Доказательство Уайлса и "равенство Ферма"

[krestovski]

Отделено от прилепленной темы Доказательство Уайлса. / GAA

Нужна помощь.
Вопросы участникам форума:
- Где в доказательстве Уайлса приводится равенство Ферма? - По возможности указать страницу.
- Как с помощью доказательства Уайлса выполнить основное требование настоящего форума? - "Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3".
Заранее благодарен.

[grizzly]

krestovski в сообщении #1227808 писал(а):

- Где в доказательстве Уайлса приводится равенство Ферма? - По возможности указать страницу.

Главное -- в формулировке теоремы на стр. cxxxiii -- в "книжке для студентов" по последней ссылке одного из предыдущих сообщений.
Само доказательство там строится от противного в предположении, что выполнены условия теоремы.

krestovski в сообщении #1227808 писал(а):

- Как с помощью доказательства Уайлса выполнить основное требование настоящего форума?

Внимательно проштудировать доказательство до его глубокого понимания. Понять, какие выкладки могут быть существенно упрощены в случае $n=3$, представить этот случай с максимально понятными упрощёнными выкладками.

PS. Я не ферматист, доказательство просмотрел бегло в первый раз (только с целью ответить на поставленные вопросы), могу в чём-то ошибаться.

[Someone]

krestovski в сообщении #1227808 писал(а):

- Где в доказательстве Уайлса приводится равенство Ферма? - По возможности указать страницу.

Собственно, Уайлс доказывал не теорему Ферма как таковую, а некую гипотезу из теории эллиптических кривых. Ещё до Уайлса было известно, что из этой гипотезы следует теорема Ферма. Поэтому в его работе равенство $x^n+y^n=z^n$ может отсутствовать (я этого не проверял; никто не мог запретить ему написать это равенство в своей статье).

krestovski в сообщении #1227808 писал(а):

- Как с помощью доказательства Уайлса выполнить основное требование настоящего форума? - "Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3".

А зачем, собственно говоря? Вы же своё доказательство собираетесь излагать. Вот его и требуется аккуратно выписать для третьей степени. Именно своё, а не чужое, взятое из какой-нибудь книги. Если ваше доказательство для третьей степени не проходит, излагайте для наименьшей возможной степени, точно указав место, в котором что-то нарушается для меньших степеней.

[venco]

Если я правильно помню, в доказательстве Уайлса вообще $n\ge 5$, а случаи $n=3$ и $n=4$ в конце упоминаются как уже доказанные.

[krestovski]

Someone, благодарю за ответы на поставленные вопросы.
Ответ на первый вопрос оставлю без комментариев. На втором остановимся на время.
Я прекрасно понимаю, что для случая $n=3$ и $n=4$ доказательства были представлены до Уайлса. И, если я правильно понял Эндрю Уайлса, то он как раз и отсылает читателей к этим ранее сделанным доказательствам, а сам выстраивает свои рассуждения начиная со случая $n=5$. Таким образом, общее или единое доказательство ВТ Ферма на данный момент отсутствует, а есть три независимых доказательства для разных показателей степеней, о которых я сказал ранее.
Мой вопрос возник не на пустом месте. Его я задал только по той причине, что, как верно подметил grizzly, для того чтобы ответить на него, нужно

grizzly в сообщении #1227843 писал(а):

Внимательно проштудировать доказательство до его глубокого понимания. Понять, какие выкладки могут быть существенно упрощены в случае $n=3$, представить этот случай с максимально понятными упрощёнными выкладками.

- А вот таких математических работ, и даже намёков на существование подобных, с момента опубликования доказательства Уайлса или пусть даже с момента признания его доказательства верным, я в математической литературе не встречал.
Вот и возник вопрос: Охватывает ли доказательство Уайлса все показатели степени, ведь он, Уайлс, получал и получает математические премии за доказательство теоремы Ферма, но ни где, ни разу, я не встретил оговорку или уточнение, что доказательство не полностью соответствует условию, которое оговорил Ферма. А если соответствует, то уже надо было бы и для первых двух случаев применить доказательство. Это ведь математика а не религия, в ней на веру ничего не принимают.
И потом, Вы верно заметили, что ещё до Уайлса было предположение, что из некой гипотезы(!) из теории эллиптических кривых следует гипотеза(!) Ферма. Мы ведь понимаем разницу... что такое гипотеза, лемма, теорема, аксиома... и почему они так называются и как переходят в другую категорию...
Ведь теорема, - это утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство. А к какому разделу математики относится равенство Ферма? - К тому, который начал формироваться при его жизни.
Поправьте если я не прав. Только спокойно, без намёков, что я хочу тут опубликовать своё доказательство. Мне просто нужна ваша помощь, чтобы разобраться в существующем положении дел. Вы ведь этим не первый год занимаетесь.

[Someone]

krestovski в сообщении #1228172 писал(а):

Я прекрасно понимаю, что для случая $n=3$ и $n=4$ доказательства были представлены до Уайлса. И, если я правильно понял Эндрю Уайлса, то он как раз и отсылает читателей к этим ранее сделанным доказательствам, а сам выстраивает свои рассуждения начиная со случая $n=5$. Таким образом, общее или единое доказательство ВТ Ферма на данный момент отсутствует, а есть три независимых доказательства для разных показателей степеней, о которых я сказал ранее.

Не понял претензию. Давайте объединим всё в одну теорему. Формулировка теоремы, естественно, стандартная и даётся сразу для всех степеней с показателем $n\geqslant 3$. А в доказательстве пишем:
а) Доказательство для $n=3$.
б) Доказательство для $n=4$.
в) Доказательство для всех простых $n\geqslant 5$.
г) Доказательство для всех составных $n\geqslant 6$.

Самый трудный случай у нас в), самый простой, по существу тривиальный — г). В чём проблема?

krestovski в сообщении #1228172 писал(а):

А вот таких математических работ, и даже намёков на существование подобных, с момента опубликования доказательства Уайлса или пусть даже с момента признания его доказательства верным, я в математической литературе не встречал.

А они нафиг никому не нужны, кроме Вас. Вы этим и занимайтесь. Только зачем стрелять по одному воробью из "Доры"? Его из рогатки можно подбить.

krestovski в сообщении #1228172 писал(а):

И потом, Вы верно заметили, что ещё до Уайлса было предположение, что из некой гипотезы(!) из теории эллиптических кривых следует гипотеза(!) Ферма.

Извините, я не писал "предположение". До Уайлса было доказано, что теорема Ферма (ну, может быть, для простых степеней $n\geqslant 5$, я тут не в курсе) следует из упомянутой гипотезы. Уайлс непосредственно доказывал именно эту гипотезу (кажется, не в полном объёме, но в достаточной общности, чтобы из доказанного выводилась теорема Ферма). В чём проблема?

krestovski в сообщении #1228172 писал(а):

Ведь теорема, - это утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство. А к какому разделу математики относится равенство Ферма? - К тому, который начал формироваться при его жизни.

Собственно, по современной классификации формулировка теоремы Ферма относится к арифметике (в формализованном виде — к арифметике Пеано). Однако доказательства средствами арифметики Пеано пока никто не нашёл, и такое доказательство вполне может оказаться невозможным либо настолько длинным, что никто и никогда не сможет его выписать. Однако математики не стесняются привлекать для доказательства нужной теоремы более сильные теории.

krestovski в сообщении #1228172 писал(а):

Только спокойно, без намёков, что я хочу тут опубликовать своё доказательство.

Да публикуйте, если оно у Вас есть. Это никому не запрещается, только правила соблюдайте. Вон даже специальный раздел создали.

[krestovski]

В итоге получается, что есть основания считать, что сам Ферма получил равенство априори. И, кроме этого, велика вероятность того, что утверждение и само равенство Ферма являются наглядным примером первой теоремы Гёделя о неполноте. Если конечно формальная арифметика непротиворечива (разумеется помня о доказательстве Генцена). Ведь и Курт Гёдель и Джузеппе Пеано жили гораздо позже Пьера Ферма, а потому знали и об утверждении Ферма и о проблемах Гильберта.
Но, в таком случае, вероятно остаётся один вариант: если доказательство в рамках арифметики Пеано всё же существует, то оно должно одновременно решить обе проблемы, - дать однозначный ответ на утверждение Ферма и, одновременно, на гипотезу Била.
Спасибо за потраченное время, Someone, - полностью удовлетворён.

[пианист]

krestovski в сообщении #1228208 писал(а):

В итоге получается, что есть основания считать, что сам Ферма получил ..

О том, что достоверно известно по поводу Ферма и обсуждаемой теоремы, рекомендую ознакомиться вот в этой теме: topic111084.html

[Someone]

krestovski в сообщении #1228208 писал(а):

В итоге получается, что есть основания считать, что сам Ферма получил равенство априори.

В "итоге" ничего подобного не получается. Из моих слов такой вывод сделать нельзя; из тех документов, которые оставил Ферма, и которые сейчас известны, такой вывод тоже никак не следует. Всё, что есть по поводу Великой теоремы Ферма в этих документах — это доказательство для четвёртой степени методом (бесконечного) спуска и упоминания в письмах теоремы для третьей степени, в которых Ферма предполагает, что её тоже можно было бы доказать методом спуска. При этом задача для третьей степени была известна задолго-задолго до Ферма.

krestovski в сообщении #1228208 писал(а):

И, кроме этого, велика вероятность того, что утверждение и само равенство Ферма являются наглядным примером первой теоремы Гёделя о неполноте.

Само по себе равенство $x^n+y^n=z^n$, понимаемое как формула формального языка арифметики c четырьмя свободными переменными, является ложным, поскольку свободные переменные по умолчанию интерпретируются так, будто на них "навешены" кванторы всеобщности (то есть, это равенство понимается как $\forall n\forall x\forall y\forall z(x^n+y^n=z^n)$). Теорему Ферма на формальном языке можно было бы сформулировать как

$$\forall n((n>2)\Rightarrow\neg(\exists x\exists y\exists z((x\neq 0)\wedge(y\neq 0)\wedge(z\neq 0)\wedge(x^n+y^n=z^n)))).$$

Здесь есть ещё засада, связанная с формальным языком арифметики Пеано, в котором нет констант, кроме $0$, нет неравенств и степеней, поэтому вместо $a>b$ надо писать, например, $\exists c(a=b+c')$, где "$c'$" обозначает "следующее число", то есть, $c+1$, вместо $1$ и $2$ пишем, соответственно, $0'$ и $0''$, вместо $a\neq b$ — $\neg(a=b)$, а степень определяется с помощью системы (полиномиальных) уравнений, о которой я знаю, что она существует, но никогда её в полностью написанном виде не видел. Правда, можно получить консервативное расширение языка арифметики, введя нужные символы и обозначения и определив их соответствующим образом. Тогда можно будет писать формулы в привычном виде (ну, мы их и пишем так, как нам удобно и привычно).

krestovski в сообщении #1228208 писал(а):

Ведь и Курт Гёдель и Джузеппе Пеано жили гораздо позже Пьера Ферма, а потому знали и об утверждении Ферма и о проблемах Гильберта.

Аксиомы Пеано были сформулированы на 10 лет раньше, чем проблемы Гильберта. Что касается теорем Гёделя, то я не думаю, что теорема Ферма хотя бы в микроскопической степени повлияла на работу Гёделя. Гёделя мотивировала скорее программа Гильберта по обоснованию математики.

krestovski в сообщении #1228208 писал(а):

Но, в таком случае, вероятно остаётся один вариант: если доказательство в рамках арифметики Пеано всё же существует, то оно должно одновременно решить обе проблемы, - дать однозначный ответ на утверждение Ферма и, одновременно, на гипотезу Била.

Не вижу никаких оснований для такого утверждения.

krestovski в сообщении #1228208 писал(а):

Спасибо за потраченное время, Someone, - полностью удовлетворён.

Ввиду сказанного выше думаю, что время я трачу зря.

[krestovski]

Someone в сообщении #1228319 писал(а):

Ввиду сказанного выше думаю, что время я трачу зря.

Если вы так считаете, то для чего столько написали?
К тому же, есть небольшое замечание, - проблемы, которые Гильберт озвучил в своей речи, - были известны ещё до публикации аксиом Пеано. Подобные ремарки и замечания годятся для непосвящённых в математическую "кухню"... - Вы же понимаете разницу между понятиями "держать руку на пульсе" и "известить общественность через прессу"...
Я с вами откровенно, а Вы мне лекции как студенту начинаете читать...

[Someone]

krestovski в сообщении #1229024 писал(а):

Если вы так считаете, то для чего столько написали?

Да так, тягу к просветительству ощущаю. Пусть Вы это проигнорируете (я же вижу, что Вы фанат Пьера Ферма), но кому-то это может быть полезно.

krestovski в сообщении #1229024 писал(а):

есть небольшое замечание, - проблемы, которые Гильберт озвучил в своей речи, - были известны ещё до публикации аксиом Пеано.

Ну и что? Я в курсе, что Гильберт не придумал эти проблемы, а собрал и озвучил те задачи, решение которых, по мнению Гильберта, в большой степени способствовало бы развитию математики. Теоремы Ферма среди них нет. Есть проблема доказательства непротиворечивости аксиом арифметики (вероятно, имеется в виду аксиоматика Пеано), но нет проблемы построения аксиоматики арифметики, поэтому непонятно, какое влияние на Пеано могли оказать проблемы Гильберта.

krestovski в сообщении #1229024 писал(а):

Я с вами откровенно, а Вы мне лекции как студенту начинаете читать...

Я понятия не имею, кто Вы, но я же вижу ваш уровень…

krestovski в сообщении #1227808 писал(а):

- Где в доказательстве Уайлса приводится равенство Ферма? - По возможности указать страницу.

Я посмотрел работу Уайлса. Теорема Ферма у него сформулирована на странице 448 (теорема 0.5).

SomePupil в сообщении #1227813 писал(а):

Представил, как наши модераторы в реале встречаются с Уайлсом и просят его выполнить это требование.

Я не стал бы публиковать свою статью на форуме. Думаю, что Уайлс тоже не стал бы это делать. Для публикации научных статей предназначены научные журналы соответствующего профиля.

Другое дело, что я могу написать что-то похожее на небольшую научную статью специально для форума в качестве ответа на какой-то вопрос.

[krestovski]

Someone в сообщении #1229053 писал(а):

Да так, тягу к просветительству ощущаю.

Someone в сообщении #1229053 писал(а):

Я понятия не имею, кто Вы, но я же вижу ваш уровень…

Ну и поскольку Вы готовы

Someone в сообщении #1229053 писал(а):

написать что-то похожее на небольшую научную статью специально для форума в качестве ответа на какой-то вопрос.

то у меня такой вопрос имеется:
- Как с помощью доказательства Уайлса явно выписать доказательство для случая $n=5$? - Ну поскольку он, Уайлс, отмежевался от случаев $n=3$ и $n=4$.
Только явно выписать доказательство, пользуясь работой Уайлса, а не ссылаясь на работы, которые никто не видел... не просто голословно произнося, что кто-то когда то установил связь и зависимость... кто-то доказал... - именно тут, на форуме это сделать можете? В качестве просветительства... ведь это полезно кому то будет...
Может в этом проблема? - Вы ищете ошибки в рассуждениях других, а сами ничего не предлагаете... кроме просветительства, а не образования...
Флаг Вам в руки! Покажите недотёпам-ферматистам, как надо.
Кто там сказал про доказательство, что оно должно быть таким, чтобы было понятно первому встречному? - Помнится мне, что это не проходимец-ферматист сказал...
Ждём

Someone в сообщении #1229053 писал(а):

что-то похожее на небольшую научную статью специально для форума в качестве ответа на какой-то вопрос.

Вопрос конкретный: Как с помощью доказательства Уайлса явно выписать доказательство для случая $n=5$?
Только явно!!! - Чтобы и школьнику было понятно.

-- 28.06.2017, 23:54 --

Только, Someone, реагируйте спокойно... - я попробовал. - у меня не получилось... вот обратился к Вам...

[Sender]

Кстати, для $n=4$ это уже проделано. В других системах, к примеру, в Isabelle, имеется и формальное доказательство для $n=3$.

[Someone]

krestovski в сообщении #1230365 писал(а):

Как с помощью доказательства Уайлса явно выписать доказательство для случая $n=5$?

Поскольку Уайлс доказывает не теорему Ферма, а гипотезу Таниямы — Шимуры, то степень уравнения $x^n+y^n=z^n$ никаким способом в доказательстве Уайлса не присутствует. Поэтому просто переписываем всю статью.

krestovski в сообщении #1230365 писал(а):

Ну поскольку он, Уайлс, отмежевался от случаев $n=3$ и $n=4$.

Это ограничение указано в статье Рибета, стр. 432, в которой доказывается гипотеза Фрея.

-- Чт июн 29, 2017 12:02:29 --

krestovski в сообщении #1230365 писал(а):

Вы ищете ошибки в рассуждениях других, а сами ничего не предлагаете... кроме просветительства, а не образования...

За образованием обращайтесь к учебникам.
Что касается моих предложений, то я не вижу в них никакого смысла. Теорема уже доказана, а если я вдруг найду существенно более простое доказательство, то я его буду публиковать не на форуме, а в соответствующем математическом журнале.

Не говоря уже о том, что теоремой Ферма я всегда интересовался исключительно из любопытства и ввиду её скандальной известности. Она весьма далека от той области математики, которая меня интересует профессионально, поэтому никакими исследованиями, связанными с теоремой Ферма, я не занимался и не занимаюсь.

Что касается поиска ошибок, то это та же просветительская деятельность. К сожалению, соискатели славы в подавляющем большинстве абсолютно невосприимчивы к объяснениям их ошибок. Чаще всего они даже не понимают, в чём состоит ошибка.

[krestovski]

Опаньки..... в отдельную тему выделили.... за что такая честь?....

-- 30.06.2017, 00:20 --

Ну хорошо..... поговорим....

-- 30.06.2017, 00:34 --

Someone в сообщении #1227851 писал(а):

Ещё до Уайлса было известно, что из этой гипотезы следует теорема Ферма. Поэтому в его работе равенство $x^n+y^n=z^n$ может отсутствовать

Someone в сообщении #1228190 писал(а):

До Уайлса было доказано, что теорема Ферма (ну, может быть, для простых степеней $n\geqslant 5$, я тут не в курсе) следует из упомянутой гипотезы.

Someone в сообщении #1229053 писал(а):

Я посмотрел работу Уайлса
. Теорема Ферма у него сформулирована на странице 448 (теорема 0.5).

Someone в сообщении #1230427 писал(а):

Поскольку Уайлс доказывает не теорему Ферма, а гипотезу Таниямы — Шимуры, то степень уравнения $x^n+y^n=z^n$ никаким способом в доказательстве Уайлса не присутствует.

Давайте для начала определимся, - в доказательстве Уайлса присутствует равенство Ферма или нет? - В явном виде... а не в форме якобы равнозначных равенств...
Кто и что там считает, кто что доказывает.... - меня не особо интересует.... - единого доказательства не существует. Это факт и Вы его подтвердили!
Так что, простой вопрос: равенство Ферма в явном виде присутствует или нет в доказательстве Уайлса? - Если Вы не дилетант в математике, то понимаете, что я веду к одному, - необходимо единое доказательство или математики современности расписываются в своей некомпетентности и беспомощности и принимают за доказательство простейшего равенства 4(!) независимых доказательства???
Кстати.... - приведите подобный пример из истории математики, когда подобное было принято и имело место.... - 4 за одно....