Задача на теорию вероятностей

[Skyfall]

Задача:
Рассмотрим следующий процесс. Пусть есть круг единичного радиуса с центром в точке $(0,0)$. Случайным образом равновероятно в этом кругу выбирается точка $(x,y)$. Затем, случайным образом равновероятно выбирается число $r$ среди всех чисел таких, что круг с центром в точке $(x,y)$ и радиусом $r$ полностью лежит внутри исходного круга.
Необходимо определить вероятность того, что центр исходного круга лежит внутри нового круга, полученного с помощью такого процесса.

Моя попытка.
Множество точек исходного круга (назовем его $S$), которые могут являться центром нового круга, образует круг с центром в $(0,0)$ и радиусом 1/2. Иначе мы не сможем удовлетворить условия задачи (новый круг лежит внутри исходного и включает в себя $(0,0)$).
Вероятность, что мы выберем точку из $S$: 1/4. (Как отношение площадей кругов).
А вот дальше абсолютно непонятно как определить вероятность выбора "правильного" $r$... Наверное, как-то можно свести к отношению отрезков, но пока непонятно как.
Или нужно вводить свою функцию распределения для $r$?..
Или вообще все не так?

[svv]

Пусть $a=\sqrt{x^2+y^2}$. Можете ли Вы записать явно?:
$\bullet$ чему равен максимально возможный радиус $r_\max$ нового круга;
$\bullet$ при каких $r$ центр исходного круга будет лежать внутри нового круга.

[Skyfall]

svv

• $ r_{\max}=1 $
  Т.е. в результате случайного выбора точки попали в $(0,0)$.
• При $a \leq r\leq 1 - a$.

[Skyfall]

Кто-нибудь знает, что еще можно сделать?)

[svv]

Да, только я имел в виду: чему равен $r_\max$ в предположении, что $a$ уже известно. Вы ниже ответили: $1-a$. Это правильно.

Следующий вопрос. Допустим, у Вас есть генератор случайных чисел, который выдаёт: точку $(x, y)$ в единичном круге (с равномерным распределением) и число $z$ из отрезка $[0, 1]$ (тоже с равномерным распределением). То и другое — независимо.
Придумайте, как можно из этих чисел получить радиус $r$, равномерно распределённый в отрезке $[0, r_{\max}(a)]$ при данном $a$.

[Skyfall]

svv
ГСЧ выдал точку $(x, y)$. Вычислим $r_{\max}(a)$. Теперь будем запускать ГСЧ, пока не получим такое $z$, что $z \in [0, r_{\max}(a)]$. Это и будет $r$.
Скорее всего я не понял к чему Вы ведете...

[svv]

Это, да, вариант.
Только представьте, что ГСЧ дорогой, каждое обращение к нему стоит 10 долларов. Вот он выдал $(x,y)$ в единичном круге и $z\in[0,1]$. Трактовать $z$ как $r$, как Вы верно заметили, не всегда получится: может оказаться, что $z>r_{\max}(a)=1-a$. Как бы сэкономить деньги и научиться обходиться одним разом?

[Skyfall]

svv
Можем "нормировать" результат, т.е. сделать $z := \frac{z}{1-a}$.
Верно? Что дальше?
А то я до сих пор не вижу света в конце туннеля.

[svv]

Вы правильно поняли, что $r$ надо построить из $z$ и $r_{\max}(a)$. Именно: $r=zr_{\max}(a)=z(1-a)$. Поскольку $z\in[0,1]$, то автоматически $r\in[0, 1-a]$, причём с равномерным распределением.
Теперь построим цилиндр, основание которого — наш единичный круг, а высота единичная. Пожалуйста, осознайте, что совместный выбор центра нового круга $(x, y)$ и его радиуса $r$ эквивалентен случайному выбору точки $(x, y, z)$ внутри цилиндра, причём с равномерным распределением.

[Skyfall]

svv
Ой, делил я зря, так можно получить число больше единицы… В общем, с этим понятно.
А вот выход в 3D — неожиданный поворот!

Ну с осознанием этого факта вроде все просто: первые две координаты точки есть координаты центра нового круга, сколько было вариантов столько и осталось. А радиус $r$ имеет тот же возможный диапазон для выбора, что и третья координата — $z$ (с учетом домножения на $r_{\max}$).

Так а зачем этот цилиндр?

[svv]

Здесь ключевой момент — равномерное распределение точки $(x,y,z)$ в цилиндре. Оно означает, что вероятность попасть в какую-то область $\Omega$ внутри цилиндра пропорциональна объёму $\Omega$. Благодаря этому мы сведём задачу к вычислению объёма некоторой области в цилиндре.

В свою очередь, это равномерное распределение влечёт за собой равномерное распределение $(x, y)$ в круге (как требуется по условию) благодаря постоянной (единичной) высоте цилиндра. (Математики раскритикуют; я имею в виду, что длина интервала изменения $z$ равна $1$ независимо от $(x, y)$.) Если бы, например, вместо цилиндра у нас был прямой конус, то, выбирая $(x, y, z)$ равномерно в конусе, мы бы получали бОльшую плотность вероятности попадания $(x, y)$ в центральных областях круга, чем в периферийных — что противоречит условию. (Понятно ли это?)

[Skyfall]

svv
Да, я все понял, что Вы написали. С конусом это понятно еще и из интуитивных соображений, грубо говоря, в центре больше объема и, как следствие равновероятного выбора точки в конусе, мы бы чаще выбирали точку, что ближе к центру.

Что будем делать дальше с цилиндром?) Я пока не догадался, как выбрать нужную часть.

[svv]

Skyfall в сообщении #1232320 писал(а):

грубо говоря, в центре больше объема и, как следствие равновероятного выбора точки в конусе, мы бы чаще выбирали точку, что ближе к центру.

Чудесно. Если Вы понимаете это, Вы понимаете всё.

Теперь давайте выразим в координатах $x,y,z$ условие того, что выбор оказался удачным: $r>a$.

[Skyfall]

svv
Не совсем понял, почему Вы употребили знак "строго больше", а не "больше или равно".

$z \geqslant \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\ x^{2}+y^{2} \leqslant \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{2}$

[svv]

Какой знак поставить, особенно не думал. Условие $r>a$ соответствует попаданию центра исходного круга строго внутрь нового. Условие $r\geqslant a$ допускает попадание центра исходного прямо на границу нового. Так как мера границы (т.е. её площадь) равна нулю, на ответ это не повлияет. Считайте, что там написано так, как Вы хотите.

Да, правильно. Если использовать $a=\sqrt{x^2+y^2}$, это можно записать как $z\geqslant \frac a{1-a}$.
А Вы можете преобразовать это в условие на $a$, в зависимости от $z$?