Интеграл Лебега

[RIP]

Этого более чем достаточно. Идея такая (первое, что приходит на ум). Допустим, например, что $f(x)>0$ на множестве положительной меры. Тогда для некоторого (измеримого) множества $A\subset[a;b]$ имеем $\int_Af(x)\,dx>0$. Множество $A$ можно сколь угодно хорошо приблизить некоторым простым множеством $B$ (конечным объедением промежутков) в том смысле, что $A\Delta B$ можно заставить иметь сколь угодно малую меру. Дальше воспользуйтесь абсолютной непрерывность, чтобы прийти к противоречию.

[Lister]

RIP, спасибо, буду "копать" в этом направлении. Один небольшой вопрос про "приближениие множества простым множеством" - любое ли множество положительной меры (я так понял, $A$ - то множество, где функция принимает ненулевые значения, которым мы, не ограничивая общности, считаем положительными) можно "приблизить" конечным объединением промежутков, и каков смысл обозначения $A\Delta B$ - ранее с ним встречаться, к сожалению, не приходилось?

[RIP]

Lister писал(а):

(я так понял, $A$ - то множество, где функция принимает ненулевые значения, которым мы, не ограничивая общности, считаем положительными)

Не совсем так. Можно в качестве $A$ взять то множество, где функция принимает положительные значения (функция ведь может принимать и положительные, и отрицательные). Или это и имелось в виду?

Lister писал(а):

Один небольшой вопрос про "приближениие функции простым множеством"

Это опечатка ("функции" вместо "множества")?

Lister писал(а):

любое ли множество положительной меры можно "приблизить" конечным объединением промежутков..?

По-моему, это определение измеримого по Лебегу множества.

Lister писал(а):

каков смысл обозначения $A\Delta B$ - ранее с ним встречаться, к сожалению, не приходилось?

$A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$ — симметрическая разность множеств $A$ и $B$.
Как же у Вас измеримое множество определяется?

[AD]

RIP писал(а):

Lister писал(а):

любое ли множество положительной меры можно "приблизить" конечным объединением промежутков..?

По-моему, это определение измеримого по Лебегу множества.

Ну любое множество накрывается неболеечемсчетным объединением интервалов, мера которого отличается от внешней меры множества сколь угодно мало. Это определение внешней меры. Для измеримого множества его внешняя мера и есть его мера.

Добавлено спустя 3 минуты:

Lister писал(а):

Пусть $f(x)$ - интегрируемая по Лебегу на $[a,b]$ функция. Доказать, что если

$$\int_{a}^{c} f(x) dx = 0$$

$\forall c \in [a,b]$, то $f(x) = 0$ почти всюду на $[a,b]$.

Поскольку интеграл по всем отрезкам $[a,c]$ равен нулю, то и интеграл по всем отрезкам $[c,d]=[a,d]\setminus[a,c)$ тоже равен нулю. Из этого, пользуясь предельными теоремами, нужно вывести, что интеграл по любому измеримому множеству равен нулю. А это будет означать, что интеграл по множеству, где функция положительна, равен нулю, и по множеству, где функция отрицательна - тоже. Ну и всё.

[darina]

Всем привет!! Не подскажите какие-нибудь книжки по действительному анализу с разбором задач, кроме Ульянова!!!!!!

[Echo-Off]

Богачёв, "Основы теории меры". Правда, год назад её было очень трудно достать. Сейчас вроде полегче.

[Lister]

Спасибо, опечатку исправил. По поводу определения - сглупил, просто достаточно непривычно выглядела запись cимметрической разности $A\Delta B$ (у нас определение измеримости $E$ вводилось через точную нижнюю грань всевозможных открытых множеств, содержащих $E$). Вот примерное доказательство, которое у меня выходит:
Предположим, что множество тех точек, где функция $f$ принимает ненулевые значения, имеет положительную меру (обозначим это множество через $A$). Т.к. множество $A$ измеримо, то оно может быть приближено не более чем счетным числом интервалов, на каждом из которых интеграл

$$\int f(x)dx$$

равен нулю (воспользовался утверждением AD - буду благодарен, если кто-нибудь подскажет, с помощью каких предельных теорем сей факт доказывается), а меру $A\Delta B$ (обозначим $A\Delta B$ через $e$) можно сделать сколь угодно малой (например, меньше $\varepsilon_0$). В дальнейшем не совсем уверен: ведь теорема об абсолютной непрерывности утверждает, что если $f\in L(E)$, то для всякого $\varepsilon >0$ существует такое $\delta (\varepsilon) >0$, что

$$|\int_e f(x)dx| < \varepsilon$$

для всякого измеримого множества $e \subset E$ такого, что $mes(e)< \delta (\varepsilon)$. Однако у нас имеется всего лишь множество $e$ заданной (сколь угодно малой) меры, и разве можно утверждать что-то об ограниченности интеграла

$$|\int_e f(x)dx|$$

на этом множестве? Ведь нужно доказать, что интеграл не равен нулю для некоторого $c$(т.е. прийти к противоречию с условием), но, к моему стыду, никак не могу понять, как это сделать. Прошу прощения за глупые местами вопросы - сессия, мозг кипит!

[RIP]

Брр.

Lister писал(а):

(у нас определение измеримости $E$ вводилось через точную нижнюю грань всевозможных открытых множеств, содержащих $E$).

Интересно, это как? Заметьте, я спрашиваю про определение не меры, а измеримости. Стандартное определение для классической меры Лебега очень грубо можно сформулировать так: множество называется измеримым по Лебегу, если его можно приблизить конечным объедением промежутков с любой степенью точности.

Lister писал(а):

Предположим, что множество тех точек, где функция $f$ принимает ненулевые значения, имеет положительную меру (обозначим это множество через $A$).

Вы не то множество обозначаете через $A$. Ведь интеграл по $A$ вполне себе может оказаться равным нулю, и для чего оно тогда нам? Прочтите мой предыдущий пост (или самый конец поста AD).

Lister писал(а):

Т.к. множество $A$ измеримо, то оно может быть приближено не более чем счетным числом интервалов, на каждом из которых интеграл

$$\int f(x)dx$$

равен нулю (воспользовался утверждением AD - буду благодарен, если кто-нибудь подскажет, с помощью каких предельных теорем сей факт доказывается)

В решении слова типа "приблизить" лучше не употреблять: всё-таки это некий жаргон. Лучше изъясняться на старом добром языке всяких там эпсилонов, так надёжнее. И какой факт Вы имеете в виду? Если про то, что интеграл по любому измеримому множеству равен нулю, то, во-первых, как раз с помощью абсолютной непрерывности интеграла Лебега он и доказывается (нужно воспользоваться неравенством $|\int_Af\,dx-\int_Bf\,dx|\leqslant\int_{A\Delta B}|f|\,dx$), а во-вторых, если пользоваться этим фактом, то к чему тогда городить весь этот огород про приближения? Вы лучше определитесь, какой вариант доказательства Вам нравится больше: мой или AD (хотя на самом деле это по сути одно и то же доказательство).

Lister писал(а):

Однако у нас имеется всего лишь множество $e$ заданной (сколь угодно малой) меры, и разве можно утверждать что-то об ограниченности интеграла

$$|\int_e f(x)dx|$$

на этом множестве?

Эту фразу я не понял.

[darina]

А где Богачёв, "Основы теории меры"можно скачать?? Или если есть у кого-то в электронном виде можете прислать на [e-mail]!!

[AD]

darina писал(а):

А где Богачёв, "Основы теории меры"можно скачать?? Или если есть у кого-то в электронном виде можете прислать на [e-mail]!!

Да вы чё ...

Цитата:

- Ну этот Толстой и понаписаал ...
- Ты что, читал?
- Нет, ксерокопировал ...

По объему примерно сравнимо.

Еще есть книжки Сакса и Халмоша, соответственно "Теория интеграла" и "Теория меры". Сакс - не тянет на учебник, скорее для профи. Халмош - поближе к народу. Постарше и попроще Богачева, во всяком случае. Много что есть в Колмогорове-Фомине.

Добавлено спустя 8 минут 31 секунду:

Lister писал(а):

воспользовался утверждением AD - буду благодарен, если кто-нибудь подскажет, с помощью каких предельных теорем сей факт доказывается

Ну хорошо, ну что вы вообще знаете? Теоремы Б.Леви, Фату и Лебега проходили? Теорему Радона-Никодима была? Теорему Каратеодори о продолжении меры на наименьшую $\sigma$-алгебру? (можно поиграться с мерами Стилтьеса).

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

darina писал(а):

Не подскажите какие-нибудь книжки по действительному анализу с разбором задач, кроме Ульянова!!!!!!

Да, согласен, в Дьяченко--Ульянове мало задач. Вроде бы нам по задачам еще вот эту книжку советовали: Кириллов, Гвишиани Но я ее не открывал ни разу.

[Echo-Off]

AD писал(а):

darina писал(а):

А где Богачёв, "Основы теории меры"можно скачать?? Или если есть у кого-то в электронном виде можете прислать на [e-mail]!!

Да вы чё ...

Цитата:

- Ну этот Толстой и понаписаал ...
- Ты что, читал?
- Нет, ксерокопировал ...

По объему примерно сравнимо.

А что такого? В djvu оно весило бы несколько мегабайт - если бы оно было в открытом доступе.

[AD]

Ну да, наверное, просто тому, кто сканировать будет, памятник бы поставить ... Ну ладно, наверное, я в этом ничего не понимаю, и наверное, это легко делается.

[Brukvalub]

Вот очень хорошая книга: Действительный анализ в задачах. /П.Л.Ульянов, А.Н.Бахвалов, М.И.Дьяченко и др..., авт.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.-416 с. [16696]

[AD]

Ух ты, да, было что-то такое.

А у меня сейчас на полке стоит

Макаров Голузина Лодкин Подкорытов
Избранные задачи по вещественному анализу.

Ну там задачи действительно избранные - что ни штука, то шедевр.
Просто формулировки читаешь подряд - и ...

[Lister]

Всем спасибо, вроде бы, все получилось. Когда рассматривал множество, где функция не равна нулю - забыл отметить, что разделяю его на $2$ подмножества, на каждом из которых функция знакопостоянна.
По поводу определения измеримого множества - оно у нас вводилось так:
"Множество $E$ называется измеримым (по Лебегу), если $\inf_{G \supset E} (\mu *$(G\E)$)=0$; здесь точная нижняя грань берется по всевозможным открытым множествам, содержащим множество $E$. (в определении присутствует внешняя мера, но ведь для измеримого множества она из является его мерой). Собственно, от формулировки смысл не меняется.
Пытался найти книгу, которую советовал Brukvalub, через poiskknig.ru - к сожалению, безуспешно. Надеюсь, существует возможность достать это издание, не прибегая к помощи p2p-cетей.