Итак, проверим нижнюю границу для
![$a_4$ $a_4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/e/bbeda48c4e54184c28225916e2d34fa382.png)
.
![$a_4=\frac{2}{a_3+a_2}>\frac{1}{a_3+c}\neq0$ $a_4=\frac{2}{a_3+a_2}>\frac{1}{a_3+c}\neq0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/1/ac1f72286a6b0d141d56710e7a97b7d382.png)
Если учесть результат, полученный ТС в первоисточнике :
![$ab=1$ $ab=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/1/db1f16057d602f6c372908b75d15652082.png)
, где
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
-нижняя,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
-верхняя грань исходной последовательности, начиная с некоторого номера, если я правильно поняла его результат (там очень краткое изложение), то полученной отделённостью нижней грани от нуля и результата
![$ab=1$ $ab=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/1/db1f16057d602f6c372908b75d15652082.png)
достаточно для доказательства ограниченности исходной последовательности.
Но, всё-таки, рассмотрим вопрос о верхней границе, исходя из моего метода.
Итак, посмотрим, когда выполняется неравенство:
![$a_4=\frac{2}{a_3+a_2}<a_3+c$ $a_4=\frac{2}{a_3+a_2}<a_3+c$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/8/d78667f4b1fe6f078aef630110f5331182.png)
![$(\frac{2}{a_1+a_2}+a_2)(\frac{2}{a_1+a_2}+c)>2$ $(\frac{2}{a_1+a_2}+a_2)(\frac{2}{a_1+a_2}+c)>2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/6/5f6cc17a65b789179307d9d1498c050282.png)
Сделаем усиление
![$(\frac1 c+a_2)(\frac1 c+c)>2$ $(\frac1 c+a_2)(\frac1 c+c)>2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/7/e073bf5b6a202e79877b6bce708c643482.png)
![$f=a_2c^3-c^2+a_2c+1>0$ $f=a_2c^3-c^2+a_2c+1>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/9/9c967508c4b0646357bf0b278d89376f82.png)
![$f'_c=3a_2c^2-2c+a_2$ $f'_c=3a_2c^2-2c+a_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/f/51fad6a14290db07ca8789e71d78d6f682.png)
![$D=1-3a_2^2<0$ $D=1-3a_2^2<0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/f/5af6ebfdf12e4cd3a58853063cf5cf8c82.png)
при
![$a_2^2>\frac1 3$ $a_2^2>\frac1 3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/c/fecb63c2d420e325d65f365621a9e2d882.png)
Здесь видна возникшая проблема, если
![$c=\max\{a_1,a_2\}=a_2$ $c=\max\{a_1,a_2\}=a_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/6/c46739f52f3af60057c69e95bfc47f2d82.png)
, то всё сходится. Теперь достаточно доказать, что существует пара
![$(a_k,a_{k+1})$ $(a_k,a_{k+1})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/4/784d4c8d2d2a537bd189a42636d1027682.png)
такая, что
![$a_{k+1}>1$ $a_{k+1}>1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/6/00640fb4c42d06cc1437306927f4109582.png)
,
![$a_k<1$ $a_k<1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/d/ecd6860385203732ca3e9da5d56f2bd982.png)
. С этим, вроде, проблем не возникает. Пока прошу проверить изложенное.