Наивные вопросы о вещественной прямой и функциях на ней

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о вещественной прямой и определённых на ней функциях. Топологические свойства, пределы функций, ограниченность, монотонность и т.д. Словом, всё, что не требует производной и интеграла (про них будут отдельные темы). Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Непрерывная незамкнутая сюръекция с промежутка на промежуток

Как известно, отображение называется $f: X \to Y$ замкнутым, если из каждого замкнутого $A \subset X$ оно делает замкнутое же $f(A) \subset Y$. Известно также, что непрерывность и замкнутость отображений встречаются во всех четырех сочетаниях.

Простейший пример непрерывного, но не замкнутого отображения - функция $\mathbb R \to \mathbb R \ y = \arctg x$, которая из замкнутого $\mathbb R$ делает незамкнутое $(-\pi/2, \pi/2)$. Однако попробуем найти пример в более жестких условиях, когда:
1. $X, Y \subset \mathbb R$ - промежутки.
2. $f(X) = Y$.
3. $f$ - непрерывна, но не замкнута, где то и другое понимается в смысле топологий подпространств $X$ и $Y$, индуцированных из $\mathbb R$.

Что-то такой пример у меня не получаеццо...

[worm2]

И не получится, потому что непрерывная функция на компакте (которым является отрезок $X$) обязательно достигает своих точных нижней и верхней граней.

[Anton_Peplov]

worm2 в сообщении #1233718 писал(а):

на компакте (которым является отрезок $X$)

В класс промежутков я всегда по умолчанию включал лучи и саму прямую (не знаю, насколько это общепринято). Так что $X$ не обязательно ограничено и, следовательно, не обязательно компактно.

[worm2]

А, ну то есть $X$ — это луч, например, $[0, +\infty)$.

$$f(x)=\frac{x\sin x }{1+x}$$

переводит его в $(-1, 1)$.

-- Сб июл 15, 2017 18:33:56 --

Или нужно взаимно-однозначное преобразование?

[Anton_Peplov]

Не, искать образ всего $X$ бесполезно, т.к. он всегда будет замкнут в $Y$ из того простого условия, что

Anton_Peplov в сообщении #1233711 писал(а):

2. $f(X) = Y$.

Нужно искать незамкнутый в $Y$ образ замкнутого (в $X$) собственного подмножества $X$.

-- 15.07.2017, 16:38 --

worm2 в сообщении #1233732 писал(а):

Или нужно взаимно-однозначное преобразование?

Это точно не выйдет, т.к. любой гомеоморфизм - замкнутое отображение.

[grizzly]

А если так. $X=(0;+\infty), Y=(-1;+\infty)$ Функция
$f(x)=\frac{\sin\frac1x}{1-x}, x\in (0;1/\pi), \quad f(x)=x-1/\pi, x\ge 1/\pi$.
Смотрим на $f((0;1/\pi])$.

UPD. Ну да, $f((0;1/\pi])=(-1;1)$ -- не замкнуто в $Y$. В общем идея понятная, разнести -- незамкнутые множества в одну сторону, а котлеты в другую.

[Anton_Peplov]

Красивый пример. Спасибо, grizzly.

-- 15.07.2017, 19:04 --

grizzly в сообщении #1233746 писал(а):

$f((0;1/\pi])=(-1;1)$

А там точно $-1$ будет нижней границей? Мне кажется, что нет. Ведь знаменатель меньше единицы, а числитель неограниченно приближается к $-1$.

-- 15.07.2017, 19:14 --

Да, вот и калькулятор для $x = \frac{3}{4\pi}$ дает $f(x) < -1$. Но это, разумеется, не важно. Важно, чтобы образом оказался все-таки интервал (а как обосновать, что это будет интервал, я что-то не соображу сходу).

[grizzly]

Можно было взять функцию попроще. Типа $f(x)=|1-x|$ на промежутке $(0;3]$. И добиться того же результата на подмножестве $x\in (0; 1]$. Но всегда хочется чего-то эффектного, а не простого :)

-- 15.07.2017, 21:45 --

Anton_Peplov в сообщении #1233752 писал(а):

(а как обосновать, что это будет интервал, я что-то не соображу сходу).

Хм.. Скорее всего и не будет. Там опечатка, я собирался в знаменателе поставить $1+x$.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #1233786 писал(а):

Там опечатка, я собирался в знаменателе поставить $1+x$.

Тогда все в порядке. Действительно, во-первых, $f((0;1/\pi])$ есть промежуток как непрерывный образ промежутка. Во-вторых, числитель меняется в отрезке $[-1, 1]$, а знаменатель всюду больше единицы, так что при любом $x$ выполняется $-1 < f(x) < 1$. С другой стороны, последовательность $\{x_n\} \to 0$ такая, что $\sin \frac{1}{x_n} = 1$, отображается в сходящуюся к единице $\{y_n\}$, то же касается минус единицы. Таким образом, будут сколь угодно близкие к $1$ и $-1$ значения функции. Эрго, $f((0;1/\pi])=(-1, 1)$.

Да, насчет компактности. На самом деле можно взять $X$ и интервалом, и полуинтервалом - замкнутые на нем множества в общем случае не будут компактны. Например, для $X = (0, 2)$ полуинтервал $(0, 1]$ замкнут, но не компактен. Нельзя только взять $X$ отрезком.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1233721 писал(а):

В класс промежутков я всегда по умолчанию включал лучи и саму прямую (не знаю, насколько это общепринято).

Я привык к тому, что есть отрезки (оба конца включаются), интервалы (оба конца не включаются; могут быть бесконечными в одну или в обе стороны) и полуинтервалы (один конец включается; могут быть бесконечными в одну сторону). А термин "промежуток" означает любое из перечисленного.

Но могут быть варианты.

Anton_Peplov в сообщении #1233735 писал(а):

Не, искать образ всего $X$ бесполезно, т.к. он всегда будет замкнут в $Y$ из того простого условия, что

Непрерывная сюръекция не обязательно замкнута. Советую придумать совсем простое отображение интервала на отрезок. И не привязывайтесь к элементарным функциям.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1233907 писал(а):

Непрерывная сюръекция не обязательно замкнута.

Да. Собственно, примеры выше уже построены. Говоря

Anton_Peplov в сообщении #1233735 писал(а):

Не, искать образ всего $X$ бесполезно, т.к. он всегда будет замкнут в $Y$ из того простого условия, что

Anton_Peplov в сообщении #1233711 писал(а):

2. $f(X) = Y$.

Нужно искать незамкнутый в $Y$ образ замкнутого (в $X$) собственного подмножества $X$

Я имел в виду следующее элементарное соображение. Чтобы показать, что отображение не замкнуто, нужно продемонстрировать незамкнутый образ замкнутого множества. Но таким множеством для сюръекции не может быть само $X$, т.к. по определению сюръекции $f(X) = Y$, а $Y$, естественно, замкнуто в самом себе.
Просто там выше worm2 как раз образ всего $X$ пытался подобрать. Я и сказал, что это бесполезно.

[Someone]

Ну, может быть, я Вас не понял.

Советую всё-таки посмотреть на кусочно-линейные отображения. Там очень легко подобрать незамкнутую сюръекцию интервала на полуинтервал или на отрезок.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 2. Интервал как счётное объединение попарно непересекающихся отрезков

Представить интервал $(0, 1)$ как объединение счётной системы попарно непересекающихся отрезков $[a_n, b_n]$ или доказать, что такого представления не существует.

Вот если разрешить им пересекаться, тогда всё понятно. $(0, 1) = [0{,}5; 0{,}9] \cup [0{,}5; 0{,}99] \cup [0{,}5; 0{,}999] \cup \dots \cup (0{,}1, 0{,}5] \cup (0{,}01, 0{,}5]\cup \dots$
Даже если разрешить соседним пересекаться только в одной точке, тогда тоже понятно. А вот как запретить им пересекаться вообще и при этом оставить систему счётной?

$(0,1)$ можно разбить на счётную систему отдельных точек (тоже отрезки, $\{a_n\} = [a_n, a_n]$) и интервалов $(c_n, d_n)$, но это никак не поможет, ведь для каждого из этих интервалов снова встаёт исходная задача.

Неужто такого представления интервала $(0, 1)$ не может быть? Тогда почему?

(Оффтоп)

Здравствуй, математика. Я скучал.

[Padawan]

Не может. Докажите, что если выкидывать не отрезки, а их внутренности, то останется континуальное множество (содержащее множество, гомеоморфное канторову совершенному множеству).

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1456062 писал(а):

Докажите, что если выкидывать не отрезки, а их внутренности, то останется континуальное множество

Что-то я не понял, внутренности каких отрезков предлагается выкидывать и зачем. Можно подробнее?