Сходимость последовательности 2.

[TR63]

В разделе ПРР заинтересовала задача: доказать, что последовательность положительных чисел $\{a_n\}$, удовлетворяющих условию:

$$a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}+a_n}$$

,

сходится.

Там имеется хитрое, на мой взгляд, и длинное решение. У меня есть другая простая идея. Прошу проверить, имеются ли в рассуждениях ошибки. Сомнения возникли, т.к. получается слишком просто.

1). Методом матиндукции докажем ограниченность последовательности $\{a_n\}$. Т.е. докажем, что

$$\frac{1}{a_2+a_3}<a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}+a_n}<a_2+a_3$$

1. Не ограничивая общности, будем считать, что $a_2>a_1$.

$\frac{1}{a_2+a_3}<a_3<a_2+a_3$

$a_3^2+a_2a_3-1>0$

$a_3^2+\frac{2a_2}{a_1+a_2}-1>0$

2. $a_{n+3}=\frac{2}{a_{n+2}+a_{n+1}}>\frac{2}{2(a_2+a_3)}=\frac{1}{a_2+a_3}$

$a_{n+3}=\frac{2}{a_{n+2}+a_{n+1}}<\frac{2}{{\frac{1}{a_2+a_3}}+\frac{1}{a_2+a_3}}=a_2+a_3$

Пока прошу проверить доказательство ограниченности последовательности $\{a_n\}$.

[deep down]

TR63 в сообщении #1232264 писал(а):

$\frac{1}{a_2+a_3}<a_{n+2}$

Даже при $a_1 = 1000, a_2 = 1, n = 1$? Правильнее было бы сказать так. Если последовательность невозрастающаяя, то ограниченность есть. В противном случае найдутся $a_k < a_{k+1}$, рассмотрим последовательность начинающуюся с них.
И базу я бы записал как
$a_2 > a_1 \Rightarrow{} a_3 > \frac{2}{a_2 + a_2} = \frac{1}{a_2} > \frac{1}{a_2 + a_3}$,
но это дело вкуса.

[grizzly]

deep down в сообщении #1232352 писал(а):

Даже при $a_1 = 1000, a_2 = 1, n = 1$?

ТС делает попытку провести доказательство при $a_1<a_2$. И действительно, это условие можно считать выполненным, "не ограничивая общности" (upd: а, ну да, Вы это видите). Другое дело, что этим уже нельзя пользоваться на втором шаге индукции.

[TR63]

deep down в сообщении #1232352 писал(а):

Даже при $a_1 = 1000, a_2 = 1, n = 1$?

Если $a_2\le a_1$, то берём вместо $a_2$ в записи границ $c=\max\{a_1,a_2\}$.
Для доказательства сходимости исходной последовательности достаточно доказать её ограниченность и отделённость от нуля. Сам вид границ не имеет значения, важно лишь их существование. Поэтому я ограничилась случаем $a_2>a_1$. Можно доказательство ограниченности переписать с уточнением:

TR63 в сообщении #1232264 писал(а):

1). Методом матиндукции докажем ограниченность последовательности $\{a_n\}$. Т.е. докажем, что

$$\frac{1}{c+a_3}<a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}+a_n}<c+a_3$$

1.
$\frac{1}{c+a_3}<a_3<c+a_3$

$a_3^2+ca_3-1>0$

$a_3^2+\frac{2c}{a_1+a_2}-1>0$

2. $a_{n+3}=\frac{2}{a_{n+2}+a_{n+1}}>\frac{2}{2(c+a_3)}=\frac{1}{c+a_3}$

$a_{n+3}=\frac{2}{a_{n+2}+a_{n+1}}<\frac{2}{{\frac{1}{c+a_3}}+\frac{1}{c+a_3}}=c+a_3$

grizzly в сообщении #1232374 писал(а):

этим уже нельзя пользоваться на втором шаге индукции.

Т.е. на втором шаге есть ошибка? Не понимаю, где именно. grizzly, разъясните, пожалуйста.
Я считаю, что для всех $(k\le n+2)$ условие для границ верно по свойству матиндукции, и использую его.

[grizzly]

TR63 в сообщении #1232385 писал(а):

Я считаю, что для всех $(k\le n+2)$ условие для границ верно по свойству матиндукции, и использую его.

Ещё Вы считаете, что для всех $(k\le n+2)$ выполнено ("не уменьшая общности"), что $a_{k-1}>a_{k-2}$. Это не обосновано.

[deep down]

TR63 в сообщении #1232385 писал(а):

Поэтому я ограничилась случаем $a_2>a_1$. Можно доказательство ограниченности переписать с уточнением

О том и речь. "Переписать с уточнением" выглядит некрасиво. Лучше сразу выдавать правильные обозначения и утверждения без "переопределим константу в самом начале". Правила хорошего тона.
И раз сами значения граней неважны, то Ваше доказтельство записывается короче.
1. Выберем $M>0$ такое, что $\frac{1}{M}<a_1, a_2<M$.
2. Из $\frac{1}{M}<a_k<M, k\le n$ выводим (выкладки Вы уже привели) такую же оценку для $a_{n+1}$.

[TR63]

grizzly в сообщении #1232388 писал(а):

Ещё Вы считаете, что для всех $(k\le n+2)$ выполнено ("не уменьшая общности"), что $a_{k-1}>a_{k-2}$

grizzly, это замечание верно при условии, если использовалось условие $a_2>a_1$. Но в отредактированном тексте этого условия нет. Я использую $c=\max\{a_1,a_2\}$.

-- 09.07.2017, 16:58 --

deep down в сообщении #1232391 писал(а):

Лучше сразу выдавать правильные обозначения

Прошу извинить. Сразу не получилось. Ваше замечание я учла в отредактированном тексте. Спасибо.
Я правильно поняла, что ограниченность последовательности и отделённость её от нуля доказаны. Или, всё-таки, доказательство содержит ошибки.

[grizzly]

TR63
Я что-то плохо проникся идеей Вашего доказательства и в предыдущем сообщении неправильно определил проблему.

Проблему теперь я вижу в том, что в ходе доказательства третьего пункта индукции Вы применяете базовые (из п.1) неравенства для двух идущих подряд членов последовательности. А на первом шаге проверяли только для одного члена. Это означает, что база индукции не соответствует доказательству третьего шага. Я думаю, что если Вы дадите отдельное доказательство базовых неравенств для $a_4$, тогда идея будет спасена.

[TR63]

grizzly,
Я подумаю над Вашим замечанием. Пока оно мне непонятно. И подумаю над случаем $a_4$. Действительно, если найти контрпример для этого случая, то всё прояснится.
Пока

TR63 в сообщении #1232385 писал(а):

Я считаю, что для всех $(k\le n+2)$ условие для границ верно по свойству матиндукции, и использую его.

Хотелось бы какого-то простого контрпримера, опровергающего такое понимание матиндукции.

[grizzly]

TR63 в сообщении #1232401 писал(а):

Хотелось бы какого-то простого контрпримера

Нет, давайте работать честно. Вы предъявляете доказательство -- Вы его и обосновываете.

Давайте двигаться по порядку. Вот Вы взяли в качестве базы индукции $a_3$. Доказали для него нужные Вам неравенства. Теперь п. 2 -- пусть для всех членов от $a_3$ до $a_{k+2}, k\ge 1$ выполнены эти же неравенства (отдельный вопрос, почему это я расписываю подробности индукции, а не Вы, но ладно -- мы не на Западе, могу помочь по-джентльменски :)

На основе этих двух шагов мы должны уметь доказывать нужные неравенства для $a_{k+3}$. Вот и попытайтесь проделать это для конкретного $k=1$. Тогда Вам станет ясна суть проблемы.

Ещё конкретнее: я сейчас прошу Вас расписать вывод нужных неравенств для $a_4$ (не напрямую, как я просил в прошлом сообщении, а в рамках третьего шага индукции). Не забывайте только, что неравенства $a_2>\frac{1}{c+a_3}$ у Вас нет.

[TR63]

grizzly, большое спасибо за помощь.

grizzly в сообщении #1232403 писал(а):

попытайтесь проделать это для конкретного $k=1$. Тогда Вам станет ясна суть проблемы.

Я согласна с этим советом и выше написала, что последую ему. Прошу извинить, но немного позже. Конечно, мне не терпится узнать суть проблемы, но не хочется это делать в спешке.

[TR63]

Да, grizzly, посмотрела. Увидела, что есть проблемы:
1). С нижней границей проблем для $a_4$ не обнаружила.
2). С верхней границей проблему можно устранить, если доказать, что существует пара $(a_k,a_{k+1})$ такая, что $a_{k+1}\ge1$, $a_k<1$. Тогда последовательность можно рассматривать, начиная с этих элементов? (вроде, это верно; ещё подумаю, тогда распишу подробней).
grizzly, если есть замечания по поводу предварительных выводов, прошу, сообщите их, пожалуйста.

[grizzly]

TR63 в сообщении #1232465 писал(а):

grizzly, если есть замечания по поводу предварительных выводов, прошу, сообщите их, пожалуйста.

Распишите и тогда посмотрим -- поверьте, так будет всем нам быстрее и проще. Вопрос даже не в том, что мне лень, но Вы просите угадать детали Вашего решения и проверить их. Как было доказано выше, я при этом сам допускаю ошибки

[TR63]

Хорошо. Спасибо. Распишу, если сама не обнаружу ошибок. Но уже не сегодня.

[TR63]

Итак, проверим нижнюю границу для $a_4$.

$a_4=\frac{2}{a_3+a_2}>\frac{1}{a_3+c}\neq0$

Если учесть результат, полученный ТС в первоисточнике :$ab=1$, где $a$-нижняя, $b$-верхняя грань исходной последовательности, начиная с некоторого номера, если я правильно поняла его результат (там очень краткое изложение), то полученной отделённостью нижней грани от нуля и результата $ab=1$ достаточно для доказательства ограниченности исходной последовательности.
Но, всё-таки, рассмотрим вопрос о верхней границе, исходя из моего метода.
Итак, посмотрим, когда выполняется неравенство:

$a_4=\frac{2}{a_3+a_2}<a_3+c$

$(\frac{2}{a_1+a_2}+a_2)(\frac{2}{a_1+a_2}+c)>2$

Сделаем усиление

$(\frac1 c+a_2)(\frac1 c+c)>2$

$f=a_2c^3-c^2+a_2c+1>0$

$f'_c=3a_2c^2-2c+a_2$

$D=1-3a_2^2<0$ при $a_2^2>\frac1 3$

Здесь видна возникшая проблема, если $c=\max\{a_1,a_2\}=a_2$, то всё сходится. Теперь достаточно доказать, что существует пара $(a_k,a_{k+1})$ такая, что $a_{k+1}>1$, $a_k<1$. С этим, вроде, проблем не возникает. Пока прошу проверить изложенное.