальность, а получили бОльшее.

Лукавите. Закладывали не радиальность, а конкретное уравнение для центральной силы, т.е. брали уравнения динамики, которые обладали большей симметрией, чем кажется на первый взгляд. Брали, естественно, не "с потолка", а как отражение физики явления. Другими словами, задача изначально обладала неочевидной симметрией, которая и выплыла позже в виде интеграла движения. Никакого волшебства: что заложили - то и получили. И с электродинамикой так же.

[пианист]

maximav в сообщении #1237698 писал(а):

Точно не помню какие, но в том же Даламбере есть странные неочевидные симметрии

Интересно. Так, наскидку ничего не вспоминается.
Если подскажете, о чем речь, буду признателен.

[Munin]

maximav в сообщении #1237698 писал(а):

Им нужна физическая трактовка.

Не понимаю, в чём проблемы с физической интерпретацией. Свободное электромагнитное поле ведёт себя очень просто. А несвободное - не обладает указанными симметриями.