2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение08.07.2017, 21:29 


24/12/14
82
Минск
svv
Наверное, Вы это имеете в виду…
$a\leqslant \frac{z}{z+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение08.07.2017, 21:43 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, правильно.

Пусть $a\leqslant \frac z{z+1}$. Так как при любом $z\in[0;1]$ будет $\frac z{z+1}\leqslant\frac 1 2$, условие $a\leqslant \frac 1 2$ выполняется автоматически, и о нём специально заботиться не нужно.

Наша переменная $a$ — это в точности цилиндрическая координата $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ (сразу надо было так и обозначить, но я «протормозил»). Итак, в цилиндре имеем область
$z\in[0;1],\;\rho\leqslant \frac z{z+1}$
Это фигура вращения. Нужно вычислить её объём и сопоставить с объёмом цилиндра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение08.07.2017, 22:23 


24/12/14
82
Минск
svv
Не нашел формулы объема фигуры вращения для цилиндрических координат.
Т.к. все формулы для декартовой СК, что я находил, оперируют вращениями вокруг Ox/Oy, то я решил немного переобозначить: Oz -> Oy.
Тогда получается, что вращаем $x(y)=\frac{y}{y+1}$ вокруг оси Oy.
$V=\pi \int_{0}^{1}\left (\frac{y}{y+1}  \right )^{2}\mathrm{d}y = \pi  \left(\frac{3}{2}-\ln (4)\right)$.
Верно?

А искомая вероятность определяется отношением объема V к объему всего цилиндра (а это ровно $\pi$).
Значит, ответ: $\frac{3}{2}-\ln (4)$.
Да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение08.07.2017, 22:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение08.07.2017, 23:07 


24/12/14
82
Минск
svv
Здорово, благодарю за помощь!)

Ну и еще один вопрос по задаче: есть ли другие пути решения? Ну например можно ли было как-то ввести свою функцию распределения для $r$? А затем уже через мат. ожидание...
Просто интересно, какие есть еще варианты (пусть и некрасивые)) Претензий к Вашей идее не имею, наоборот понравилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение08.07.2017, 23:18 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Наверняка есть, вот один из них. Я понимаю, что Вы имели в виду только «точные» способы, и привожу этот только из-за его необычности.
Я написал программу на C++:
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис C++
randomize();
const int N=100000000;
int
   n=0, // всего испытаний
   m=0; // успешных испытаний
for (int i=0; i<N; ++i)
{
   double
      x=Rand()*2-1, // x in [-1;+1]
      y=Rand()*2-1, // y in [-1;+1]
      a=sqrt(x*x+y*y);
   if (a>1) continue; // испытание не состоялось: точка за пределами круга
   ++n; // испытание состоялось
   double r=Rand()*(1-a); // r in [0; 1-a]
   if (r>=a) ++m; // испытание завершилось успехом
}
double p=double(m)/n;
Вывод p
 

Здесь Rand() — функция, возвращающая случайное число из отрезка $[0;1]$ с равномерным распределением.
Программа выдала 0.113758. Первые десятичные цифры точного значения: $\frac 3 2-\ln 4= 0,1137056...$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение08.07.2017, 23:31 


24/12/14
82
Минск
svv
Да, как Вы правильно заметили, я спрашивал о «точных» способах)
С численным экспериментом все понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение09.07.2017, 12:48 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Skyfall в сообщении #1232340 писал(а):
Ну например можно ли было как-то ввести свою функцию распределения для $r$? А затем уже через мат. ожидание...
Да, можно (только без мат.ожидания). Введём трёхмерную случайную величину $(X, Y, R)$, принимающую значения в $\mathbb R^3$. Первые две её компоненты соответствуют координатам центра нового круга, а третья — его радиусу. Надо найти плотность её распределения $p(x, y, r)$. Эта плотность отлична от нуля лишь в области $\Omega$, где выполняются условия $x^2+y^2\leqslant 1,\, 0\leqslant r \leqslant 1-\sqrt{x^2+y^2}$.

Я вчера пугал конусами, а $\Omega$ как раз конус. Но всё в порядке потому, что распределение $(X, Y, R)$ в конусе, в отличие от распределения $(X, Y, Z)$ в цилиндре, не является равномерным.

Интеграл от $p(x, y, r)$ по $\mathbb R^3$ (или по $\Omega$) равен единице. Ну, а Вам надо проинтегрировать $p$ по той области $G\subset \Omega$, которая соответствует «успеху»: в ней выполняется дополнительное условие $r\geqslant \sqrt{x^2+y^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение09.07.2017, 20:48 


24/12/14
82
Минск
svv
Не все понял. А именно
Цитата:
Надо найти плотность её распределения $p$
, но Вы нигде не привели явного вида для этой функции. Лишь охарактеризовали, что распределение не является равномерным и интеграл равен единице — это, и все остальное, понятно. Вот только непонятно, как же все-таки выглядит $p$. Я так понимаю, что вид этой функции скорее всего не единственен. Но как получить хотя бы один допустимый вариант?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение09.07.2017, 20:55 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Это задачка из вступительного заочного экзамена в ШАД Яндекса этого года. Я её решал так. Первым делом в исходном круге вводил полярные координаты $\left(\rho, \varphi\right)$, потому что с точки зрения задачи важна только $\rho$. Из геометрических соображений ясно, что при равномерном распределении точки внутри круга плотность распределения координаты $\rho$ имеет вид $p\left(\rho\right) = c\rho$. Из условия нормировки находим, что $c=2$. Дальше: при каждом фиксированном $\rho$ значение $r$ будет равномерно распределено на отрезке $\left[0,1-\rho\right]$, потому что именно при таких значениях $r$ второй круг будет целиком внутри первого. Центр исходного круга окажется внутри второго при условии $r>\rho$. Дальше ясно, что условия $r \in \left[0,1-\rho\right]$, $r>\rho$ одновременно выполняются только при $0<\rho<1/2$, причем в этом случае благоприятные значения $r$ заполняют интервал $\left(\rho,1-\rho\right)$. Вероятность того, что центр исходного круга лежит целиком внутри нового круга (прри данном фиксированном $\rho$) равна отношению длин интервалов, то есть $\frac{1-2\rho}{1-\rho}$. Остается только проинтегрировать условную вероятность: дело сводится к интегралу $\int\limits_0^{1/2}\frac{1-2\rho}{1-\rho}\cdot 2\rho\,d\rho$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение09.07.2017, 21:48 
Аватара пользователя


04/06/17
183
popolznev в сообщении #1232431 писал(а):
Это задачка из вступительного заочного экзамена в ШАД Яндекса этого года.


Интересно, а условия остальных задач где-нибудь можно посмотреть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение11.07.2017, 09:06 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Tiberium в сообщении #1232452 писал(а):
Интересно, а условия остальных задач где-нибудь можно посмотреть?
Могу выложить - экзамен давно прошёл, никакой секретности там не предполагается, да и задачи прошлых лет (правда, с очного отделения) они сами выкладывают. Правда, на заочном они, в общем, лёгкие и совсем не такие интересные, как на очном.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение18.07.2017, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Ну ещё можно через условные плотности. Сначала из геометрических соображений получаем, что плотность распределения $\rho$ есть $2x\mathbf{1}_{[0,1]}(x)$. Потом видим, что условная плотность радиуса второго, маленького круга при известном $\rho=x$ есть $f(y|x)=\frac1{1-x}\mathbf{1}_{[x,1]}(y)$. Перемножая, получаем совместную плотность, которую интегрируем по треугольнику $y\ge 2x$ внутри единичного квадрата. Естественно, приходим к указанному выше интегралу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение19.07.2017, 08:34 


16/01/16

100
Если не ошибаюсь, задача сводится к определению объема следующей фигуры, выпиленной из цилиндра.
Изображение
Диаметр маленького цилиндра равен половине диаметра большого цилиндра.
Искомая вероятность есть отношение объема данной фигуры к объему большого необрезанного цилиндра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на теорию вероятностей
Сообщение17.05.2019, 18:59 


26/12/18
6
popolznev в сообщении #1232431 писал(а):
Это задачка из вступительного заочного экзамена в ШАД Яндекса этого года. Я её решал так. Первым делом в исходном круге вводил полярные координаты $\left(\rho, \varphi\right)$, потому что с точки зрения задачи важна только $\rho$. Из геометрических соображений ясно, что при равномерном распределении точки внутри круга плотность распределения координаты $\rho$ имеет вид $p\left(\rho\right) = c\rho$. Из условия нормировки находим, что $c=2$. Дальше: при каждом фиксированном $\rho$ значение $r$ будет равномерно распределено на отрезке $\left[0,1-\rho\right]$, потому что именно при таких значениях $r$ второй круг будет целиком внутри первого. Центр исходного круга окажется внутри второго при условии $r>\rho$. Дальше ясно, что условия $r \in \left[0,1-\rho\right]$, $r>\rho$ одновременно выполняются только при $0<\rho<1/2$, причем в этом случае благоприятные значения $r$ заполняют интервал $\left(\rho,1-\rho\right)$. Вероятность того, что центр исходного круга лежит целиком внутри нового круга (прри данном фиксированном $\rho$) равна отношению длин интервалов, то есть $\frac{1-2\rho}{1-\rho}$. Остается только проинтегрировать условную вероятность: дело сводится к интегралу $\int\limits_0^{1/2}\frac{1-2\rho}{1-\rho}\cdot 2\rho\,d\rho$.


Можно, пожалуйста, пояснить для малоодаренных, почему для $\rho$ вы берете плотность распределения, а для допустимого радиуса второй окружности функцию распределения? Мне не очень понятно почему нельзя для $\rho$ так же использовать функцию распределения как отношение площадей окружностей с радиусами $\rho$ и 1. Плохо понимаю этот момент.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Евгений Машеров


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group