Что такое ряд?

[Munin]

mihaild в сообщении #1228545 писал(а):

Тогда встает вопрос - имеет ли вообще какой-то формальный смысл понятие "ряд"? Не "сумма/сходимость/член/... ряда", а именно просто "ряд" (сферический в вакууме)?

А чем вам не нравится предложение "пара последовательностей"? Я вот всё никак не пойму.

[Tiberium]

Munin в сообщении #1228553 писал(а):

mihaild в сообщении #1228545 писал(а):

Тогда встает вопрос - имеет ли вообще какой-то формальный смысл понятие "ряд"? Не "сумма/сходимость/член/... ряда", а именно просто "ряд" (сферический в вакууме)?

А чем вам не нравится предложение "пара последовательностей"? Я вот всё никак не пойму.

А я вот несколько раз прочитал первое сообщение темы, но так и не понял, в чем проблема с тем, как последовательность и ряд определены в известных учебниках по математическому анализу.

[mihaild]

Munin в сообщении #1228553 писал(а):

А чем вам не нравится предложение "пара последовательностей"?

Избыточностью и необобщаемостью, например, на суммирование по $\mathbb{Z}$.

-- 22.06.2017, 22:48 --

Tiberium в сообщении #1228557 писал(а):

в чем проблема с тем, как последовательность и ряд определены в известных учебниках по математическому анализу

В том, что непонятно, что такое "символ".

[Tiberium]

mihaild в сообщении #1228560 писал(а):

В том, что непонятно, что такое "символ".

Какая-то лингвистическая претензия.
https://en.wikipedia.org/wiki/Summation (Summation symbol - capital Greek sigma symbol)

Возьмем популярный зарубежный calculus-учебник,например, Апостола:


Везде используется слово "символ".

[mihaild]

Tiberium, в процитированном вами определении, ряд определяется как последовательность частичных сумм, и обозначается каким-то образом. Это совершенно не то же самое, что определять его как символ.

[Munin]

mihaild в сообщении #1228560 писал(а):

Избыточностью и необобщаемостью, например, на суммирование по $\mathbb{Z}$.

А где вы видели ряды, обобщённые на суммирование по $\mathbb{Z}$?

(На самом деле, складываете $\mathbb{Z}$ вдвое, и рассматриваете такие ряды как обычные, вся теория абсолютной сходимости и знакопеременности вам на стол.)

В любом случае, это вопрос далеко не уровня начальных учебников, с которых началось обсуждение. Так что повторю вопрос: чем вас не устраивает такое понимание рядов на начальном уровне?

mihaild в сообщении #1228573 писал(а):

Это совершенно не то же самое, что определять его как символ.

То есть, определение как "последовательность частичных сумм" вас устраивает, и не устраивает только та небрежность, с которой авторы нескольких учебников называют определением обозначение, а само определение вводят двумя сантиметрами ниже?

[Someone]

mihaild в сообщении #1228545 писал(а):

я себе представляю именно последовательность. Потому что если думать сразу о сумме, то становится сложно понимать, что такое перестановка членов.

Тут есть та проблема, что термин "сумма" применяется к двум разным вещам: к последовательности символов "$a_1+a_2+a_3$" и к результату сложения чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$. "Формальная сумма" — это как раз последовательность символов со знаками сложения. Вовсе не результат сложения, который может и не существовать. И я не верю, что, встретив термины "последовательность" и "ряд", Вы думаете об одном и том же.

mihaild в сообщении #1228545 писал(а):

Про "сумму" не говорили, про "сходимость" говорили:

Да, говорил. Если термины "ряд" и "последовательность" — синонимы, то пара высказываний "последовательность сходится" и "ряд расходится" противоречат друг другу.

mihaild в сообщении #1228545 писал(а):

Тогда встает вопрос - имеет ли вообще какой-то формальный смысл понятие "ряд"? Не "сумма/сходимость/член/... ряда", а именно просто "ряд" (сферический в вакууме)?

А на формальном уровне никакого смысла нет вообще, смысл — это интерпретация. Кстати, остальные упомянутые Вами термины нисколько не лучше. Что такое "просто" сумма, "просто" сходимость и т.п.? Они тоже "сферические в вакууме".

mihaild в сообщении #1228560 писал(а):

Избыточностью и необобщаемостью, например, на суммирование по $\mathbb{Z}$.

Избыточность — да, но Кудрявцев явно считает, что ряд должен чем-то отличаться от последовательности. Не зря же для него используется другое обозначение, нежели для последовательности. А претензия по поводу необобщаемости… Почему Вы считаете, что определение должно быть универсальным, годным на все случаи жизни, даже на те, которые возникнут через пару тысячелетий?

И ещё раз повторю: я не даю формального определения ряда. Меня не волнуют различия между объектами и их обозначениями. Мне нужно, чтобы студенты поняли, что такое ряд. Если я начну определять ряд как четвёрку чего-то там, то за всеми этими нагромождениями и тонкостями они не поймут.

[mihaild]

Munin в сообщении #1228580 писал(а):

А где вы видели ряды, обобщённые на суммирование по $\mathbb{Z}$?

Ряд Лорана, например. Или ряд Фурье в комплексной форме.

Посмотрел внимательнее, обнаружил у Зорича примечание:

Цитата:

Таким образом, на самом деле под рядом мы подразумеваем упорядоченную пару последовательностей $(\{a_n, s_n\})$...

ИМХО писать "определение", а потом в примечании писать "а на самом деле определение такое" - как минимум нехорошо.

[arseniiv]

mihaild в сообщении #1228560 писал(а):

Избыточностью и необобщаемостью, например, на суммирование по $\mathbb{Z}$.

С этим должно (же?) справиться определение Кудрявцева, записанное Padawan.

Munin в сообщении #1228580 писал(а):

В любом случае, это вопрос далеко не уровня начальных учебников, с которых началось обсуждение.

Я думаю, учебники такого уровня были приведены просто в пример. Вроде mihaild не писал, что определение должно быть уместно помещаемым в подобном учебнике, и что его должно быть можно объяснить на первом курсе. (Так что ветка обсуждения этого вопроса меня немного удивляет.)

mihaild в сообщении #1228589 писал(а):

ИМХО писать "определение", а потом в примечании писать "а на самом деле определение такое" - как минимум нехорошо.

По-моему, тоже должно быть наоборот: в пояснении «что это значит», а в определении поточнее. Или сделать какое-нибудь предварительное определение на время, а потом это.

[mihaild]

Someone в сообщении #1228583 писал(а):

Что такое "просто" сумма, "просто" сходимость и т.п.?

Ничто. Но и определение просто суммы и просто сходимости в учебниках никто не приводит (и на экзамене не спрашивает). А просто ряда - приводят и спрашивают.

Someone в сообщении #1228583 писал(а):

И ещё раз повторю: я не даю формального определения ряда.

А в экзаменационных вопросах есть пункт "определение ряда"?

Вообще, тема оказалась благодатной для ухода во все стороны. Изначальный вопрос был "можно ли как-то формализовать определение "ряд - это символ"", не выкидывая "символ". Видимо, нет (по крайней мере кажется никто не привел определение или идей, как это сделать). Как формализовывать любое конкретное утверждение про ряды - понятно.

[arseniiv]

Ну, «символ» можно понимать как элемент некоторого фиксированного «множества символов». Именно не выходя в язык, на котором мы описываем теорию, прямо в ней. И термы составлять прям там из таких символов, и утверждения о них так же будут не метаутверждениями. Но равенство, где слева обозначение ряда, а справа сумма ряда, придётся всё равно понимать как сокращение, так же как записи с $o(f)$ где-то там в равенстве или вообще внутри выражения. Так же как с формальными суммами, линейными комбинациями и прочим — на деле это кортежи или функции какие-нибудь, и здесь этому аналогичны определения «без символа», но можно нарисовать и терм как тот же кортеж, просто работать с ним будет менее удобно. Нет, мне будет проще уйти в мир изощрённых сокращений.

[Munin]

mihaild в сообщении #1228607 писал(а):

А в экзаменационных вопросах есть пункт "определение ряда"?

Правда, что ли? В каком вузе?

(Я полагаю, что если такой пункт в экзаменационных вопросах и появится, то от слишком большой снисходительности преподавателя к студентам. Достаточно из лекций зазубрить и воспроизвести. Настоящие экзаменационные вопросы не могут быть покрыты зубрёжкой.)

mihaild в сообщении #1228607 писал(а):

Изначальный вопрос был "можно ли как-то формализовать определение "ряд - это символ""

Ну спасибо, наконец-то объяснили!

В такую дурацкую тему я бы и не полез.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1228616 писал(а):

Ну спасибо, наконец-то объяснили!

Не скажите, я вот сразу понял.

[Padawan]

Определение ряда как формальной суммы членов последовательности само по себе бессмысленно, если мы не рассматриваем его вместе с определениями сходимости и суммы ряда. Поэтому слово ряд - это указатель на то, какие действия мы будем выполнять с данной последовательностью. Это как тип данных в программировании.

-- Пт июн 23, 2017 09:54:03 --

Об этом сказали уже

Anton_Peplov в сообщении #1228415 писал(а):

"Ряд" - последовательность, которую мы сейчас будем суммировать. "Ряд сходится" - эта сумма конечна. "Бесконечное произведение" - последовательность, которую мы сейчас будем перемножать. "Произведение сходится" - в результате перемножения получается число, а не бесконечность.

-- Пт июн 23, 2017 10:03:26 --

Someone в сообщении #1228527 писал(а):

Извините, Вы сами, когда думаете о числовом ряде, представляете себе сумму бесконечной последовательности чисел или четвёрку?

Я представляю и последовательность и способ её суммирования, что и формализовано в этом определении.

Я уже писал, что студентов таким общим определением грузить не стоит. Под него подпадают все случаи суммирования бесконечного количества слагаемых. А оно им надо?

[beroal]

В принципе эти бесконечные выражения, включая ряды, можно формализовать. Как выражение формально есть абстрактное синтаксическое дерево в математической логике и универсальной алгебре, так бесконечное формальное выражение есть бесконечное дерево. Но я уверен, что игра не стоит свеч, потому что это определение сложнее, чем определение с помощью последовательности или семейства.

Определение. Ряд есть последовательность с повешенным на неё ярлыком «ряд».

Таким образом ряд отличается от последовательности, и можно дать термину «последовательность сходится» одно определение, а термину «ряд сходится» — другое. Однако я бы предпочёл, чтобы математики отказались от термина «ряд» вообще, но это потребует перестройки терминологии и обозначений. Вместо «ряд сходится» будет «последовательность суммируема» и так далее.

mihaild, я думаю, что проблема не логическая, а социальная. Принято использовать термин «ряд» и принято давать ему невнятное определение, которое не поймёшь и не научишься использовать без практики. Просто традиция, инерция и давление среды. Если будете писать учебник, напишете по-новому.

По-моему, хороший вопрос. Предлагаю приклепать его наверху.