Помогите решить волновое УрЧП для плоского источника в R^3.

[user_ivan]

Пытаюсь решить обобщённый урмат в $R^3$.

$\Delta U = \theta(t)\delta(x) + \delta(t)(x_0,x)$

Попытка решения:

1)Вспомним формулу волнового потенциала:

$\Epsilon_3(x,t) = \frac{\theta(t)}{2\pi } \delta( t^2 - |x|^2)$

2)Свернём его с правой частью.

Свёртка суммы -- это сумма свёрток.

3)Рассмотрим первую часть суммы:

$\theta(t)\delta(x) \ast \frac{\theta(t)}{2\pi } \delta( t^2 - |x|^2)$

Свёртка с $\delta(x)$ ничего не меняет, умножение на $\theta(t)$ ничего не меняет.

$\theta(t) \ast \frac{1}{2\pi} \delta( t^2 - |x|^2)$

Дальше, $\theta(t)$ равна 1 во всём пространстве, а правая часть -- это сферический фронт. Рассмотрим любую точку пространства и в ней две функции по $t$. Свёртка с дельтой ничего не делает, но у нас дельта со сдвигом, которая сдвигает функцию по аргументу. Ответ:

$\frac{1}{2\pi } \theta( t^2 - |x|^2)$

Физический смысл этой части решения: во всём пространстве поля нет, затем по пространству пробегает единичный "сдвиг", создавая в пространстве шар со значением поля 1.

4)Рассмотрим вторую часть суммы:

$\delta(t)(x_0,x) \ast \frac{\theta(t)}{2\pi } \delta( t^2 - |x|^2)$

Тут я малость споткнулся.

Понятно, что $\delta(t)(x_0,x)$ -- это "единичный" импульс, и он распространяется от двумерной плоскости в трёхмерном пространстве.

Понятно, что у него будет два фронта, разлетающихся от этой плоскости со скоростью $a$.

Кажется, что для фронтов можно записать значение поля как:

$\frac{1}{2\pi } \delta( (|x| - t\frac{x_0}{|x_0|}, x_0))$.

Но поле будет не только на фронте, потому что в каждую точку пространства будут также в каждый момент времени долетать"сферы" от точек, находящихся по расходящимся окружностям на плоскости вокруг проекции точки.

Длина этой окружности $2\pi t$ (?), а интенсивности одинаковы. Значит, в каждой точке $q$ будет "бесконечность" с коэффициентом $t$. $t\delta( x - q)$.

Честно говоря, это похоже на лажу, потому что такая функция, кажется, не будет лежать в $S'$.

Где я ошибаюсь?

Заранее спасибо.

[svv]

А уравнение-то не волновое: отсутствует вторая производная по времени. В результате все изменения в источниках мгновенно отражаются на поле во всём пространстве. И для каждого значения $t$ уравнение решается независимо.

[Singular]

svv в сообщении #1231857 писал(а):

А уравнение-то не волновое. Отсутствует вторая производная по времени...

Думаю, что это скорее всего ошибка, т.е. вначале ТС нужно было написать $\Box U=\ldots$, а не $\Delta U=\ldots$

[Munin]

Совсем ничего не понятно. Если $R^3,$ то какие оси? $(x,y,z)$? $(t,x,y)$? $(t,x,y,z)$? И где вообще упоминаются какие-то переменные, кроме $x,t$?
Неизвестный науке  зверь  обозначение $\delta(t)(x_0,x).$
Неизвестно, как связаны $\Delta U$ и "волновое уравнение". Вообще формулы набраны плохо и нечитаемо.
Если есть плоский источник, то от него будет расходиться не шар, а плоская же волна.

Давайте сделайте вторую попытку изложить всё, а?

[user_ivan]

Прошу прощения. Вместо $\Delta$, конечно, $\square=\Delta-\frac{\partial^2}{d^2}$.

Зверь $(a,b)$ -- это скалярное произведение.

Переменные - $x \in R^3, x=(x_1, x_2, x_3), t\in R^1$.

[svv]

ОК. А загадочное слагаемое $\delta(t)(x_0, x)$ ?
А, понял, это и есть скалярное произведение.

[amon]

user_ivan в сообщении #1231852 писал(а):

умножение на $\theta(t)$ ничего не меняет...$\theta(t)\delta(x) \ast \frac{\theta(t)}{2\pi } \delta( t^2 - |x|^2)=\theta(t) \ast \frac{1}{2\pi} \delta( t^2 - |x|^2)$

А это как у Вас так ловко получилось с тета-функциями? (Ткнулся наугад.)

[Munin]

user_ivan в сообщении #1231904 писал(а):

Зверь $(a,b)$ -- это скалярное произведение.

Кого на что?

svv
Поясните, если вы догадались.

[svv]

Будем обозначать векторы полужирным. Во втором слагаемом стоит скалярное произведение $\mathbf x_0$ и $\mathbf x$.
Здесь $\mathbf x_0$ — это некий фиксированный вектор, а $\mathbf x=(x_1, x_2, x_3)$ — радиус-вектор. Если, например, направить ось $Ox_3$ вдоль вектора $\mathbf x_0$, можно записать
$(\mathbf x_0, \mathbf x)=|\mathbf x_0|x_3$.

user_ivan, правильно?

[user_ivan]

amon в сообщении #1231927 писал(а):

user_ivan в сообщении #1231852 писал(а):

умножение на $\theta(t)$ ничего не меняет...$\theta(t)\delta(x) \ast \frac{\theta(t)}{2\pi } \delta( t^2 - |x|^2)=\theta(t) \ast \frac{1}{2\pi} \delta( t^2 - |x|^2)$

А это как у Вас так ловко получилось с тета-функциями? (Ткнулся наугад.)

Эта часть решения меня меньше беспокоит. Смотрите, можно сворачивать отдельно по каждой координате. Свёртка с дельта-функцией -- это единичный оператор, для чего угодно. Тета в правой части -- это просто "обрезка" потенциала по времени. То есть, просто дополнительное условие неотрицательности времени. Отсюда и получается формула в правой части.

А вот "решение" для правой части суммы мне нравится намного меньше. Как минимум, "скачок" при отступлении от волнового фронта просто противоречит здравому смыслу.

Цитата:

Кого на что?

$\delta(t)(x,x_0) = \delta(x)\cdot (x_1 \cdot (x_0)_1 + x_2 \cdot (x_0)_2 + x_3 \cdot (x_0)_3)$

$x_0$ -- произвольный вектор-параметр. Он должен войти в решение как то, от чего зависит функция-ответ.

Прошу прощения за неровный почерк, за то, что беспорядок с нижними индексами. В условии давался $x \in R^3, x_0 \in R^3$. То, что я предыдущем сообщении развернул $x$ через нижние индексы -- некрасиво, не подумал. Надо было координаты верхними индексами обозначить.

Цитата:

user_ivan, правильно?

Да, точно так.

[svv]

user_ivan в сообщении #1231852 писал(а):

Ответ:
$\frac{1}{2\pi } \theta( t^2 - |x|^2)$
Физический смысл этой части решения: во всём пространстве поля нет, затем по пространству пробегает единичный "сдвиг", создавая в пространстве шар со значением поля 1.

Вот что меня тут беспокоит с физической точки зрения.
Во-первых, $t^2-|x|^2>0$ и $\theta(t^2-|x|^2)=1$ не только, когда $t>|x|$, но и когда $t<-|x|$. Получается, этот ответ включает не только запаздывающую, но и опережающую волну, приходящую в центр из бесконечности.
Во-вторых, рассмотрим окрестность $\Omega$ начала координат в эпоху с такими большими $t$, когда все волны область $\Omega$ давно прошли и всё здесь давно установилось. Тогда в $\Omega$ у нас просто поле статического точечного источника, расположенного в начале координат. Но поле (потенциал) точечного источника убывает с расстоянием как $\frac 1 r$, а у Вас я никакого убывания не вижу.

[amon]

user_ivan в сообщении #1231939 писал(а):

Эта часть решения меня меньше беспокоит.

А, IMHO, напрасно. Чему, по-вашему равна просто свертка двух тета-функций $\theta(t)\ast\theta(t)$?

[user_ivan]

amon в сообщении #1231954 писал(а):

user_ivan в сообщении #1231939 писал(а):

Эта часть решения меня меньше беспокоит.

А, IMHO, напрасно. Чему, по-вашему равна просто свертка двух тета-функций $\theta(t)\ast\theta(t)$?

$\theta(x)x$

Да, одну тету я потерял, но, кажется, при условии$t>0$ это не так принципиально.

[user_ivan]

Друзья, прошу вас, взгляните на уравнение ещё раз.

Я не понимаю, как разобраться со вторым компонентом правой части, с "плоскостью-источником".

Не понимаю, как там считать эту свёртку...

[svv]

Простите, пожалуйста, но у Вас пока не получилось правильно с первым слагаемым. Я приводил физические соображения (думал, что Вы отреагируете), могу привести более формальные. Ваш ответ $\frac{1}{2\pi } \theta( t^2 - |x|^2)$ при $t>|x|$ сводится к константе $\frac 1{2\pi}$. Оператор д’Аламбера от константы равен нулю. Между тем, при $t>0$ должна получаться дельта-функция $\delta(x)$.