Помогите найти ошибку в рассуждении.

[notabene]

Решаю вот такую задачу и не пойму в чем ошибка в рассуждениях.
В ящик, содержащий $n$ шаров, опускают один черный и один белый шар. После чего
наугад вынимают два шара. Найдите вероятность того, что среди вынутых шаров
окажется один белый и один черный, если изначально в ящике лежат только черные
или белые шары, все шары различимы и все возможные варианты первоначального
цветового состава шаров равновероятны.
Решение 1. Пусть $A$ - событие, состоящее в том, что из двух извлеченных шаров один белый и один чёрный, а ${{H}_{0}},{{H}_{1}},\ldots {{H}_{n}}$ - гипотезы, заключающиеся в том, что первоначально в урне было $0,1,\ldots ,n$ белых шаров. По условию задачи

$\[P({{H}_{0}})=P({{H}_{1}})=\ldots =P({{H}_{n}})=\frac{1}{n+1}\]$

С учетом того, что перед извлечением шара из урны в неё были опущены белый и чёрный шары, находим:
\[P(A|{{H}_{i}})=\frac{\left( \begin{matrix} i+1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} n+1-i \\ 1 \\ \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} n+2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)}\] $
По формуле полной вероятности
$P(A)=\sum\limits_{i=0}^{n}{P(A|{{H}_{i}})P({{H}_{i}})}=\sum\limits_{i=0}^{n}{\frac{(i+1)(n+1-i)}{(n+1)(n+2)/2}\cdot \frac{1}{(n+1)}=\frac{n+3}{3(n+1)}}$
Решение 2.
Поскольку очевидно, черные и белые шары в условии задачи равноправны, то вероятность равна 0.5. Компьютерный эксперимент подтверждает эту точку зрения.
 
В чем ошибка?

[mihaild]

Если все раскраски равновероятны, то вероятность получить скажем $0$ белых шаров из $2$ - это $\frac{1}{4}$, а $1$ - $\frac{1}{2}$.

[notabene]

Не совсем понял ваше замечание. Можно поподробнее?

[mihaild]

notabene в сообщении #1231047 писал(а):

все возможные варианты первоначального
цветового состава шаров равновероятны

Попробуйте расписать подробнее, что это значит - например, для случая двух шаров.

[Tiberium]

Ответ $\frac{2}{n+2}$ неверен?

[svv]

Представьте, что шаров огромное количество, просто океан. Тогда вероятность того, что доля белых существенно отличается от доли чёрных, ничтожна. Вероятность вынуть, например, белый шар равна $\frac 1 2$ как в первый, так и во второй раз, и эти события независимы. Дальше Вы бросаете в этот океан два шара определённых цветов, но они просто тонут в нём, ничего не меняя.

Но по Вашей формуле вероятность вынуть шары разных цветов при большом $n$ почему-то очень мала.

[notabene]

Почему очень мала? Стремится к 1/3. А со вторым решением что?

[svv]

Претензия была к формуле Tiberium. Извините, что не уточнил.

[Tiberium]

svv в сообщении #1231062 писал(а):

Но по Вашей формуле вероятность вынуть шары разных цветов при большом $n$ почему-то очень мала.

Я, видимо, неправильно понял условие: при очень больших $n$ будет $n+1$ шаров, допустим,белого цвета и только один шар черного цвета, так что вероятность вытянуть шар черного цвета из целого океана белых и будет мала. Что не так в моем понимании условия?

[notabene]

Уточню, при своем решении этой задачи я опирался на решение задачи 59 взятое отсюда. http://old.kpfu.ru/f6/b_files/probprob!144.pdf
Почему же в моем случае решение получается ошибочным. (В вычислениях ошибки быть не должно - считал в Mathcad).

[mihaild]

notabene, попробуйте всё же на примере расписать, что значит "вероятности всех раскрасок одинаковы". Для $2$ шаров - какое пространство элементарных событий, какие их вероятности?

[notabene]

1. Первый шар белый, второй шар белый
2. Первый шар белый, второй шар чёрный
3. Первый шар черный, второй шар белый
4. Первый шар черный, второй шар черный

Вероятность равна 1/4
Т.е. получается, что задача, которую я взял за образец и эта - существенно разные?

[mihaild]

Это стандартная проблема с формализацией недостаточно четко сформулированных задач по терверу. "Все варианты равноверноятны" без указания, что именно мы считаем вариантом. В вашем первом решении и задаче, на которую вы ссылаетесь, один вариант - это "число белых шаров равно $k$", в вашем втором решении (которое мне кажется гораздо лучшей и более стандартной формализацией), один исход - это "первый шар такой, второй такой, ...".

(Оффтоп)

Я не уверен, что задачник с такими формулировками хорошо подходит для начального самостоятельного изучения.

[svv]

Tiberium в сообщении #1231067 писал(а):

при очень больших $n$ будет $n+1$ шаров, допустим,белого цвета и только один шар черного цвета, так что вероятность вытянуть шар черного цвета из целого океана белых и будет мала. Что не так в моем понимании условия?

Там есть фраза «все возможные варианты первоначального цветового состава шаров равновероятны». То есть сама вероятность того, что в ящике все шары белые, равна $2^{-n}$.

Гораздо более вероятным при больших $n$ будет почти равное первоначальное количество белых и чёрных шаров в ящике. Например, в таком смысле: при фиксированном положительном $\varepsilon$ (как угодно малом) вероятность того, что доля белых шаров в ящике попадёт в интервал $\frac 1 2\pm\varepsilon$, с ростом $n$ стремится к единице.

-- Вс июл 02, 2017 23:39:39 --

mihaild в сообщении #1231109 писал(а):

один исход - это "первый шар такой, второй такой, ..."

В пользу именно такого толкования свидетельствует оговорка «все шары различимы» в условии.

[DeBill]

notabene в сообщении #1231047 писал(а):

Решение 2.
Поскольку очевидно, черные и белые шары в условии задачи равноправны, то

... то вероятность вытащить пару белых - такая же, как вероятность вытащить пару черных. В соответствии с Вашим
Решением-1, обе они равны $\frac{n}{3(n+1)}$.... И что Вас смущает?
Ааа, понЯл: можно было подумать, что урны формировались типа так: по очереди засовываем в урну шары, выбирая черно-бело равновероятно....
Однако, мне кажется, условию "все... равновероятны" боле соответствует Ваше решение-1...