2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Три окружности
Сообщение25.06.2017, 11:27 


29/07/08
536
Одна окружность разбивает плоскость на внутреннюю и внешнюю область.
Рассмотрим случай, когда три окружности разбивают плоскость на 8 областей.

Вопрос!

Как должны быть расположены окружности, чтобы площади семи внутренних областей были одинаковы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Три окружности
Сообщение26.06.2017, 22:42 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Пусть площадь каждой из семи внутренних областей равна $S$.
Внутренность каждой окружности состоит из 4 таких областей $\Rightarrow$ площадь каждой окружности равна $4S$ $\Rightarrow$ окружности могут быть только равного радиуса, будем считать его единичным.

Внутренность любой окружности разбивается любой другой окружностью на две части равной площади (так как каждая часть состоит из двух областей площадью $S$). Отсюда можно найти, что расстояние между центрами любых двух разных окружностей равно $2\cos\frac{\varphi}{2}$, где $\varphi$ — корень уравнения $\varphi-\sin\varphi=\frac{\pi}{2}$. Это примерно $0.8079455...$. Таким образом, всё жёстко. Но при этом площади внутренних областей всё-таки не получаются равными.

Ответ: никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три окружности
Сообщение08.07.2017, 18:14 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
svv в сообщении #1229869 писал(а):
Внутренность любой окружности разбивается любой другой окружностью на две части равной площади


Возможно, но к решению отношения не имеет.
PS За некорретной посылкой неверный вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три окружности
Сообщение08.07.2017, 18:18 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Чуток бы яснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три окружности
Сообщение08.07.2017, 19:40 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
Алгебраически вот.
Пусть
Изображение
${S_A}, {S_B}, {S_C}$ - площади кругов A, B, C;
${S_A}{S_B}$ - площади пересечений кругов A и B;
${S_A}{S_B}{S_C}$ - площадь пересечения кругов A и B и C.

Из условий: ${S_A}{S_B}{S_C}=S$.
Запишем то, что все участки внутри пересечений окружностей равны.
${S_A}{S_B}{S_C}={S_A}{S_B}-{S_A}{S_B}{S_C}$
${S_A}{S_B}{S_C}={S_A}{S_C}-{S_A}{S_B}{S_C}$
${S_A}{S_B}{S_C}={S_B}{S_C}-{S_A}{S_B}{S_C}$
${S_A}={S_A}{S_B}{S_C}+{S_A}{S_B}-{S_A}{S_B}{S_C}
+{S_A}{S_B}{S_C}+{S_A}{S_C}-{S_A}{S_B}{S_C}={S_A}{S_B}}+{S_A}{S_C}$
${S_B}={S_B}{S_A}}+{S_B}{S_C}$
${S_C}={S_C}{S_A}}+{S_C}{S_B}$

Из чего алгебраически следует, что
${S_A}={S_B}={S_C}=4S$,
а также, что
${S_A}{S_B}={S_A}{S_C}={S_B}{S_C}$, что
эквивалентно тому, что треугольник $ABC$ - равносторонний.
И (среди разных вариантов реализации) возможно рассчитать длину стороны треугольника $ABC$, выраженную через S и через подобранный радиус окружностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три окружности
Сообщение08.07.2017, 19:57 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вы тоже получили, что радиусы кругов равны, и что все три расстояния между их центрами равны, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Три окружности
Сообщение08.07.2017, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Необходимое условие очень часто не является достаточным. А иногда оно настолько не обходимо, что становится преградой даже хотя бы для одной реализации :-)
Интересно, если вместо окружностей взять квадраты, то что будет? Квадраты тоже должны быть равными, но их можно поворачивать :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Три окружности
Сообщение08.07.2017, 23:17 


20/04/10
1776
Если думать о равных окружностях и указанном выше типе пересечения, то ответ svv верный. Но можно рассмотреть две одинаковые окружности с радиусами $R_1$, а третья окружность радиуса $R_2=\sqrt{5/3}R_1$. Тогда пересечение может быть таким, что в первых двух окружностях помещается по три равные части (одна общая), а в третьей окружности (она расположена симметрично по отношению к первым двум) помещается пять равных частей. Думаю, что рисунок легко нарисовать из вышесказанного. Расстояние между центрами двух равных окружностей равно $2R_1 \cos{\varphi/2}$, где $\varphi-\sin{\varphi}=\pi/3$. Центр окружности большего радиуса находится в середине отрезка, соединяющего центры первых двух окружностей. Расстояние между центрами большей и любой из меньших окружностей равно $R_1\cos{\beta/2}+R_2\cos{\alpha/2}$, где $\alpha R_2^2-R_2^2\sin{\alpha}+\beta R_1^2-R_1^2\sin{\beta}=4/3 \pi R_1^2$ и $R_1\sin{\beta/2}=R_2\sin{\alpha/2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три окружности
Сообщение09.07.2017, 00:01 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, этот вариант я прохлопал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group