Там опечатка, я собирался в знаменателе поставить
.
Тогда все в порядке. Действительно, во-первых,
есть промежуток как непрерывный образ промежутка. Во-вторых, числитель меняется в отрезке
, а знаменатель всюду больше единицы, так что при любом
выполняется
. С другой стороны, последовательность
такая, что
, отображается в сходящуюся к единице
, то же касается минус единицы. Таким образом, будут сколь угодно близкие к
и
значения функции. Эрго,
.
Да, насчет компактности. На самом деле можно взять
и интервалом, и полуинтервалом - замкнутые на нем множества в общем случае не будут компактны. Например, для
полуинтервал
замкнут, но не компактен. Нельзя только взять
отрезком.