Наивные вопросы о топологических группах

[Anton_Peplov]

Если мое доказательство действительно правильное, эта ситуация могла возникнуть так: в более раннем варианте книги в $T_3$ включалась $T_1$, потом ее оттуда выгнали, а переписать теорему забыли.

[Someone]

Тут есть два варианта терминологии.

В одном варианте $T_3$, $T_{3\frac 12}$ и $T_4$ предполагают, что выполняется и $T_1$, а для тех же условий без $T_1$ используются термины "регулярность", "вполне регулярность" и "нормальность".
В другом варианте наоборот: $T_3$, $T_{3\frac 12}$ и $T_4$ не предполагают $T_1$, а те же условия с добавлением $T_1$ называются "регулярность", "вполне регулярность" и "нормальность".
Лично я придерживаюсь второго варианта.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 3 закрыт, всем спасибо.

Вопрос № 4. Внутренность произведения

Пусть $G$ - топологическая группа и $A, B \subset G$. Напомню, что произведением $AB$ множеств $A$ и $B$ называется множество всех элементов $G$, представимых в виде $ab$, где $a \in A, b \in B$. Символом $\mathrm{int} A$ обозначим внутренность множества $A$.

Хочется найти более или менее широкие достаточные условия, в которых верно утверждение:
если внутренности $A$ и $B$ непусты, то $\mathrm{int} (AB) = \mathrm{int} A \ \mathrm{int} B$.
Включение $\mathrm{int} A \ \mathrm{int} B \subset \mathrm{int} (AB)$ доказывается во сне. Действительно, левая часть открыта как произведение открытых множеств и с очевидностью является подмножеством $AB$ как произведение подмножеств $A$ и $B$. Вот с обратным включением, $\mathrm{int} (AB) \subset \mathrm{int} A \ \mathrm{int} B$, проблемы. Понятно, что оно неверно в общем случае: например, в $\mathbb R$ как в группе по сложению $[0, 1] + [0, 1] \cup \{5\} = [0, 2] \cup [5, 6]$. Может быть, потребовать, чтобы $A$ и $B$ были канонически замкнуты (т.е. являлись замыканиями своих внутренностей?). Интуиция подсказывает, что этого хватит, но доказательство отчего-то не вытанцовывается.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1232769 писал(а):

Может быть, потребовать, чтобы $A$ и $B$ были канонически замкнуты (т.е. являлись замыканиями своих внутренностей?).

Этого более чем достаточно, я думаю. Но не слишком ли тоталитарное решение -- совсем запретить открытые множества? Предлагаю так: замыкание внутренности каждого множества совпадает с замыканием множества. А вот что насчёт такого: замыкание внутренности объединения совпадает с замыканием объединения?

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #1232779 писал(а):

Но не слишком ли тоталитарное решение -- совсем запретить открытые множества?

Ну, если оба множества открыты, то все тривиально. Вторым этапом я предполагал рассмотреть случай, когда одно из множеств открыто, а другое канонически замкнуто.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #1232779 писал(а):

Этого более чем достаточно, я думаю.

Давайте все-таки докажем. Вот пусть $A, B$ канонически замкнуты. Возьмем произвольную точку $x \in \mathrm{int}(AB)$. У нее есть окрестность $O_x \subset AB$. Надо бы представить $O_x$ или ее подокрестность как произведение открытых $O_a \subset A, O_b \subset B$. А как это сделать?

[grizzly]

Anton_Peplov
Хоть я и очень далёк от теории групп, зато весьма недалёк в топологии. Так что здесь моя интуиция ограничена самыми простыми примерами и я боюсь, что она меня обманывает. Зря я влез

[Padawan]

grizzly в сообщении #1232779 писал(а):

Предлагаю так: замыкание внутренности каждого множества совпадает с замыканием множества

Равносильно можно сформулировать так: $A\subset\overline{\operatorname{int} A}$.
Пусть $A\subset\overline{\operatorname{int} A}$, $B\subset \overline{\operatorname{int} B}$. Так как отображение $f(x,y)=xy\colon G\times G\to G$ непрерывно, то

$$ AB=f(A\times B)\subset f(\overline{\operatorname{int} A}\times \overline{\operatorname{int} B})=\limits^{(1)} f(\overline{\operatorname{int} A\times \operatorname{int} B}})\subset\limits^{(2)} \overline {f(\operatorname{int} A\times \operatorname{int} B})}=\overline {\operatorname{int} A \operatorname{int} B}} $$

Значит,

$$ \operatorname{int}(AB)\subset \operatorname{int}\overline {\operatorname{int} A \operatorname{int} B}}=\limits^{(3) ???} \operatorname{int} A \operatorname{int} B} $$

Пояснения:
(1) Всегда $\overline {A\times B}=\overline A\times\overline B$
(2) Если отображение $f$ непрерывно, то всегда $f(\overline A)\subset\overline {f(A)}$
(3) Лемма: Если $U,V$ -- открытые множества в топологической группе $G$, то $UV$ -- канонически открытое множество (совпадает с внутренность своего замыкания)

Лемма интуитивно кажется верной, попробую доказать позже

Upd Попытка доказательства развалилась, т.к. была обречена (доказываемое утверждение было неверно)

[grizzly]

del

[Padawan]

Не, неправильная лемма ( На $S^1$ возьмём $U=V=\{e^{it}\mid t\in(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2})\}$. Тогда $UV=S^1\setminus\{e^{i\pi}\}$ не является канонически открытым.

Кстати, это же будет контрпримером к искомому утверждению участника Anton_Peplov о канонически замкнутых множествах. Возьмём $A=B=\{e^{it}\mid t\in[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}]\}$. Тогда $AB=S^1$, и включение $\operatorname{int} (AB)\supset\operatorname{int}A\operatorname{int}B$ строгое.

-- Ср июл 12, 2017 02:01:44 --

Может утверждение будет верно в топологических векторных пространствах? Давайте хотя бы для $\mathbb R^n$ докажем. Хотя бы для $\mathbb R^1$

[Padawan]

Контрпример для $\mathbb R^1$: $A=[-2,-1]\cup [1,2]$, $B=[-1,1]$

Anton_Peplov в сообщении #1232798 писал(а):

я предполагал рассмотреть случай, когда одно из множеств открыто, а другое канонически замкнуто

У меня получилось доказать для случая $A\subset \overline{\operatorname{int} A}$, $B$ открыто. В этом случае $AB$ открыто и надо доказать включение $AB\subset{(\operatorname{int} A)} B$. Пусть $A=\operatorname{int} A\cup A_1$, где $A_1\subset \overline{\operatorname{int} A}$. Тогда $AB=(\operatorname{int} A) B\cup A_1B$. Покажем, что $A_1B\subset (\operatorname{int} A) B$. Если $x\in A_1B$, то $x=a_1b$, где $a_1\in A_1$, $b\in B$. Представим $x$ в виде $x=a_1\varepsilon\varepsilon^{-1}b$. Т.к. $A_1\subset \overline{\operatorname{int} A}$, а $B$ открыто, то найдётся такое $\varepsilon$, что одновременно $a_1\varepsilon\in \operatorname{int} A $, $\varepsilon^{-1}b\in B$. Значит, $x\in (\operatorname{int} A) B$.

[Anton_Peplov]

Спасибо!

(Сантименты)

Вот приходишь на форум со своей задачей, а люди начинают ее решать - даже не чтобы тебе помочь, а потому что им интересно. Им, черт возьми, самим интересно! Вот за это (хотя не только за это) я искренне люблю этот форум и его обитателей. Очень трудно было интересоваться математикой, когда во всей моей эпсилон-окрестности ею интересовался я один.

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1232924 писал(а):

Т.к. $A_1\subset \overline{\operatorname{int} A}$, а $B$ открыто, то найдётся такое $\varepsilon$, что одновременно $a_1\varepsilon\in \operatorname{int} A $, $\varepsilon^{-1}b\in B$.

Вот этот пункт можно подробнее? Мне не ясно "то" (причем в каждом из двух выводов).

[Padawan]

Т.к. $B$ открыто, то найдётся такая симметричная окрестность единицы $U$, что $Ub\subset B$ (симметричная в смысле $U=U^{-1}$). Так как $a_1\in\overline{\operatorname{int} A}$, найдётся $a_0\in\operatorname{int} A$ такой, что $a_0\in a_1U$. Тогда $a_1^{-1}a_0\in U$. Обозначим этот элемент $a_1^{-1}a_0=\varepsilon\in U\Rightarrow \varepsilon^{-1}\in U\Rightarrow \varepsilon^{-1}b\in B$. Значит, $a_1b=a_1\varepsilon\varepsilon^{-1}b=a_0\varepsilon^{-1}b\in(\operatorname{int} A)B$
Можно обобщить: если $A\subset\overline M$, $B$ открыто, то $AB\subset MB$.

[Anton_Peplov]

Хитроумно! Спасибо, Padawan!