Помогите решить волновое УрЧП для плоского источника в R^3.

[user_ivan]

Давайте я "честнее" попробую посчитать.

$\theta(t)\delta(x) \ast \theta(t)\delta(a^2t^2 - |x|^2)$

Свёртку по $\delta(x)$ можно проигнорировать. Запишем свёртку по $t$.

$\int_{-\infty}^{\infty} \theta(\tau)\theta(t - \tau)\delta(a^2t^2 - |x|^2)d\tau $

Две "теты" -- это просто пределы интегрирования.


$\int_{0}^{t}\delta(a^2\tau^2 - |x|^2) d \tau $

Заменим переменную:

$ \frac{1}{2a^2\tau}|_{t=\frac{|x|}{a}} $

Это можно сделать, потому что $|\nabla_t (a^2t^2 - |x|^2|) = 2a^2t$.

Подставим значение $t$

Итого: $\theta(t)\theta( \frac{|x|}{a} - t) \frac{1}{2a|x|}$.

Физический смысл решения... эээ... типа, поле вида $\frac{1}{|x|}$ "отрисовывается" от нуля со скоростью $\frac{1}{a}$.

Имеет отношение к реальности?

[svv]

В решении $\theta(t)\theta( \frac{|x|}{a} - t) \frac{1}{2a|x|}$ я вижу странности:
1) Почему при положительных $t$, гораздо бОльших $|x|$, решение не совпадает с решением статического уравнения $\Delta U=\delta(x)$ в коэффициенте? Как выглядит решение этого уравнения, убывающее на бесконечности? Чему равен коэффициент при $\frac 1{|x|}$?
2) Посмотрите на вторую ступенчатую функцию. Она «включена» при больших $\frac {|x|} a$ и малых $t$. И «выключена» при малых $\frac {|x|} a$ и больших $t$. Если поле $U$ в любой точке нулевое, пока туда не дошла волна из начала координат, всё должно быть наоборот.
3) Я понимаю, что $a$ — это параметр размерности скорости, входящий в уравнение: $\Delta U-\frac 1{a^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}=\text{правая часть}$. Но надо бы пояснить.

К 1) и 2): начальные и граничные условия не заданы, предположим, что $U=0$ везде при $t<0$.

(Оффтоп)

Вы, наверное, согласитесь, что ответ должен удовлетворять простейшим требованиям корректности.
Мне кажется, что «разделение ролей» должно быть таким. Вы делаете выкладки и проверяете, что результат удовлетворяет этим требованиям. Если есть очевидные нестыковки, значит, в вычислениях точно ошибка. Естественно, зная, что она там есть, Вы пытаетесь найти её сами. Если ошибка упорно не находится, Вы обращаетесь за помощью, но уже не с формулировкой «правильные ли вычисления и ответ?», а с более сознательной «где тут ошибка?».

[user_ivan]

1)Вы правы, без "обрезки" там должно быть

$\frac{1}{4\pi |x|}$, коэффициент $2\pi$ я убрал, чтобы не таскать его в формулах, но когда пришёл к ответу, забыл вернуть.

2)Глупость какую-то я написал со второй ступенькой.

Вероятно, просто $\theta(t-{|x|})$

3)Про а вы опять правы, её просто не должно быть. Я, в какой-то момент забыл, что в задаче оператор с параметром 1.

(Оффтоп)

Я стараюсь так делать, но, как правило, просто не замечаю нестыковок после долгих попыток решения. Скажем, я просто не сообразил, что решение волнового уравлнения будет совпадать с решением уравнения Лапласа. (Да ещё что моё начальное условие -- это почти условие фундаментального решения для него.

Скажем, само решение вида "отрисовка 1/x от нуля" кажется мне противоречащим здравому смыслу,
хотя сейчас я думаю, "а почему?".

[svv]

Хорошо. Мелкие замечания:
1) Есть ещё вопрос со знаком. Если Вы посмотрите эту тему, Вы сможете решить, какой должен быть знак.
2) Согласен, что вторая ступенька должна быть $\theta(t-|x|)$. У нас есть ещё первая ступенька $\theta(t)$. Но так как $t-|x|\leqslant t$, то всё решает исключительно вторая ступенька. Тогда первая и не нужна.
Что в итоге получается?

[user_ivan]

Да, вы правы. Итого получается

$U_1 = - \theta(t - |x|)\frac{1}{4\pi |x|}$

Для первого компонента суммы.

[user_ivan]

Давайте я ещё со вторым попробую разобраться.

Итак:

$\Delta U = \delta(t)(x,x_0)$

Свернём правую часть с функцией Грина.

$\delta(t)(x,x_0) \ast \frac{\theta(t)}{4\pi |x|}\delta(t - |x|) $

Свёртка с дельтой по $t$ ничего не меняет, посчитаем свёртку по $x$.

$\int_{R^3} (x-\xi, x_0) \frac{\theta(t)}{4\pi |\xi|}\delta(t - |\xi|) dx$

Дельта-функция изменит нам область интегрирования:

$\int_{|\xi|=t} (x-\xi, x_0) \frac{\theta(t)}{4\pi |\xi|}d\sigma_{\xi}$

По линейности скалярного произведения, разложим интеграл на два:

$\int_{|\xi|=t} (x, x_0) \frac{\theta(t)}{4\pi |\xi|}d\sigma_{\xi} - \int_{|\xi|=t} (\xi, x_0) \frac{\theta(t)}{4\pi |\xi|}d\sigma_{\xi}$

В первом интеграле, скалярное произведение не зависит от $\xi$, вынесем его (и всё лишнее) за знак интеграла, а во втором, вынесем лишнее и внесём модуль под скалярное произведение:

$(x, x_0) \frac{\theta(t)}{4\pi} \int_{|\xi|=t} \frac{1}{|\xi|}d\sigma_{\xi} - \frac{\theta(t)}{4\pi } \int_{|\xi|=t} (\frac{\xi}{|\xi|}, x_0) d\sigma_{\xi}$

Первый интеграл получается только площадь поверхности сферы, делённая на радиус:
$(x, x_0) \frac{\theta(t)}{4\pi}\frac{4\pi t^2}{t} = (x,x_0)t\theta(t)$

Во втором же интеграле вообще нет зависимости от $x$, значит он константа. Ну и более-менее очевидно, что для любого вектора $\xi$ найдётся вектор $-\xi$, который с ним взаимно уничтожится в скалярном произведении. Значит, эта константа -- нуль.

Получаем, что вторая часть равна:

$U_2 = (x,x_0)t\theta(t)$

То есть, распределение поля не меняется, а модуль в каждой точке линейно растёт со временем.

Консистентность: две производные по $x$ должны скалярное произведение занулить (оно первой степени), а две производные по $t$ должны дать $\delta(t)$, то есть, вроде бы, требуемое начальное условие. Только где-то минус потерялся.

Где я ошибаюсь?

[svv]

user_ivan в сообщении #1232926 писал(а):

Да, вы правы. Итого получается
$U_1 = - \theta(t - |x|)\frac{1}{4\pi |x|}$
Для первого компонента суммы.

Верно.
Так а Вы можете получить это решение? Это же пока мы просто нарисовали, что должно быть.

[user_ivan]

Нет, пожалуй, я не очень понимаю, откуда минус.

Ну, то есть, можно продифференцировать и подставить, но это не решение.

[svv]

В книге Джексона «Классическая электродинамика» для волнового уравнения
$\Delta\psi-\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=-4\pi f(\mathbf x, t)$
запаздывающая функция Грина имеет вид
$G(\mathbf x, t; \mathbf x', t')=\dfrac{\delta(t'+\frac{|\mathbf x-\mathbf x'|}{c}-t)}{|\mathbf x-\mathbf x'|}$

Если волновое уравнение записывается с правой частью $f(\mathbf x, t)$, тогда в функции Грина будет дополнительный множитель $\left(-\frac 1{4\pi}\right)$. Единого стандарта нет, но в любом случае уравнение $Lu(x)=f(x)$ и его функция Грина $G(x, s)$ должны быть согласованы, чтобы выполнялось
$L\int G(x, s) f(s) ds = f(x)$

Например, в английской Википедии в статье Green's function, пункт Table of Green's functions для уравнения $Lu=f$ в строке D'Alembert operator приводится функция Грина $\frac{\delta(t-r/c)}{4\pi r}$. Куда делся минус? Ведь он должен быть либо в правой части, либо в функции Грина. Оказывается, там оператор д'Аламбера определён с противоположным знаком: вторая производная по времени минус лапласиан. Таким образом, всё правильно, но надо быть очень внимательным.

[user_ivan]

Я по Владимирову стараюсь идти. Временами заглядывая в Шубина, Жаринова, Константинова и Тихонова-Самарского.

Несогласованность обозначений иногда сбивает, конечно.

А на вторую часть можете посмотреть?

[svv]

Да, только чуть позже, сегодня буду занят во второй половине дня.

[svv]

В.С.Владимиров в книге «Уравнения математической физики» (1981) писал(а):

user_ivan в сообщении #1231904 писал(а):

Вместо $\Delta$, конечно, $\square=\Delta-\frac{\partial^2}{d^2}$.

[user_ivan]

Запутался, да.

[svv]

Победа?