Факториал как сумма двух квадратов

[Ktina]

Существует гипотеза, что если факториал натурального числа не равен 1, 2 или 720, то он не представим в виде суммы двух квадратов целых чисел.
Как бы её проверить?

[fractalon]

Так ведь чтобы быть представимым число должно содержать в каноническом разложении простые вида $4k+3$ исключительно в чётной степени. А между $\frac{n}{2}$ и $n$ (начиная с какого-то $n$) всегда будет такое простое, и оно будет входить в $n!$ с нечётной степенью 1.
Остаётся только уточнить, начиная с какого $n$ это будет так.

[Dmitriy40]

fractalon
А приведите пример хотя бы одного такого интервала $[n,\,2n], n>1$, который не содержит ни одного простого числа вида $4k+3$? Я что-то не нашёл, может неправильно искал? А если нет, то как же тогда $6! =720$?

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1229654 писал(а):

А приведите пример хотя бы одного такого интервала $[n,\,2n], n>1$, который не содержит ни одного простого числа вида $4k+3$?
...
как же тогда $6! =720$?

Это потому, что Вы программируете отрезок, а не открытый интервал. А как раз интервал $(3;6)$ не содержит простых чисел указанного вида :)

[Sender]

fractalon в сообщении #1229650 писал(а):

А между $\frac{n}{2}$ и $n$ (начиная с какого-то $n$) всегда будет такое простое, и оно будет входить в $n!$ с нечётной степенью 1.

Какое-то простое там будет, конечно. Но что мешает всем таким простым иметь вид $4k+1$?

[grizzly]

Sender в сообщении #1229683 писал(а):

Но что мешает всем таким простым иметь вид $4k+1$?

Эрдёш доказал. См. последнюю страницу (незнание венгерского не освобождает от понимания :)

-- 26.06.2017, 11:32 --

И, кстати, последний раз эта задача обсуждалась на форуме здесь.

[Sender]

grizzly, понятно, спасибо.

[Ktina]

grizzly в сообщении #1229700 писал(а):

(незнание венгерского не освобождает от понимания :)

(Простите за оффтопик)

35 падежей?! Ну уж нет, увольте! Мне бы с арабским справиться, в котором всего три падежа.
С другой стороны, хотелось бы свободно владеть языками, этак, двадцатью. Только, как говорится, видит око, да мозг не ймёт.

[fractalon]

Sender в сообщении #1229683 писал(а):

Но что мешает всем таким простым иметь вид $4k+1$?

Теорема Дирихле о равномерном распределение простых по любому модулю.

[Sender]

fractalon в сообщении #1229815 писал(а):

Теорема Дирихле о равномерном распределение простых по любому модулю.

Это-то тут каким боком?