Вопрос о непротиворечивости

[Z1X]

somequest1 в сообщении #1235453 писал(а):

ложность и истинность

А что такое ложность и истинность, и как их вывести?

[somequest1]

Z1X

(Оффтоп)

почитайте что нибудь о логике

[Z1X]

somequest1 в сообщении #1235455 писал(а):

почитайте что нибудь о логике

Так я только об этом и читаю в последнее время.

Вот пример теории первого порядка:
Имеется предикатный символ $\sim$ и единственная аксиома $a \sim b \rightarrow b \sim a$. Теорема: $a \sim b \leftrightarrow b \sim a$. Доказательство: поменяем местами в аксиоме символы предметных переменных, получится $b \sim a \rightarrow a \sim b$; теперь засунем полученное выражение вместе с аксиомой в правило введения эквиваленции $\dfrac{\varphi \rightarrow \psi, \psi \rightarrow \varphi}{\varphi \leftrightarrow \psi}$. В результате получится $a \sim b \leftrightarrow b \sim a$, что и требовалось доказать.

somequest1, является ли эта теорема истинной, ложной, непротиворечивой? Курсивом набрана ваша терминология (не моя, я заранее отписываюсь от нее).

[iifat]

Z1X в сообщении #1235447 писал(а):

правило вывода $\dfrac{\varphi}{\varphi}$ нужно еще доказать

Зачем? Насколько, опять же, я помню математическую логику, я могу в любой вывод всобачить в любое место любую аксиому — и новый вывод будет ничем не хуже старого. Только длиннее.
Именно такого правила нет за ненадобностью — я могу просто повторить в выводе подцепочку рассуждений.

somequest1 в сообщении #1235450 писал(а):

Под утверждением тут имеется в виду импликация

Со всем возможным уважением: почему б вам не почитать чего-нить по математической логике? Ну хоть Мендельсона — не потому что я считаю его лучшим, просто я по нему учился и других не знаю. Ну хоть первые главы, чтоб не нести вот такой ерунды. Или вот такой:

somequest1 в сообщении #1235407 писал(а):

доказываем, что существует утверждение, из которого невозможно вывести одновременно истинность и отрицание

-- 24.07.2017, 00:11 --

Z1X в сообщении #1235460 писал(а):

Имеется предикатный символ $\sim$ и единственная аксиома $a \sim b \rightarrow b \sim a$

Не понял. «Имеется предикатный символ», но в единственной аксиоме их два. А правило вывода вводит третий.

[Z1X]

iifat в сообщении #1235461 писал(а):

Не понял. «Имеется предикатный символ», но в единственной аксиоме их два. А правило вывода вводит третий.

Ну так в сигнатуре же. Считайте, что это как алфавит, только сложнее.

[somequest1]

Z1X
истинной является, если вы верно доказали истинность данного утверждения

-- 23.07.2017, 18:24 --

Z1X в сообщении #1235460 писал(а):

ваша терминология

это не моя терминология. Даже страшно представить,какую Вы логику читали, не предусматривающую основополагающих ее понятий

[Z1X]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1235461 писал(а):

Именно такого правила нет за ненадобностью — я могу просто повторить в выводе подцепочку рассуждений.

Вот когда вы повторите в выводе цепочку рассуждений, то в нем уже будет задействовано более одного утверждения. Тут конкретно смотреть надо.

-- 23.07.2017, 12:30 --

somequest1 в сообщении #1235465 писал(а):

истинной является, если вы верно доказали истинность данного утверждения

Это ведь как проверить-то? Нужен метод. Ну, предположим, я доказал неверно. Затем появился iifat и доказал верно. Что у вас с истинностью получается?

somequest1 в сообщении #1235465 писал(а):

это не моя терминология. Даже страшно представить,какую Вы логику читали, не предусматривающую основополагающих ее понятий

Нет, таких понятий логика не предусматривает. Гораздо интереснее, что вы читали, чем руководствуетесь.

[somequest1]

Z1X
это смешно просто, вы даже не представляете себе насколько. Это фундамент. Уберите эти понятия, и логика просто исчезнет. Вы не понимаете даже, что такое логика.

-- 23.07.2017, 18:36 --

Z1X в сообщении #1235466 писал(а):

Это ведь как проверить-то?

Ваше доказательство -- это и есть проверка на истинность

-- 23.07.2017, 18:38 --

Z1X в сообщении #1235466 писал(а):

Ну, предположим, я доказал неверно

Нет такого, что Вы доказали что-то неверно, если в Вашем доказательстве ошибка, значит вы ничего не доказали

[Karan]

somequest1, замечание за игнорирование уточняющих вопросов.

somequest1, считайте заданные Вам вопросы обязательными для ответа. Запишите Ваши утверждения аккуратно, для каждого утверждения укажите, доказываются ли они в теории или метатеории (истинность и ложность, например, это понятия метатеории). Если после этого у других участников дискуссии будут вопросы, ответе на них (например, если Вас спросят об определении истинности, приведите это определение, можно ссылкой на учебник).

[Z1X]

somequest1, тут (как и везде) важен контекст. Вы употребляете слова как попало. А когда вас просят пояснить смысл слов, посылаете в интернет. Собственно, мы и так уже в интернете. Пояснения же требуются от вас, ибо именно вы, по всей вероятности, не имеете ни малейшего представления, о чем говорите. Ждем, надеемся. Тут разбираться надо совместными, в том числе и вашими усилиями.

[somequest1]

Karan
мататеория -- это теория, которая занимается проблемами другой теории. для различных теорий могут быть различные метатеории, поэтому нет, и не может быть никаких "понятий метатеории" безотносительно того, о какой конкретно метатеории идет речь. А что касается истинности и ложности -- это понятия логики.

-- 23.07.2017, 18:49 --

Z1X
это не продуктивно. Коль скоро Вы желаете принимать участие в обсуждении, предполагается,что Вы знакомы с основами логики хотя бы на начальном уровне. А я бы предпочел не проводить ликбез, а вернуться к сути вопроса. Возможно появится участник,который сможет ответить по-существу, а Вас я бы не хотел видеть в этом обсуждении

[Z1X]

somequest1 в сообщении #1235473 писал(а):

для различных теорий могут быть различные метатеории

Да, и для одной теории могут быть разные метатеории, в которых оказываются истинными разные утверждения. Скажем, какое-нибудь $\exists x \ A(x) \rightarrow \forall x \ A(x)$ истинно на одноэлементной модели.

somequest1 в сообщении #1235473 писал(а):

а Вас я бы не хотел видеть в этом обсуждении

Мне без разницы, кого вы не хотите видеть, слышать или читать.

[somequest1]

Z1X
Да, это так. Требование есть только на истинность в рамках конкретной системы.

[Karan]

somequest1 в сообщении #1235473 писал(а):

мататеория -- это теория, которая занимается проблемами другой теории. для различных теорий могут быть различные метатеории, поэтому нет, и не может быть никаких "понятий метатеории" безотносительно того, о какой конкретно метатеории идет речь. А что касается истинности и ложности -- это понятия логики.

Вот именно. И истинность - это свойство формул теории, поэтому оно изучается в некоторой метатеории. Понятие истинности, впрочем, от конкретного выбора метатеории зависит мало. Но если Вам хочется - зафиксируйте какую-нибудь.

somequest1 в сообщении #1235473 писал(а):

А я бы предпочел не проводить ликбез, а вернуться к сути вопроса.

Тогда просто давайте зафиксируем источник, откуда будем брать основные определения. Потому что детали различаются.

somequest1 в сообщении #1235407 писал(а):

Допустим, мы берем произвольную систему(например, наивную теорию множеств) и доказываем, что существует утверждение, из которого невозможно вывести одновременно истинность и отрицание.
Если мы это докажем, то это будет служить доказательством ее непротиворечивости, так как декларация ее противоречивости будет противоречить нашему изначальному утверждению(которое выделено), а следовательно, по закону исключенного третьего, данная система непротиворечива.

Иными словами, для доказательства непротиворечивости системы достаточно доказать, что в ее рамках существует утверждение,которое не ведет к противоречию

Это верно. (С уточнением, что такие доказательства проводятся в некоторой метатеории)

somequest1 в сообщении #1235407 писал(а):

И еще вопрос. Противоречит ли такая логика теоремам Гёделя?

Не противоречит. Из теоремы о неполноте следует, что такое доказательство провести нельзя, если мы рассматриваем теорию как метатеорию по отношению к самой себе.

[somequest1]

Karan в сообщении #1235478 писал(а):

источник, откуда будем брать основные определения.

http://www.runivers.ru/bookreader/book1 ... 7/mode/1up