Помогите решить неопределенный интеграл. (Разборки)

[Banks]

$\int \frac {{dx}} {x\sqrt{{x^2}+1}}$

Формула исправлена. убраны лишние '\' : (\x -> x, \{ -> { ) // нг

нг:

Замечание за дублирование темы.

[Banks]

Заранее благодарен.
P.S. Модераторы извините что не написал тегом Math, я тыркал тыркал, че то у меня так и не получилось написать этот интеграл...

[Профессор Снэйп]

Banks писал(а):

я тыркал тыркал, че то у меня так и не получилось написать этот интеграл...

$$ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} $$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$$

[Brukvalub]

Замена

\[ t = \frac{1}{x} \]

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Замена

\[ t = \frac{1}{x} \]

А вот и нет. Надо домножить и разделить на икс, а потом внести тот (верхний) икс под знак дифференциала.

Не забывайте о "педагогычности"!

[Brukvalub]

ewert писал(а):

А вот и нет. Надо домножить и разделить на икс, а потом внести тот (верхний) икс под знак дифференциала.

Не забывайте о "педагогычности"!

Я-то не забываю, а вот вы в порыве отомстить мне за указанные мной ваши на форуме многочисленные ляпы, давно обо всем забыли и пустились "во все тяжкие", пытаясь мелочно "укусить" и забывая при этом, что мы здесь не просто "тусуемся", а учим детей.
Так вот, будьте любезны и ответьте теперь за свои слова - объясните, почему нельзя применять указанную мной стандартную для такого вида интегралов замену?
И не прячтесь опять, как только нужно отвечать за свои слова - ведь иначе Banks и впрямь может подумать, что я предложил ему неверную замену.

[Jnrty]

Jnrty:

Banks писал(а):

Модераторы извините что не написал тегом Math, я тыркал тыркал, че то у меня так и не получилось написать этот интеграл...

Плохо старались. Почитайте внимательно http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183. Можно потренироваться в разделе "Тестирование".

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Так вот, будьте любезны и ответьте теперь за свои слова - объясните, почему нельзя применять указанную мной стандартную для такого вида интегралов замену?

Охотно объясняю; это элементарно. Потому, что Ваша "стандартная для такого вида интегралов" замена не меняет типа интеграла.

В то время как для именно такого типа интегралов действительно стандартное (и это уже без шуток) внесение под знак дифференциала практически моментально превращает его в рациональную дробь, а это -- святое.

Дальнейшие объяснения нужны, или понятно?

[Someone]

ewert писал(а):

Дальнейшие объяснения нужны, или понятно?

Мне непонятно. Подстановка Brukvalubа превращает данный интеграл в табличный. Там только за знаками нужно аккуратно проследить (при $x>0$ и при $x<0$).

[RIP]

ewert писал(а):

Потому, что Ваша "стандартная для такого вида интегралов" замена не меняет типа интеграла.

Зато делает интеграл табличным.

Можно ещё заметить, что это дифференциальный бином, и сразу применить соответствующую стандартную замену $x^2+1=t^2$.

[Brukvalub]

Специально для неграмотных показываю:

\[ \int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x^2 + 1} }}} = \;\left| {x = \frac{1}{t}\;dx = - \frac{{dt}}{{t^2 }}} \right|\; = - \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {\frac{1}{{t^2 }} + 1} }}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {t^2 + 1} }}\;,\;t > 0} } \\ {\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {t^2 + 1} }}\;,\;t < 0} } \\ \end{array} = } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\ln \left| {\frac{x}{{1 + \sqrt {x^2 + 1} }}} \right| + C_1 ,\;x > 0} \\ {\ln \left| {\frac{{1 - \sqrt {x^2 + 1} }}{x}} \right| + C_2 ,\;x < 0} \\ \end{array}} \right. \]

Теперь укажите мне ошибку в методе. Где там тип интеграла не поменялся,и что мешает так интегрировать.
А, заодно, возьмите занесением под знак дифференциала № 1856 из Демидовича. Сразу скажу, что указанной мной подстановкой он берется.
Забыл, вы, небось, что такое "Демидович", и не слыхали. Ладно, не берите...

Добавлено спустя 5 минут 51 секунду:

Пока пыхтел и всю свою тривиальщину набирал, Someone и RIP тоже удивление высказали. Вот тут для ewertа самое время прятаться и настало! Когда становится "горячо" и нужно за свой бред отвечать, он завсегда "в тинку" нырнуть и отсидеться предпочитает. Посмотрим, отступит он то своего правила теперь, или нет...

[Jnrty]

Там ещё можно в варианте для $x>0$ домножить числитель и знаменатель дроби на $1-\sqrt{x^2+1}$. Получится такое же выражение, как в случае $x<0$.

[Brukvalub]

Jnrty писал(а):

Там ещё можно в варианте для $x>0$ домножить числитель и знаменатель дроби на $1-\sqrt{x^2+1}$. Получится такое же выражение, как в случае $x<0$.

Согласен.

[ewert]

RIP писал(а):

ewert писал(а):

Потому, что Ваша "стандартная для такого вида интегралов" замена не меняет типа интеграла.

Зато делает интеграл табличным.

Можно ещё заметить, что это дифференциальный бином, и сразу применить соответствующую стандартную замену $x^2+1=t^2$.

Вот именно. Именно эта замена и является стандартной -- в данном конкретном случае. И дифференциальный бином тут не при чём, он нужен для менее тривиальных случаев.

А таблицы интегралов бывают разные, знаете ли. Возможно, кто-то заставляет студентов зубрить наизусть всего Прудникова. Все три тома. Но, надеюсь, хоть чересстрочно?

[Brukvalub]

Так где же , ewert, ответ за свои слова:

ewert писал(а):

Brukvalub писал(а):
Замена

\[ t = \frac{1}{x} \]

А вот и нет.

Ответьте, почему, как вы пишете, в этом интеграле нельзя применять указанную мной подстановку и где в приведенных мной вычислениях тем самым содержится ошибка? Или вы просто так болтаете, а ответить поэтому за свои слова не можете?