Фоновая метрика под горизонтом

[Erleker]

Geen
Уточните, какие преобразования от шварцшильдовских вы имели ввиду.
schekn
По этому поводу:

Erleker в сообщении #1234867 писал(а):

Надо ли еще, чтобы еще всюду: $dx^a=0 , a=1,2,3$ - времениподобно, $dx^0=0$ - пространственноподобно?

Это не обязательное условие.Для всех приведенных там выкладок достаточно перехода к $ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ на бесконечности (Вайнберг потом поясняет, зачем).
Так что берите Пенливе.Только перейдите (обычным образом) к $x,y,z$ (это важно).
И тут нет никаких проблем.

schekn в сообщении #1234908 писал(а):

Вы устраняете особенность в кривой метрики , но при этом она появится в плоской метрике

Какая особенность может появиться в обычном минковском, записанном в прямоугольных координатах?

[schekn]

Erleker в сообщении #1234919 писал(а):

Какая особенность может появиться в обычном минковском, записанном в прямоугольных координатах?

А какие проблемы? Выберете сингулярные преобразования координат на $r=r_g$. У вас появится разрыв в метрике
и неважно в прямоугольных координатах или в сферических.
Но вы не поняли главное - как вы собираетесь сшивать эти 2 разбиения (1) (2) и (3) (4) в биметрики?

[Erleker]

schekn
Не понимаю, что вы вообще хотите сшивать?Мы СК выбираем, покрывающую одной картой и $R$, и $T_{+}$ (вы привели Пеневле для белой дыры) область.И еще ставим условие, чтобы ее метрический тензор переходил в $\eta_{ik}$ на бесконечности.
Вы берете (подойдет):

$$ds^2=(1-\frac{r_g}{r})c^2d{\bar{t}}^2+2\sqrt{\frac{r_g}{r}}c d{\bar{t}}dr-dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad$$

Переходите от сферических к $x,y,z$
И теперь расписываете ее метрический тензор как:
$g_{ik}=h_{ik}+\eta_{ik}$
И все.
Где у вас проблема?

[Munin]

Erleker в сообщении #1234853 писал(а):

Нет, у него же вообще $V$ - световая координата!

Вы не те координаты берёте. В Минковском тоже есть световая.

Erleker в сообщении #1234853 писал(а):

*И надо, кстати, еще от сферических к прямоугольной потом вообще.

Нет, не надо.

schekn в сообщении #1234908 писал(а):

Я пока опущу проблему неоднозначности такого разбиения, хотя она есть.

Она ничему не мешает. Уравнения Эйнштейна выполняются независимо от этой неоднозначности.

Кстати:

schekn в сообщении #1234557 писал(а):

$$g_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}+\gamma_{\mu\nu}$$

Принято другое обозначение:

$$g_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}+\eta_{\mu\nu}.$$

[Erleker]

Munin в сообщении #1234947 писал(а):

Вы не те координаты берёте.

Ну, просто они выписаны (где я их у Новикова видел) с этой световой, вот я и подумал, что вы с ней хотите.
Так или иначе, мы уже определили подходящие координаты, с этим вопрос у schekn вроде закрыт.

Munin в сообщении #1234947 писал(а):

Erleker в сообщении #1234853 писал(а):

*И надо, кстати, еще от сферических к прямоугольной потом вообще.

Нет, не надо.

Надо.
Вайнберг объяснил, почему.

[schekn]

Erleker в сообщении #1234934 писал(а):

Переходите от сферических к $x,y,z$

Возьму готовый вид у Брумберга:

$$ds^2=(1-\frac{r_g}{r})c^2dt^2+2\sqrt{\frac{r_g}{r^{3/2}}}c dt(xdx+ydy+zdz)- dx^2-dy^2-dz^2 \quad (5)$$

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

фоновая метрика:

$$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \quad (6)$$

Чего-то у Брумберга или у меня ошибка где-то. Проверьте кто-нибудь.

Erleker в сообщении #1234934 писал(а):

Где у вас проблема?

Ну проблема была в метрике Эддингтона и выделении фона, но я сегодня не готов ответить, попробую завтра.

-- 20.07.2017, 21:22 --

Munin в сообщении #1234947 писал(а):

Принято другое обозначение:

$$g_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}+\eta_{\mu\nu}.$$

Это у Вайнберга. У Грищука стоит гамма.
Или $\eta_{\mu\nu}$ - именно в галилеевых координатах?

[Erleker]

schekn
У вас с ошибкой.
Будет:

$$ds^2=(1-\frac{r_g}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})c^2d{\bar{t}}^2+\frac{\sqrt {r_g}}{(x^2+y^2+z^2)^{3/4}}(xdx+ydy+zdz)cd{\bar{t}}- dx^2-dy^2-dz^2 $$

На удалении имеем:

$$ds^2=c^2d{\bar{t}}^2- dx^2-dy^2-dz^2 $$

Как и требовалось.

schekn в сообщении #1234951 писал(а):

Или $\eta_{\mu\nu}$ - именно в галилеевых координатах?

Да.Вайнберг вводит такое обозначение в (2.1.3) в 1 параграфе 2 главы.

Munin
Вот тут он поясняет, зачем нужно переходить (из того 6 параграфа 7 главы):

[Munin]

Erleker в сообщении #1234949 писал(а):

Надо.

Да замените в Минковском прямоугольные на сферические.

schekn в сообщении #1234951 писал(а):

Это у Вайнберга. У Грищука стоит гамма.
Или $\eta_{\mu\nu}$ - именно в галилеевых координатах?

"Эта" - плоская метрика (Минковский фон).

Да, наверное, для неплоского фона нужна другая буква. Но гамма как-то слишком задействована уже (например, в ЛЛ-2 ею обозначена "пространственная метрика" (которая вообще не метрика, к слову)).

Erleker в сообщении #1234987 писал(а):

Вот тут он поясняет

Косяк какой-то. Или у Вайнберга, или вы неправильно поняли контекст.

[Ms-dos4]

Erleker
Munin
Извиняюсь, что влезаю (быстро пролистал тему), но я тоже не понял с чего бы нужно заменять. Может Вайнберг имеет ввиду, что проблемы будут в том случае, если у вас $\[{\eta _{\mu \nu }}\]$ рассматривается в "прямоугольных", и если $\[{g_{\mu \nu }}\]$ будет стремится к сферическим на бесконечности то да, у разложения вероятно будут проблемы. Но ведь можно просто напросто рассмотреть $\[{\eta _{\mu \nu }}\]$ в "сферических", минковский минковским быть не перестанет.

[Erleker]

Ms-dos4
Нет, все не настолько примитивно.
Munin
Просто подставьте метрический тензор сферических координат c $ r^2 \to \infty$ вместо фонового галилеевого $\eta_{\mu\chi}$ в выражении для "тензора энергии-импульса гравитационного поля" $t_{\mu\chi}$ (7.6.4).
Вы получили бы бесконечно большой размер его вдали от источника (на что Вайнберг и указал).
Конечно, мы могли бы, возможно, изначально придумать что-то другое, чтобы избежать такой ситуации, не договариваясь о поднятии-опускании индексов по фону и не расписывая в таком виде, но это было бы уже что-то другое.
Показанный способ, вероятно, легчайший (и красивый).
Поэтому, я думаю, не стоит изобретать чего-то нового, а просто поступить вслед за ним так же (и вопрос ТС то в любом случае о способе у Вайнберга).
И перейти к $x,y,z$ (что, собственно, уже показано).

[Ms-dos4]

Erleker
Да как не получится то? Берём
$\[{\eta _{\mu \nu }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&{ - 1}&0&0 \\ 0&0&{ - {r^2}}&0 \\ 0&0&0&{ - {r^2}{{\sin }^2}\varphi } \end{array}} \right)\]$
Только в определениях Вайнберга нужно заменить все частные производные на ковариантные, со связностями данной метрики. Вот и все изменения. (Поправьте, если я не прав).

[schekn]

Munin в сообщении #1235004 писал(а):

"Эта" - плоская метрика (Минковский фон).

Я понимаю, у меня тоже "гамма" - отвечает за плоский фон, но в любых координатах, просто возможно Вайнберг подчеркивает , что $\eta$ именно в галилеевых ( прямоугольных координатах). Этот вопрос несколько подвис, когда я смотрел его. Erleker прав , что для вычисления компонент псевдотензора нужно брать в галилеевых, но для того, чтобы показать мои проблемы , можно в любых.

(Erleker - я уже потом сообразил, где у меня опечатка в метрике. )

[schekn]

Итак берем гармоническое решение в вакууме.

$$ds^2=\frac{r-\frac{rg}{2}}{r+\frac{rg}{2}}c^2dt^2- (1+\frac{r_g}{2r})^2(dx^2+dy^2+dz^2)-\frac{r+\frac{rg}{2}}{r-\frac{rg}{2}}\frac{(r_g/2)^2}{r^4}(xdx+ydy+zdz)^2\quad (1a)$$

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

И привязываем фоновую метрику в галилеевых координатах:

$$d{\sigma^2}=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \quad (2a)$$

Вы спросите Erleker , почему именно так. Во-первых, все проверки ОТО в слабых полях подтверждаются именно при таком разбиении.
Удаленный наблюдатель находится в хорошем приближении именно в плоском пространстве-времени.
Доказательство равенства инертной и гравитационных масс также проводится в таком разбиении.
Можно считать, что инструмент астрономов - удаленные "неподвижные " звезды - находятся именно в Минковском, введенным при таком разбиении.
Расчеты сближения двух звезд в системе двойной звезды и потери на гравитационное излучение ведутся именно в гармонических координатах при введении плоской метрики (2a) и хорошо согласуются с наблюдениями.

Теперь переводит обе метрики в сферические координаты.

$$ds^2=\frac{r-\frac{r_g}{2}}{r+\frac{r_g}{2}}c^2dt^2- \frac{r+\frac{r_g}{2}}{r-\frac{r_g}{2}}dr^2-(r+\frac{r_g}{2})^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (3a)$$

и плоскую:

$$d{\sigma^2}=c^2dt^2-dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad (4a)$$

Далее, чтобы соблюсти все формальности , заменяем $r+\frac{r_g}{2}$ на $r $, чтобы (3a) была в стандартной форме (менять значки не буду).

$$ds^2= (1-\frac{r_g}{r})c^2dt^2-\frac{dr^2}{1-r_g/r}-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (5a)$$

$$d{\sigma^2}=c^2dt^2-dr^2-(r-r_g/2)^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad (6a)$$

Далее переводим (5a) к виду Пенлеве по формуле:

$$dt=d{\bar{t}}+\frac{\sqrt{r_gr}}{r-r_g}dr$$

Здесь $\bar{t}$ - уже координата времени в Пенлеве . Получаем Пенлеве в сферических, как и вначале:

$$ds^2=(1-\frac{r_g}{r})c^2d{\bar{t}}^2+2\sqrt{\frac{r_g}{r}}c d{\bar{t}}dr-dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (7a)$$

И плоскую метрику:

$$d{\sigma^2}=c^2d{\bar{t}^2}+2c\frac{\sqrt{r_gr}}{r-r_g}drd{\bar{t}}+(\frac{r_gr}{(r-r_g)^2}-1)dr^2-(r-r_g/2)^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad (8a)$$

(вроде не накосячил, хотя проверьте).
Теперь смотрите, у нас плоская фоновая метрика получилась в таком виде (8a), которая содержит сингулярность на горизонте.
Эта особенность говорит о применимости привязывания фоновой метрики к гармоническому решению.
Вы не можете данную фоновую метрику распространить под горизонт.
И здесь возникает вторая проблема - неоднозначность. Поскольку Erleker, вы сами ссылаетесь на псевдотензор гравитационного поля
по Вайнбергу (7.6.4). Туда входят две метрики - $g$ и $\eta$.
Значит , если вы откажитесь от метрики (8a) и замените ее на привычную плоскую в галилеевом виде, привязанном уже к метрике Пенлеве, то получите другой результат при вычислении энергии гравитационных волн (и в других вычислениях, где используется псевдотензор).

-- 21.07.2017, 11:38 --

(некоторые опечатки нашел, исправил).

[Erleker]

Ms-dos4
Во-первых не все, во-вторых это бы не исправило рост "энергии-импульса грав. поля" на бесконечности.
schekn
Вы зачем-то берете одну СК (с координатной сингулярностью!) и в ней раскладываете , а потом обе метрики (и фонововую, и $h_{ik}$) преобразуете вместе.
А вы должны отдельно в выбранной СК (у вас Пенлеве) снова раскладывать.
Вот именно так и нужно:

schekn в сообщении #1235071 писал(а):

откажитесь от метрики (8a) и замените ее на привычную плоскую в галилеевом виде, привязанном уже к метрике Пенлеве

При этом вы получите, само-собой, другие значения величин.Но в чем будет проблема?

schekn в сообщении #1235071 писал(а):

получите другой результат при вычислении энергии гравитационных волн (и в других вычислениях, где используется псевдотензор).

Распишите, пожалуйста, подробно, какое противоречие у вас тут возникает.

[schekn]

Erleker в сообщении #1235289 писал(а):

Вы зачем-то берете одну СК (с координатной сингулярностью!) и в ней раскладываете , а потом обе метрики (и фонововую, и $h_{ik}$) преобразуете вместе.
А вы должны отдельно в выбранной СК (у вас Пенлеве) снова раскладывать.

Разложение (1a) (2a) эквивалентно (7a) (8a) , хоть и возможно только в области $r>r_g $. Но не эквивалентно тому, что вы предлагаете.
Поскольку гравитационное поле в таком случае есть : $h_{\mu\nu}= g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}$. И оно получается разным при разных разложениях с фоновой метрики.
А почему? Самое простое - найдите чему равно значение псевдотензора $t^{00}$ на горизонте. У меня при разложении (1a), (2a) псевдотензор по Ландау дал бесконечность и недавно я рассчитал по Вайнбергу - тоже бесконечность. А по вашей схеме-разложению - не получите сингулярность. (чуть подробнее смогу в среду).