Наивные вопросы о топологических группах

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о топологических группах. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Вторая аксиома отделимости как следствие первой.

Нужно показать, что в топологических группах из первой аксиомы отделимости ("для любых $x \ne y$ найдется окрестность $O_x$ т. $x$ и окрестность $O_y$ т. $y$ такие, что $x \notin O_y, \ y \notin O_x$") следует вторая ("для любых $x \ne y$ найдется окрестность $O_x$ т. $x$ и окрестность $O_y$ т. $y$ такие, что $O_x$ и $O_y$ не пересекаются"). Виро и К. дают такой совет. Применим первую аксиому отделимости к единице группы $e$ и произвольному элементу $x \ne e$. Найдется окрестность единицы $U$ такая, что $x \notin U$. Согласно ранее доказанной теореме, найдется и симметрическая окрестность единицы $V$ такая, что $V^2 \subset U$. Требуется доказать, что $V$ и $xV$ не пересекаются, и из этого вывести хаусдорфовость группы.
С первой частью задания я справился. Действительно, пусть есть $v \in V$ такое, что $xv \in V$. Поскольку $v^{-1} \in V$ в силу симметричности, то $xvv^{-1} = x \in V^2 \subset U$, что противоречит условию. Значит, $xV$ и $V$ не пересекаются.

Проблема со второй частью. Пусть $x \ne y$ - произвольные элементы группы. Как построить их непересекающиеся окрестности? Ну ладно, как минимум один из этих элементов отличен от единицы, пусть это $x$. Найдется симметричная окрестность единицы $V$ такая, что $xV$ и $V$ не пересекаются. Но $V$ - не обязательно окрестность $y$. Конечно, не пересекаются $yxV$ и $yV$, но $yxV$ не обязательно окрестность $x$. И как бы я ни крутил эти $xV$ и $V$, все время пропадают то $x$,то $y$, как в старом мультике про дудочку и кувшинчик.

Как помирить этого волка с этой козой?

[Xaositect]

Anton_Peplov в сообщении #1207246 писал(а):

Конечно, не пересекаются $yxV$ и $yV$, но $yxV$ не обязательно окрестность $x$.

$yx$ и $y$ - это общая ситуация.

[Anton_Peplov]

Xaositect в сообщении #1207248 писал(а):

$yx$ и $y$ - это общая ситуация.

Что означают эти слова?

[Xaositect]

Два произвольных элемента группы всегда можно представить в виде $yx$ и $y$.

[Anton_Peplov]

Да, если мы обозначаем один элемент группы $y$, то любой элемент $a$ можем обозначить как $yx$, положив $x = y^{-1}a$. Но ведь у меня другая задача. Я не могу подбирать $x$ под $y$ по своему усмотрению. Мне надо доказать, что для каждой пары $x \ne y$ найдутся непересекающиеся окрестности.

[Someone]

Ну постройте окрестности для $e$ и $x^{-1}y$. Потом эти окрестности умножьте слева на $x$.

[Xaositect]

Anton_Peplov в сообщении #1207256 писал(а):

Я не могу подбирать $x$ под $y$ по своему усмотрению.

Можете, просто Вы запутались в двух соснах буквах, когда нужно три.
Вы доказали, что для любого $x\neq e$ существуют окрестность $e$ и окрестность $x$, не пересекающиеся друг с другом. Теперь возьмем два произвольных элемента $u \neq v$. Вы можете выбрать $x$ и перенести окрестности нужным образом.

[Anton_Peplov]

Так, $V$ и $x^{-1}yV$ не пересекаются ($V$ - некоторая симметричная окрестность единицы). Значит, $xV$ и $yV$ не пересекаются. Всё.

-- 07.04.2017, 15:53 --

Написал и увидел совет Someone именно это и написать.

-- 07.04.2017, 15:57 --

Поразительно трудно даются мне даже самые простые доказательства, где надо подобрать что-то специального вида (преобразование, функцию, множитель...). С чем это связано, интересно? С отсутствием практики в символьных вычислениях?

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1207278 писал(а):

Поразительно трудно даются мне даже самые простые доказательства, где надо подобрать что-то специального вида (преобразование, функцию, множитель...). С чем это связано, интересно? С отсутствием практики в символьных вычислениях?

Ни с чем не связано. Это общее явление, для всех трудное. На самом деле, тут используется некоторый стандартный ход мысли, который Вы, наверное, где-то уже встречали (например, при доказательстве того, что разные смежные классы не пересекаются или совпадают), но который вряд ли у Вас в голове прочно сидел. Потому что для того, чтоб сидел, надо заниматься алгеброй гораздо больше (например, столько, сколько усердный студент матфака, который по алгебре и специализируется). Чего, конечно, в Вашем случае ожидать не приходится.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 1 закрыт, всем спасибо.

Вопрос № 2. Точки прикосновения.

Пусть $V$ - симметрическая окрестность единицы. Требуется доказать или опровергнуть, что $[V] \subset V^2$ (квадратные скобки означают замыкание).

Вопрос возник по мотивам одной из задач из Виро и К. Подозреваю, что нужно как-то использовать непрерывность произведения и/или функции $f(x) = x^{-1}$. Но как? Все, что я знаю о непрерывных функциях в связи с точками прикосновения - что образы точек прикосновения прообраза являются точками прикосновения образа. Не вижу, чем это может помочь.

[Xaositect]

Действуйте тупо по определению точки прикосновения, выберите нужную окрестность.

[Anton_Peplov]

Понял. Это то, что я уже доказывал - если $x \notin V^2$, то $xV$ и $V$ не пересекаются. Но, поскольку $V$ - окрестность единицы, то $xV$ - окрестность точки $x$. Итого любая точка $x \notin V^2$ имеет окрестность, не пересекающуюся с $V$ и, значит, не может быть точкой прикосновения $V$.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 2 закрыт, спасибо.

Вопрос № 3. Третья аксиома отделимости.

У Виро и К есть теорема 27.Nx. Пусть $e$ - единица топологической группы. Если одноточечное подмножество $\{e\}$ замкнуто, то в группе выполняется третья аксиома отделимости.

Напомню, что третья аксиома отделимости формулируется так. Для любой точки $x$ и любой ее окрестности $O$ найдется такая ее же окрестность $U$, что $[U] \subset O$ (квадратные скобки означают замыкание).

Проблема в том, что мне кажется, будто я доказал третью аксиому отделимости вне всякой связи с замкнутостью множества $\{e\}$. Вероятно, где-то я ошибся, но не вижу, где именно.

Мое доказательство такое. Заметим сначала, что достаточно доказать третью аксиому отделимости для точки $e$. Действительно, пусть для любой окрестности единицы $O_e$ найдется такая ее же окрестность $U_e$, что $[U_e] \subset O_e$. Рассмотрим произвольную точку $x$ и ее окрестность $O_x$. Применим гомеоморфизм $f(y) = x^{-1}y$. Точка $x$ отобразится в $e$, ее окрестность $O_x$ в окрестность единицы $O_e = x^{-1}O$. В ней найдется такая окрестность единицы $U_e$, что $[U_e] \subset O_e$. Применив теперь обратный гомеоморфизм, имеем, что в $O_x$ найдется такая окрестность $U_x$ точки $x$, что $[U_x] \subset O_x$ (поскольку гомеоморфизм сохраняет открытость, замкнутость и отношение $\subset$). Итак, достаточно доказать, что третья аксиома отделимости выполняется для единицы.

Докажем это. Пусть $O$ - произвольная окрестность единицы. Согласно ранее доказанной теореме, найдется симметричная окрестность единицы $V$ такая, что $V^2 \subset O$. Но тогда (см. вопрос № 2) $[V] \subset V^2$ и тем самым $[V] \subset O$. Т.е. для любой окрестности единицы $O$ найдется такая ее же окрестность $V$, что $[V] \subset O$. Третья аксиома отделимости доказана?

[Xaositect]

Доказательство правильное.
Дело в различиях в терминологии в отношении аксиом отделимости. Обычно третья аксиома подразумевает еще вторую.

[Anton_Peplov]

У Виро и К - нет, не подразумевает. Я специально посмотрел.