Помогите найти ошибку в рассуждении.

[svv]

DeBill в сообщении #1231132 писал(а):

можно было подумать, что урны формировались типа так: по очереди засовываем в урну шары, выбирая черно-бело равновероятно....

Я так и подумал, и сейчас так думаю. Все шары различимы же.

[Tiberium]

svv в сообщении #1231120 писал(а):

Там есть фраза «все возможные варианты первоначального цветового состава шаров равновероятны». То есть сама вероятность того, что в ящике все шары белые, равна $2^{-n}$.

Спасибо, понял. В моей интерпретации урны были изначально сформированы: либо только из белых, либо только из черных шаров с вероятностью $\frac{1}{2}$.

[DeBill]

svv в сообщении #1231120 писал(а):

В пользу именно такого толкования свидетельствует оговорка «все шары различимы» в условии.

Ага, Иначе, дествно, это зависает, да...

[Someone]

Что-то мне кажется, что рассуждения зашли куда-то не туда. "Цветовой состав шаров", о котором идёт речь в первом сообщении — это "столько-то белых и столько-то чёрных". Если всего шаров $n$ штук, то этих "цветовых составов" $n+1$ штука. А различимость/неразличимость шаров влияет на комбинаторику: если у нас есть $2$ белых шара и $5$ чёрных, то в случае различимых шаров мы можем выбрать $1$ белый и $1$ чёрный шар $10$ способами, а в случае неразличимых — только одним.

Можно посмотреть аналогичную задачу у В. Е. Гмурмана ("Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", задача 89).

[svv]

Someone в сообщении #1231514 писал(а):

А различимость/неразличимость шаров влияет на комбинаторику: если у нас есть $2$ белых шара и $5$ чёрных, то в случае различимых шаров мы можем выбрать $1$ белый и $1$ чёрный шар $10$ способами

Но, в случае различимости, и назначить один и тот же «цветовой состав» — тоже несколькими способами.

[Someone]

А там ничего о способе не говорится. Просто сказано

notabene в сообщении #1231047 писал(а):

все возможные варианты первоначального
цветового состава шаров равновероятны.

А если бы какой-то способ подразумевался, то его надо было бы указать явно, потому что вероятности будут зависеть от этого способа.

[svv]

Да, если «цветовой состав» — это исключительно информация о количестве белых и чёрных, Вы правы. Но, может быть, это отображение из множества шаров в множество цветов?

-- Вт июл 04, 2017 17:48:55 --

И ещё мне не очень понятно, как, например, неразличимость белых шаров может повлиять на вероятность извлечения белого шара. Скажем, в ящике один чёрный шар и два белых, причём они неразличимы. Какова вероятность извлечь белый шар?
Вопрос снимается: никто не утверждал, что влияет.

[Someone]

Конечно, всё может быть, поскольку условие не формализовано. Но мне кажется, что традиционное толкование (как у Гмурмана или в "Сборнике задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций" под редакцией А. А. Свешникова) является простейшим и наиболее естественным.

svv в сообщении #1231518 писал(а):

если «цветовой состав» — это исключительно информация о количестве белых и чёрных

Ну, я это так и воспринимаю.

[ewert]

Различимость шаров -- это просто их пронумерованность. Нанесли мы на шары цифирки, или забыли это сделать, или потом стёрли -- никакого влияния на вероятности, естественно, не оказывает. Поэтому утверждение об их различимости, причём непосредственно перед утверждением о равновероятности вариантов, осмысленно лишь в одном случае -- если это намёк на то, что всего равновероятных вариантов $2^n$.

Формулировать задачу намёками, конечно, нехорошо. Но ведь как-то надо. Поскольку словосочетание "составы шаров равновероятны" двусмысленно (ровно двусмысленно). Если бы докладывался только один шар определённого цвета, то это не имело бы значения -- ответ не зависел бы от интерпретации. А для двух и более шаров уже зависит.

[Someone]

ewert в сообщении #1231530 писал(а):

Различимость шаров -- это просто их пронумерованность. Нанесли мы на шары цифирки, или забыли это сделать, или потом стёрли -- никакого влияния на вероятности, естественно, не оказывает.

Это просто потому, что шары, выточенные из металла, всегда различимы, даже если невооружённому глазу они кажется абсолютно одинаковыми. По-настоящему неразличимые объекты встречаются, главным образом, на микроуровне.

[zinka]

По-моему, условия противоречат друг другу.

notabene в сообщении #1231047 писал(а):

изначально в ящике лежат только черные ИЛИ белые шары

ИЛИ, а не И.
Значит в урне были либо только черные, либо только белые.
Я так понимаю условие.
Тогда у нас у нас 1 шар одного цвета и n+1 шар - другого.
Вероятность удачно вытащить свежезакинутый единственный шар другого цвета
2/(n+2)
Если мы не возвращаем первый вынутый шар - назад в ящик.

С другой стороны если

Цитата:

все возможные варианты первоначального
цветового состава шаров равновероятны.

,
то есть - там в ящике могла быть любая комбинация черных и белых шаров,
то вероятность вытащить черный + белый =1/2, разумеется.

Впрочем, не точно.
Это как раз - если мы возвращаем вытащенный шар.
А иначе...
Допустим n=1
Вероятность вытащить разные = 2/3.
В общем 2 варианта понимания "какие шары" * 2 варианта "возвращаем ли шары в ящик".
И будет 4 разных ответа.

[ewert]

zinka в сообщении #1231787 писал(а):

ИЛИ, а не И.
Значит в урне были либо только черные, либо только белые.

Не значит. Там просто некоторое крохоборство от составителя: он явно опасался, что "И" могло бы быть прочитано как "хоть один белый и хоть один чёрный". Ну, получилось ещё хуже, конечно; просчитался, бывает.