Вопрос о непротиворечивости

[somequest1]

Будет ли справедливо следующее рассуждение:

Если система противоречива, значит мы можем из любого утверждения вывести одновременно и его истинность и его отрицание.

Допустим, мы берем произвольную систему(например, наивную теорию множеств) и доказываем, что существует утверждение, из которого невозможно вывести одновременно истинность и отрицание.
Если мы это докажем, то это будет служить доказательством ее непротиворечивости, так как декларация ее противоречивости будет противоречить нашему изначальному утверждению(которое выделено), а следовательно, по закону исключенного третьего, данная система непротиворечива.

Иными словами, для доказательства непротиворечивости системы достаточно доказать, что в ее рамках существует утверждение,которое не ведет к противоречию

И еще вопрос. Противоречит ли такая логика теоремам Гёделя?

[Sonic86]

А где попытки решения?
Что такое "противоречивая теория"?

[somequest1]

Sonic86
Это общеизвестно, и не требует пояснений

[Sonic86]

(Оффтоп)

Я не буду отвечать на примитивные вопросы при отсутствии попыток решения.

somequest1 в сообщении #1235413 писал(а):

Это общеизвестно, и не требует пояснений

определений несколько

[Z1X]

somequest1 в сообщении #1235407 писал(а):

берем произвольную систему(например, наивную теорию множеств)

Наивная теория множеств не является формальной системой.

somequest1 в сообщении #1235407 писал(а):

Если система противоречива, значит мы можем из любого утверждения вывести одновременно и его истинность и его отрицание.

Как вы себе представляете вывод из одного утверждения? А из двух? Возьмите некоторое утверждение в арифметике первого порядка и попытайтесь из него (только из него одного!) что-то вывести. Наконец, неясно, как вообще в самой теории вы предлагаете установить истинность. Теория не отвечает на вопрос, какие ее утверждения истинны, а какие — ложны. Даже выводимость — понятие метатеоретическое, по сути.

[Geen]

(Оффтоп)

Можно заметить, что посты ТС образуют противоречивую систему, поэтому в рамках этой темы можно вывести что угодно

[somequest1]

Z1X в сообщении #1235427 писал(а):

Как вы себе представляете вывод из одного утверждения?

Не понимаю о чем Вы говорите. Любое утверждение имеет вывод, на основе логики, в рамках соответствующей аксиоматики.

Z1X в сообщении #1235427 писал(а):

Наивная теория множеств не является формальной системой.

Почему?

[Z1X]

somequest1 в сообщении #1235437 писал(а):

утверждение имеет вывод

Вывод из чего?

somequest1 в сообщении #1235437 писал(а):

Почему?

Не является, потому что нет полноценных аксиом и правил вывода, а есть наивные рассуждения о теоретико-множественных понятиях.

[iifat]

Z1X в сообщении #1235427 писал(а):

Как вы себе представляете вывод из одного утверждения?

Очень просто, вообще-то. Вывод, насколько я помню, это цепочка высказываний, каждое из которых либо аксиома, либо получается из предыдущих по правилу вывода, не? Вроде бы, не помню ограничений на минимальную длину. Беру любую аксиому, повторяю её ещё раз (или не повторяю) — вот вам и вывод из одного утверждения.

[Z1X]

iifat, правило вывода $\dfrac{\varphi}{\varphi}$ нужно еще доказать. Изначально его нет ни в одном из общеизвестных исчислений. С другой стороны, ничто не мешает придумать такое исчисление, и пусть нас (тех, кто оценивает эту придумку) не смущает избыточность средств вывода.

[somequest1]

Z1X в сообщении #1235444 писал(а):

нет полноценных аксиом

А в чем их "неполноценность"?

[Z1X]

somequest1 в сообщении #1235448 писал(а):

А в чем их "неполноценность"?

А какие там вообще аксиомы? Беретесь привести аксиоматику наивной теории множеств?

[somequest1]

iifat
Под утверждением тут имеется в виду импликация, в данном случае. Любая непротиворечивая теорема является утверждением(или формулой)

-- 23.07.2017, 17:22 --

Z1X
Эта информация легко доступна в интернете, не хочу засорять топик. К тому же это темы не касается, можете вместо нее что-то другое подставить, не суть

-- 23.07.2017, 17:26 --

Z1X в сообщении #1235447 писал(а):

правило вывода $\dfrac{\varphi}{\varphi}$ нужно еще доказать.

Правила вывода не доказываются, они сами являются основой логических построений и доказательств

[Z1X]

somequest1 в сообщении #1235450 писал(а):

непротиворечивая теорема

Чему она не противоречит?

somequest1 в сообщении #1235450 писал(а):

Правила вывода не доказываются, они сами являются основой логических построений и доказательств

Если у вас есть вывод (он же — формальное доказательство), ничто не мешает взять все исходные гипотезы, все конечные заключения и сформировать новое правило вывода, которого доселе у вас не было.

[somequest1]

Z1X
непротиворечивость теоремы определяется тем, что в рамках данной системы невозможно вывести одновременно ее ложность и истинность