Сходимость последовательности 2.

[grizzly]

TR63
Я не назвал бы Вашу запись образцом аккуратности и понятности, но теперь я согласен, что в этой теме Вы таки доказали следующее:

TR63 в сообщении #1232264 писал(а):

Пока прошу проверить доказательство ограниченности последовательности $\{a_n\}$.

И да, введение максимума первых двух членов было не обязательно. В итоговом рассуждении условие $a_2>a_1$ действительно не уменьшает общности.

[TR63]

grizzly в сообщении #1232533 писал(а):

И да, введение максимума первых двух членов было не обязательно.

У меня написано, если $c=\max\{a_1,a_2\}=a_2$, то всё сходится, т.к. тогда верно усиленное неравенство для верхней границы. Для исходного неравенства для верхней границы это условие будет достаточным, не необходимым.
grizzly, если у Вас есть другой вариант доказательства (без введённого мною дополнительного условия, являющегося достаточным) изложите, пожалуйста.

grizzly в сообщении #1232533 писал(а):

В итоговом рассуждении условие $a_2>a_1$ действительно не уменьшает общности.

Не поняла, какое рассуждение Вы считаете итоговым. Поясните, пожалуйста.

grizzly в сообщении #1232533 писал(а):

Я не назвал бы Вашу запись образцом аккуратности и понятности

Согласна. Стараюсь исправляться.

TR63 в сообщении #1232467 писал(а):

Итак, проверим нижнюю границу для $a_4$.

$a_4=\frac{2}{a_3+a_2}>\frac{1}{a_3+c}\neq0$

grizzly, этот момент понятен? (здесь неравенство верно и без дополнительного условия). Я не поняла, что, в изложенном мною, Вам не понятно, что понятно, и стоит ли мне продолжать доказательство. Или это такой юмор? Ну, да, Вы нашли логическую ошибку. Ещё раз спасибо. Но вопрос состоит в том, что можно ли её исправить. Если Вы не видите пути её исправления, то так и скажите и, по возможности, укажите на мои ошибки и не ясные места.

[grizzly]

TR63
Я говорил серьёзно, без какой-либо иронии.

Хорошо, помогу собрать основные блоки, которые приводят к доказательству ограниченности.

I. Считаем, что $a_2>a_1$. Как уже было сказано, если это не так, мы можем отбросить несколько первых неугодных членов последовательности. А если это всегда не так, тогда имеем убывающую последовательность.
II. Используем мат.индукцию:
II.1. База индукции. Выполнены следующие неравенства:

$$ \frac{1}{a_2+a_3}<a_3<a_2+a_3; \qquad \frac{1}{a_2+a_3}<a_4<a_2+a_3 $$

II.2. Предположим, что для любого $k\ge 2$ справедливо:

$$ \frac{1}{a_2+a_3}<a_{k+1}<a_2+a_3; \qquad \frac{1}{a_2+a_3}<a_{k+2}<a_2+a_3 $$

III.3. Доказываем на основании этого, что $a_{k+3}$ также удовлетворяет аналогичным неравенствам.

В разных частях темы я вижу, что Вы знаете, как доказать все пункты и согласен, что Ваши рассуждения в принципе верны (с учётом аккуратности записей).

[TR63]

grizzly в сообщении #1232557 писал(а):

II.2. Предположим, что для любого $k\ge 1$

По свойству матиндукции должно быть для любого $1\le k\le n$?

grizzly в сообщении #1232557 писал(а):

III.3. Доказываем на основании этого, что $a_{k+3}$ также удовлетворяет аналогичным неравенствам.

Для $a_{k+4}$ это тоже надо доказать? Если да, то это, вроде, очередной баръер, над которым следует подумать. Похоже, придётся использовать результат из источника $ab=1$. Надо подумать.

grizzly в сообщении #1232557 писал(а):

А если это всегда не так, тогда имеем убывающую последовательность.

Но ещё понадобится отграниченность от нуля для доказательства сходимости исходной последовательности. Наличия только убывающей последовательности будет недостаточно?

[deep down]

TR63 в сообщении #1232564 писал(а):

Но ещё понадобится отграниченность от нуля для доказательства сходимости исходной последовательности.

У убывающей последовательности (положительных чисел) есть точная нижняя грань, она же будет пределом. Из рекуррентного соотношения находим единственный кандидат в пределы - 1. Но если два последовательных члена больше единицы, то следующий меньше. Так что убывающих последовательностей нет в принципе. Есть единственная невозрастающая.

И если Вам подойдёт любая грань, посмотрите ещё раз сообщение от 09.07.2017, 16:48.

Но сначала всё же разберитесь с тем, что пытается донести grizzly. Посмотрите ещё раз на свои первоначальные рассуждения и найдите пробел.
Обозначим $I = (\frac{1}{a_2+a_3}, a_2 + a_3)$.
1. Доказываем, что $a_3\in I$.
2. Из $a_2\in I, a_3\in I $ следует $a_4\in I$.
3. $a_3\in I, a_4\in I$ следует $a_5\in I$.
И дальше аналогично.

PS. grizzly, надеюсь, я Вашу педагогику не сильно испортил.

[grizzly]

deep down в сообщении #1232568 писал(а):

grizzly, надеюсь, я Вашу педагогику не сильно испортил.

Наоборот, спасибо! Вдвоём проще :) Тем более, что я грешу иногда по мелочам.

TR63 в сообщении #1232564 писал(а):

По свойству матиндукции должно быть для любого $1\le k\le n$?

Вы правы, там неаккуратно сказано. Но я думаю, идея понятна.

TR63 в сообщении #1232564 писал(а):

Для $a_{k+4}$ это тоже надо доказать?

Нет. Того, что я написал, достаточно для доказательства ограниченности. (Я с трудом пытаюсь читать Ваши мысли, но о чём думал ТС какого-то другого форума -- это мне уже не по силам.)

-- 10.07.2017, 14:17 --

deep down в сообщении #1232568 писал(а):

1. Доказываем, что $a_3\in I$.
2. Из $a_2\in I, a_3\in I $ следует $a_4\in I$.
3. $a_3\in I, a_4\in I$ следует $a_5\in I$.
И дальше аналогично.

Ага, тут лучше исправить. Не знаю, верно или нет так, как здесь сказано, но доказано пока так:
1. Доказываем, что $a_3\in I$ и доказываем, что $a_4\in I$.
2. Из $a_3\in I, a_4\in I $ следует $a_5\in I$.
3. $a_4\in I, a_5\in I$ следует $a_6\in I$.
И дальше аналогично.

[deep down]

grizzly в сообщении #1232570 писал(а):

TR63 в сообщении #1232564 писал(а):

По свойству матиндукции должно быть для любого $1\le k\le n$?

Вы правы, там неаккуратно сказано. Но я думаю, идея понятна.

Всё же стоит уточнить, что случай $k=1$ мы исключаем и оценку доказываем начиная с $a_3$.

TR63, в предыдущем сообщении я привёл перефразировку Вашего первоначального доказательства. Для того, чтобы Вы всё-таки увидели ошибку, которую пытается объяснить grizzly.

[TR63]

deep down в сообщении #1232578 писал(а):

TR63, в предыдущем сообщении я привёл перефразировку Вашего первоначального доказательства.

Моему доказательству больше соответствует интерпретация grizzly (по крайней мере, частично точно).

grizzly в сообщении #1232570 писал(а):

о чём думал ТС какого-то другого форума -- это мне уже не по силам.

Где я писала, что с другого форума. Источник находится в разделе ПРР (здешнем).

[grizzly]

TR63 в сообщении #1232587 писал(а):

Источник находится в разделе ПРР (здешнем).

Я понял. Нашёл ту тему. Там во втором сообщении Slav-27 дал красивое доказательство ограниченности.

Но это здорово, что Вы дали своё доказательство.

[TR63]

Таки ограниченность мною доказана?! Спасибо. Я тамошнее доказательство Slav-27
не очень поняла, поэтому стала думать самостоятельно. Доказана ли мною отделённость от нуля? Если да, то очень упрощается доказательство сходимости.( В источнике жуть, хотя понять можно.) Правда, я не на всех этапах своего доказательства уверена. Поэтому требуется проверка.

[grizzly]

TR63 в сообщении #1232611 писал(а):

Таки ограниченность мною доказана?!

Да, я уже третий раз повторяю. И каждый раз с оговоркой, что аккуратной записи не было, но рассуждение в целом можно засчитать.

TR63 в сообщении #1232611 писал(а):

Доказана ли мною отделённость от нуля?

Конечно.

[deep down]

TR63 в сообщении #1232587 писал(а):

deep down в сообщении #1232578 писал(а):

TR63, в предыдущем сообщении я привёл перефразировку Вашего первоначального доказательства.

Моему доказательству больше соответствует интерпретация grizzly (по крайней мере, частично точно).

Если ошибку Вы уже увидели, то замечательно.
Если нет, то попытаюсь в последний раз. Я перефразировал (опустив выкладки) то, что Вы написали в первом сообщении. Так должен быть лучше заметен пробел, на который Вас старался натолкнуть grizzly.

[TR63]

deep down, я уже давно отошла от первоначального варианта, а Вы всё его вспоминаете. Не пойму, почему. Да, там была конкретная логическая ошибка, указанная grizzly.
В новом доказательстве я её учла. Укажите конкретнее, о каком пробеле идёт речь.

[deep down]

TR63 в сообщении #1232638 писал(а):

Да, там была конкретная логическая ошибка

Значит, вопрос закрыт.
По обсуждению не было видно, что Вы её заметили, вот я и настаивал.
Успехов в математике

[TR63]

deep down в сообщении #1232661 писал(а):

Успехов в математике

Спасибо, правда, я не математик. Но некоторые вопросы мне интересны. Надо бы аккуратнее выписать доказательство. Может, я, действительно, ещё не всё поняла так, как следует. Но мозги мои уже запарились и мало соображают. (Хочу только заметить, сегодня мне подумалось хорошее о соседнем форуме, к чему бы это.)