Это задачка из вступительного заочного экзамена в ШАД Яндекса этого года. Я её решал так. Первым делом в исходном круге вводил полярные координаты

, потому что с точки зрения задачи важна только

. Из геометрических соображений ясно, что при равномерном распределении точки внутри круга плотность распределения координаты

имеет вид

. Из условия нормировки находим, что

. Дальше: при каждом фиксированном

значение

будет равномерно распределено на отрезке
![$\left[0,1-\rho\right]$ $\left[0,1-\rho\right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/2000be07dc2017205f6d75c070d0aa8682.png)
, потому что именно при таких значениях

второй круг будет целиком внутри первого. Центр исходного круга окажется внутри второго при условии

. Дальше ясно, что условия
![$r \in \left[0,1-\rho\right]$ $r \in \left[0,1-\rho\right]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/2/5e2e0fab8500264c29583f3da4d956d182.png)
,

одновременно выполняются только при

, причем в этом случае благоприятные значения

заполняют интервал

. Вероятность того, что центр исходного круга лежит целиком внутри нового круга (прри данном фиксированном

) равна отношению длин интервалов, то есть

. Остается только проинтегрировать условную вероятность: дело сводится к интегралу

.