Разложение тензоров для реком. систем

[Xaositect]

Munin в сообщении #1232868 писал(а):

А меня учили, что матрица - это элемент алгебры матриц, с операциями сложения и умножения над полем. Конечно, можно вводить и другие операции, но вот эти - по определению есть.

Я могу припомнить пару мест, где используют матрицы над бесструктурными множествами. Например, в теории автоматов представляют граф переходов матрицей над алфавитом.

[Munin]

Z1X в сообщении #1232871 писал(а):

Именно над полем? А вас учили, что наряду с этим частным случаем, матрицы бывают над кольцом, полукольцом и вообще просто над непустым множеством?

Нет, не учили. По нашей версии, матрицы есть частный случай векторного пространства. А оно над полем. Ну, может, бывает и пошире определение, прошло мимо меня.

-- 11.07.2017 22:32:37 --

Xaositect в сообщении #1232873 писал(а):

Я могу припомнить пару мест, где используют матрицы над бесструктурными множествами. Например, в теории автоматов представляют граф переходов матрицей над алфавитом.

Ну, может, их там матрицами условно называют. Не в алгебраическом смысле. (Хотя, алфавит есть образующее множество свободной полугруппы.)

Но вообще, я так понимаю, нужен какой-то повод, чтобы вводить новое слово "матрица" для элемента множества $M^{m\times n}.$ Алгебраическая структура - вполне как раз такой повод, уважаемый.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1232876 писал(а):

Но вообще, я так понимаю, нужен какой-то повод, чтобы вводить новое слово "матрица" для элемента множества $M^{m\times n}.$ Алгебраическая структура - вполне как раз такой повод, уважаемый.

Кстати, "Математическая энциклопедия" согласна со мной, матрица может быть над любым множеством, а операции определяются, если на множестве есть алгебраическая структура:

Математическая энциклопедия писал(а):

МАТРИЦА - прямоугольная таблица

$$\begin{Vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{Vmatrix},\eqno{(1)}$$

состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов, элементы к-рой $a_{ij}$ принадлежат нек-рому множеству $K$. [...]

В наиболее важных случаях в качестве $K$ выступают поле действительных чисел, поле комплексных чисел, произвольное поле, кольцо многочленов, кольцо целых чисел, кольцо функций, произвольное ассоциативное кольцо. Операции сложения и умножения, определенные на $K$, естественным образом переносятся на М. над $K$ и возникает матричное исчисление - предмет теории М.
[...]

Пусть $K$ - ассоциативное кольцо. Тогда [даются обычные определения сложения и умножения матриц...]

[Munin]

Ок.

[Z1X]

Munin в сообщении #1232876 писал(а):

Ну, может, их там матрицами условно называют. Не в алгебраическом смысле.

Матрица ж — не алгебраический, а комбинаторный объект.

[qwarck]

Друзья, спасибо за ваши посты:) Честно говоря, не очень-то хотелось разглашать где, как и зачем хочу применять тензорное разложение, но думаю, всё-таки лучше мне рассказать немного поподробнее. Как я уже отмечал, я-человек не из этой области. Я-инженер-нефтяник, но сейчас я оставил работу и учусь в зарубежном вузе. Так вот, мой научный руковод. в определенной степени убеждён в том, что тензорные разложения могут помочь нам в открытии каких-либо закономерностей и вообще в анализе данных, с которыми мы работаем. Данные у нас, в принципе, можно собрать многоразмерный массив и разложить, но я не уверен, что мы можем извлечь из этого что-то. Поэтому я бы хотел узнать ваше мнение-мнение людей, которые работали и работают с тензорами-применяются ли тензорные разложения для подобного рода целей, и если да, то как конкретно.

[Munin]

qwarck в сообщении #1233181 писал(а):

Так вот, мой научный руковод. в определенной степени убеждён в том, что тензорные разложения могут помочь нам в открытии каких-либо закономерностей и вообще в анализе данных, с которыми мы работаем.

Это маниловщина. Либо вы открываете закономерности какие-то конкретные как-то конкретно, либо нечего мечтать.

В анализе данных используются в основном статистические методы: метод главных компонент, кластеризация и т. д.