2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение24.06.2017, 15:32 
Аватара пользователя
Существует гипотеза, что если факториал натурального числа не равен 1, 2 или 720, то он не представим в виде суммы двух квадратов целых чисел.
Как бы её проверить?

 
 
 
 Re: Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение26.06.2017, 00:44 
Так ведь чтобы быть представимым число должно содержать в каноническом разложении простые вида $4k+3$ исключительно в чётной степени. А между $\frac{n}{2}$ и $n$ (начиная с какого-то $n$) всегда будет такое простое, и оно будет входить в $n!$ с нечётной степенью 1.
Остаётся только уточнить, начиная с какого $n$ это будет так.

 
 
 
 Re: Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение26.06.2017, 01:12 
fractalon
А приведите пример хотя бы одного такого интервала $[n,\,2n], n>1$, который не содержит ни одного простого числа вида $4k+3$? Я что-то не нашёл, может неправильно искал? А если нет, то как же тогда $6! =720$?

 
 
 
 Re: Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение26.06.2017, 09:49 
Аватара пользователя
Dmitriy40 в сообщении #1229654 писал(а):
А приведите пример хотя бы одного такого интервала $[n,\,2n], n>1$, который не содержит ни одного простого числа вида $4k+3$?
...
как же тогда $6! =720$?
Это потому, что Вы программируете отрезок, а не открытый интервал. А как раз интервал $(3;6)$ не содержит простых чисел указанного вида :)

 
 
 
 Re: Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение26.06.2017, 10:20 
fractalon в сообщении #1229650 писал(а):
А между $\frac{n}{2}$ и $n$ (начиная с какого-то $n$) всегда будет такое простое, и оно будет входить в $n!$ с нечётной степенью 1.

Какое-то простое там будет, конечно. Но что мешает всем таким простым иметь вид $4k+1$?

 
 
 
 Re: Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение26.06.2017, 11:25 
Аватара пользователя
Sender в сообщении #1229683 писал(а):
Но что мешает всем таким простым иметь вид $4k+1$?
Эрдёш доказал. См. последнюю страницу (незнание венгерского не освобождает от понимания :)

-- 26.06.2017, 11:32 --

И, кстати, последний раз эта задача обсуждалась на форуме здесь.

 
 
 
 Re: Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение26.06.2017, 11:44 
grizzly, понятно, спасибо.

 
 
 
 Re: Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение26.06.2017, 14:30 
Аватара пользователя
grizzly в сообщении #1229700 писал(а):
(незнание венгерского не освобождает от понимания :)

(Простите за оффтопик)

35 падежей?! Ну уж нет, увольте! Мне бы с арабским справиться, в котором всего три падежа.
С другой стороны, хотелось бы свободно владеть языками, этак, двадцатью. Только, как говорится, видит око, да мозг не ймёт.

 
 
 
 Re: Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение26.06.2017, 17:06 
Sender в сообщении #1229683 писал(а):
Но что мешает всем таким простым иметь вид $4k+1$?

Теорема Дирихле о равномерном распределение простых по любому модулю.

 
 
 
 Re: Факториал как сумма двух квадратов
Сообщение26.06.2017, 18:15 
fractalon в сообщении #1229815 писал(а):
Теорема Дирихле о равномерном распределение простых по любому модулю.

Это-то тут каким боком?

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group