Интеграл Лебега

[Lister]

Здравствуйте. Требуется решить следующую задачу:
Пусть функция $f(x)$ равна $x^2$ в точках канторова множества и равна $1/2^n$ на тех смежных интервалах, длина которых равна $1/3^n$. Вычислить

$$\int\limits_{0}^{1} f(x) dx$$

(интеграл Лебега).
Честно говоря, никак не могу разобраться в условии - насколько я понимаю, нужно рассматривать только то множество точек, где функция равна $1/2^n$, т.к. канторово множество имеет меру нуль, а при изменении значений интегрируемой функции на множестве нулевой меры величина интеграла сохраняется. Не совсем понятно про "смежные интервалы длины $1/3^n$". Даже не представляю, как здесь можно действовать - может быть, интеграл равен нулю? Интеграл Римана для этой функции, я так понимаю, вообще не существует, потому что множество ее точек разрыва имеет ненулевую меру?

Всем огромное спасибо за помощь!

[ewert]

Совершенно верно, канторово множество можно смело игнорировать, икс в квадрате добавлен в условие только для запугивания читателя. "Смежные интервалы" -- это какая-то чепуха; имеются в виду интервалы, постепенно выкидываемые при построении канторова множества. Надо просто выписать и просуммировать соответствующую геометрическую прогрессию (фактически она и будет интегральной суммой Лебега).

[Lister]

ewert, спасибо. Честно говоря, меня тоже смутило это понятие "смежных интервалов длины $1/3^n$". Получается, что значения функции равны $1/2^n$ на каждом интервале длины $1/3^n$, выбрасываемом при построении канторова множества, а интеграл просто равен

$$\sum\limits_{n=1}^\infty 1/2^n=1$$

?

[ewert]

Lister писал(а):

ewert, спасибо. Честно говоря, меня тоже смутило это понятие "смежных интервалов длины $1/3^n$". Получается, что значения функции равны $1/2^n$ на каждом интервале длины $1/3^n$, выбрасываемом при построении канторова множества, а интеграл просто равен

$$\sum\limits_{n=1}^\infty 1/2^n=1$$

?

ну только не "просто", конечно. А на длины-то интервалов кто умножать будет?

[Lister]

Очень стыдно за вопиющую безграмотность;

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {{2^n}\cdot {3^n}} = \frac 1 5$$

А можно ли проинтегрировать функцию по Риману, если попытаться занумеровать концы выброшенных интервалов (насколько я понимаю, что концы выброшенных интервалов являются точками разрыва подынтегральной функции), ведь число выброшенных интервалов - счетно, значит, интеграл Римана существует и равен $\frac 1 5$?

[Профессор Снэйп]

Lister писал(а):

Очень стыдно за вопиющую безграмотность;

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {{2^n}\cdot {3^n}} = \frac 1 5$$

Опять неправильно. Сколько у нас интервалов длины $1/3^n$? Разве один?

[ewert]

Lister писал(а):

А можно ли проинтегрировать функцию по Риману,

Да, можно. Функция ограничена, и множество разрывов имеет меру ноль. Насколько я помню, это -- критерий интегрируемости по Риману.

[Lister]

Если учесть число отрезков длины $\frac 1 {3^n}$, то ответ получился

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac 1 {2^n} \cdot \frac {2^{n-1}} {3^n} \right) = \frac 1 4 $$

Вроде бы, теперь верно. Всем спасибо!

[ИСН]

Подумайте также про лестницу Кантора, которая непрерывна везде, дифференцируема почти везде, производная интегрируема по Риману, но интеграл от производной тупо равен нулю (ну, константе), а функция совсем не похожа на константу.

[AD]

ewert писал(а):

"Смежные интервалы" -- это какая-то чепуха

Ничего подобного, вполне общепринятый термин. Если дано замкнутое ограниченное множество $F$ на прямой, то его дополнение $[\inf F,\sup F]\setminus F$ является открытым, и, следовательно, является объединением не более чем счетного числа непересекающихся интервалов, которые и называются "смежными интервалами множества $F$".

[Lister]

ИСН, спасибо за пример такой "лестницы" - довольно занятно.

Возник вопрос еще по одной задаче:
Пусть $f(x)$ - интегрируемая по Лебегу на $[a,b]$ функция. Доказать, что если

$$\int_{a}^{c} f(x) dx = 0$$

$\forall c \in [a,b]$, то $f(x) = 0$ почти всюду на $[a,b]$.
Честно говоря, не представляю, как ее решать. Наверное, надо предположить, что множество тех точек, где функция $ f $ отлична от нуля, имеет ненулевую меру, и путем каких-то манипуляций доказать, что в этом случае для некоторого $ c $ интеграл

$$\int_{a}^{c} f(x) dx$$

отличен от нуля. Но на какие факты или теоремы опираться при доказательстве - решительно непонятно.

Всем заранее огромное спасибо!

[RIP]

Проще всего воспользоваться теоремой о производной интеграла Лебега с переменным верхним пределом.

[Lister]

RIP, я так понимаю, что речь идет о равенстве $ \frac d {dx}$

$$\int_{a}^{x} \varphi(t) dt$$

$=\varphi(x)$ п.в., однако в нашем курсе этой теоремы пока что не было. Нет ли какого-нибудь другого способа (возможно, достаточно громоздкого, т.к. преподаватель заметил, что задача не совсем тривиальная)?

[RIP]

Другие способы, конечно, есть, но простого способа я так сразу не вижу. Теорема об абсолютной непрерывности интеграла Лебега у Вас была?

[Lister]

Да, причем дело в том, что задача дана в книге практически в самом начале изучения интеграла Лебега, и ей предшествуют лишь теорема Лебега об интегрируемости ограниченной измеримой функции, теорема о счетной аддитивности и об абсолютной непрерывности, так что, думаю, нужно ограничиться лишь ими.