Три окружности

[Побережный Александр]

Одна окружность разбивает плоскость на внутреннюю и внешнюю область.
Рассмотрим случай, когда три окружности разбивают плоскость на 8 областей.

Вопрос!

Как должны быть расположены окружности, чтобы площади семи внутренних областей были одинаковы?

[svv]

Пусть площадь каждой из семи внутренних областей равна $S$.
Внутренность каждой окружности состоит из 4 таких областей $\Rightarrow$ площадь каждой окружности равна $4S$ $\Rightarrow$ окружности могут быть только равного радиуса, будем считать его единичным.

Внутренность любой окружности разбивается любой другой окружностью на две части равной площади (так как каждая часть состоит из двух областей площадью $S$). Отсюда можно найти, что расстояние между центрами любых двух разных окружностей равно $2\cos\frac{\varphi}{2}$, где $\varphi$ — корень уравнения $\varphi-\sin\varphi=\frac{\pi}{2}$. Это примерно $0.8079455...$. Таким образом, всё жёстко. Но при этом площади внутренних областей всё-таки не получаются равными.

Ответ: никак.

[Мастак]

svv в сообщении #1229869 писал(а):

Внутренность любой окружности разбивается любой другой окружностью на две части равной площади

Возможно, но к решению отношения не имеет.
PS За некорретной посылкой неверный вывод.

[svv]

Чуток бы яснее.

[Мастак]

Алгебраически вот.
Пусть

${S_A}, {S_B}, {S_C}$ - площади кругов A, B, C;
${S_A}{S_B}$ - площади пересечений кругов A и B;
${S_A}{S_B}{S_C}$ - площадь пересечения кругов A и B и C.

Из условий: ${S_A}{S_B}{S_C}=S$.
Запишем то, что все участки внутри пересечений окружностей равны.
${S_A}{S_B}{S_C}={S_A}{S_B}-{S_A}{S_B}{S_C}$
${S_A}{S_B}{S_C}={S_A}{S_C}-{S_A}{S_B}{S_C}$
${S_A}{S_B}{S_C}={S_B}{S_C}-{S_A}{S_B}{S_C}$
${S_A}={S_A}{S_B}{S_C}+{S_A}{S_B}-{S_A}{S_B}{S_C} +{S_A}{S_B}{S_C}+{S_A}{S_C}-{S_A}{S_B}{S_C}={S_A}{S_B}}+{S_A}{S_C}$
${S_B}={S_B}{S_A}}+{S_B}{S_C}$
${S_C}={S_C}{S_A}}+{S_C}{S_B}$

Из чего алгебраически следует, что
${S_A}={S_B}={S_C}=4S$,
а также, что
${S_A}{S_B}={S_A}{S_C}={S_B}{S_C}$, что
эквивалентно тому, что треугольник $ABC$ - равносторонний.
И (среди разных вариантов реализации) возможно рассчитать длину стороны треугольника $ABC$, выраженную через S и через подобранный радиус окружностей.

[svv]

Вы тоже получили, что радиусы кругов равны, и что все три расстояния между их центрами равны, верно?

[gris]

Необходимое условие очень часто не является достаточным. А иногда оно настолько не обходимо, что становится преградой даже хотя бы для одной реализации
Интересно, если вместо окружностей взять квадраты, то что будет? Квадраты тоже должны быть равными, но их можно поворачивать

[lel0lel]

Если думать о равных окружностях и указанном выше типе пересечения, то ответ svv верный. Но можно рассмотреть две одинаковые окружности с радиусами $R_1$, а третья окружность радиуса $R_2=\sqrt{5/3}R_1$. Тогда пересечение может быть таким, что в первых двух окружностях помещается по три равные части (одна общая), а в третьей окружности (она расположена симметрично по отношению к первым двум) помещается пять равных частей. Думаю, что рисунок легко нарисовать из вышесказанного. Расстояние между центрами двух равных окружностей равно $2R_1 \cos{\varphi/2}$, где $\varphi-\sin{\varphi}=\pi/3$. Центр окружности большего радиуса находится в середине отрезка, соединяющего центры первых двух окружностей. Расстояние между центрами большей и любой из меньших окружностей равно $R_1\cos{\beta/2}+R_2\cos{\alpha/2}$, где $\alpha R_2^2-R_2^2\sin{\alpha}+\beta R_1^2-R_1^2\sin{\beta}=4/3 \pi R_1^2$ и $R_1\sin{\beta/2}=R_2\sin{\alpha/2}$.

[svv]

Да, этот вариант я прохлопал.