2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Наивные вопросы о вещественной прямой и функциях на ней
Сообщение15.07.2017, 14:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8507
Здесь я буду задавать наивные вопросы о вещественной прямой и определённых на ней функциях. Топологические свойства, пределы функций, ограниченность, монотонность и т.д. Словом, всё, что не требует производной и интеграла (про них будут отдельные темы). Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Непрерывная незамкнутая сюръекция с промежутка на промежуток

Как известно, отображение называется $f: X \to Y$ замкнутым, если из каждого замкнутого $A \subset X$ оно делает замкнутое же $f(A) \subset Y$. Известно также, что непрерывность и замкнутость отображений встречаются во всех четырех сочетаниях.

Простейший пример непрерывного, но не замкнутого отображения - функция $\mathbb R \to \mathbb R \  y = \arctg x$, которая из замкнутого $\mathbb R$ делает незамкнутое $(-\pi/2, \pi/2)$. Однако попробуем найти пример в более жестких условиях, когда:
1. $X, Y \subset \mathbb R$ - промежутки.
2. $f(X) = Y$.
3. $f$ - непрерывна, но не замкнута, где то и другое понимается в смысле топологий подпространств $X$ и $Y$, индуцированных из $\mathbb R$.

Что-то такой пример у меня не получаеццо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение15.07.2017, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
И не получится, потому что непрерывная функция на компакте (которым является отрезок $X$) обязательно достигает своих точных нижней и верхней граней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение15.07.2017, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8507
worm2 в сообщении #1233718 писал(а):
на компакте (которым является отрезок $X$)
В класс промежутков я всегда по умолчанию включал лучи и саму прямую (не знаю, насколько это общепринято). Так что $X$ не обязательно ограничено и, следовательно, не обязательно компактно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение15.07.2017, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
А, ну то есть $X$ — это луч, например, $[0, +\infty)$.
$$f(x)=\frac{x\sin x }{1+x}$$ переводит его в $(-1, 1)$.

-- Сб июл 15, 2017 18:33:56 --

Или нужно взаимно-однозначное преобразование?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение15.07.2017, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8507
Не, искать образ всего $X$ бесполезно, т.к. он всегда будет замкнут в $Y$ из того простого условия, что
Anton_Peplov в сообщении #1233711 писал(а):
2. $f(X) = Y$.
Нужно искать незамкнутый в $Y$ образ замкнутого (в $X$) собственного подмножества $X$.

-- 15.07.2017, 16:38 --

worm2 в сообщении #1233732 писал(а):
Или нужно взаимно-однозначное преобразование?
Это точно не выйдет, т.к. любой гомеоморфизм - замкнутое отображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение15.07.2017, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
А если так. $X=(0;+\infty), Y=(-1;+\infty)$ Функция
$f(x)=\frac{\sin\frac1x}{1-x}, x\in (0;1/\pi), \quad f(x)=x-1/\pi, x\ge 1/\pi$.
Смотрим на $f((0;1/\pi])$.

UPD. Ну да, $f((0;1/\pi])=(-1;1)$ -- не замкнуто в $Y$. В общем идея понятная, разнести -- незамкнутые множества в одну сторону, а котлеты в другую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение15.07.2017, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8507
Красивый пример. Спасибо, grizzly.

-- 15.07.2017, 19:04 --

grizzly в сообщении #1233746 писал(а):
$f((0;1/\pi])=(-1;1)$
А там точно $-1$ будет нижней границей? Мне кажется, что нет. Ведь знаменатель меньше единицы, а числитель неограниченно приближается к $-1$.

-- 15.07.2017, 19:14 --

Да, вот и калькулятор для $x = \frac{3}{4\pi}$ дает $f(x) < -1$. Но это, разумеется, не важно. Важно, чтобы образом оказался все-таки интервал (а как обосновать, что это будет интервал, я что-то не соображу сходу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение15.07.2017, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Можно было взять функцию попроще. Типа $f(x)=|1-x|$ на промежутке $(0;3]$. И добиться того же результата на подмножестве $x\in (0; 1]$. Но всегда хочется чего-то эффектного, а не простого :)

-- 15.07.2017, 21:45 --

Anton_Peplov в сообщении #1233752 писал(а):
(а как обосновать, что это будет интервал, я что-то не соображу сходу).

Хм.. Скорее всего и не будет. Там опечатка, я собирался в знаменателе поставить $1+x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение16.07.2017, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8507
grizzly в сообщении #1233786 писал(а):
Там опечатка, я собирался в знаменателе поставить $1+x$.
Тогда все в порядке. Действительно, во-первых, $f((0;1/\pi])$ есть промежуток как непрерывный образ промежутка. Во-вторых, числитель меняется в отрезке $[-1, 1]$, а знаменатель всюду больше единицы, так что при любом $x$ выполняется $-1 < f(x) < 1$. С другой стороны, последовательность $\{x_n\} \to 0$ такая, что $\sin \frac{1}{x_n} = 1$, отображается в сходящуюся к единице $\{y_n\}$, то же касается минус единицы. Таким образом, будут сколь угодно близкие к $1$ и $-1$ значения функции. Эрго, $f((0;1/\pi])=(-1, 1)$.

Да, насчет компактности. На самом деле можно взять $X$ и интервалом, и полуинтервалом - замкнутые на нем множества в общем случае не будут компактны. Например, для $X = (0, 2)$ полуинтервал $(0, 1]$ замкнут, но не компактен. Нельзя только взять $X$ отрезком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение16.07.2017, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1233721 писал(а):
В класс промежутков я всегда по умолчанию включал лучи и саму прямую (не знаю, насколько это общепринято).
Я привык к тому, что есть отрезки (оба конца включаются), интервалы (оба конца не включаются; могут быть бесконечными в одну или в обе стороны) и полуинтервалы (один конец включается; могут быть бесконечными в одну сторону). А термин "промежуток" означает любое из перечисленного.

Но могут быть варианты.

Anton_Peplov в сообщении #1233735 писал(а):
Не, искать образ всего $X$ бесполезно, т.к. он всегда будет замкнут в $Y$ из того простого условия, что
Непрерывная сюръекция не обязательно замкнута. Советую придумать совсем простое отображение интервала на отрезок. И не привязывайтесь к элементарным функциям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение16.07.2017, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8507
Someone в сообщении #1233907 писал(а):
Непрерывная сюръекция не обязательно замкнута.
Да. Собственно, примеры выше уже построены. Говоря
Anton_Peplov в сообщении #1233735 писал(а):
Не, искать образ всего $X$ бесполезно, т.к. он всегда будет замкнут в $Y$ из того простого условия, что
Anton_Peplov в сообщении #1233711 писал(а):
2. $f(X) = Y$.
Нужно искать незамкнутый в $Y$ образ замкнутого (в $X$) собственного подмножества $X$
Я имел в виду следующее элементарное соображение. Чтобы показать, что отображение не замкнуто, нужно продемонстрировать незамкнутый образ замкнутого множества. Но таким множеством для сюръекции не может быть само $X$, т.к. по определению сюръекции $f(X) = Y$, а $Y$, естественно, замкнуто в самом себе.
Просто там выше worm2 как раз образ всего $X$ пытался подобрать. Я и сказал, что это бесполезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение16.07.2017, 14:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Ну, может быть, я Вас не понял.

Советую всё-таки посмотреть на кусочно-линейные отображения. Там очень легко подобрать незамкнутую сюръекцию интервала на полуинтервал или на отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение19.04.2020, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8507
Вопрос № 2. Интервал как счётное объединение попарно непересекающихся отрезков

Представить интервал $(0, 1)$ как объединение счётной системы попарно непересекающихся отрезков $[a_n, b_n]$ или доказать, что такого представления не существует.

Вот если разрешить им пересекаться, тогда всё понятно. $(0, 1) = [0{,}5; 0{,}9] \cup [0{,}5; 0{,}99] \cup [0{,}5; 0{,}999] \cup \dots \cup (0{,}1, 0{,}5] \cup (0{,}01, 0{,}5]\cup \dots$
Даже если разрешить соседним пересекаться только в одной точке, тогда тоже понятно. А вот как запретить им пересекаться вообще и при этом оставить систему счётной?

$(0,1)$ можно разбить на счётную систему отдельных точек (тоже отрезки, $\{a_n\} = [a_n, a_n]$) и интервалов $(c_n, d_n)$, но это никак не поможет, ведь для каждого из этих интервалов снова встаёт исходная задача.

Неужто такого представления интервала $(0, 1)$ не может быть? Тогда почему?

(Оффтоп)

Здравствуй, математика. Я скучал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение19.04.2020, 16:58 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
Не может. Докажите, что если выкидывать не отрезки, а их внутренности, то останется континуальное множество (содержащее множество, гомеоморфное канторову совершенному множеству).

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологии вещественной прямой
Сообщение19.04.2020, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8507
Padawan в сообщении #1456062 писал(а):
Докажите, что если выкидывать не отрезки, а их внутренности, то останется континуальное множество
Что-то я не понял, внутренности каких отрезков предлагается выкидывать и зачем. Можно подробнее?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group