Вопрос о геометрии пространства-времени

[Munin]

koloden в сообщении #1228189 писал(а):

Я всего лишь имел в виду, что одни и те же эффекты можно описывать с помощью разных абстракций

Не-а. Почти нельзя. В любом случае, то, что вы предлагаете - давно известный велосипед с квадратными колёсами. Его изобретают все подряд, и он не едет.

Проблема только в том, что такого изобретателя очень трудно переубедить сесть на нормальный велосипед с круглыми колёсами. Потому что этот-то с квадратными он изобрёл сам, и поэтому он его очень сильно любит. Даже несмотря на то, что тот не едет. И несмотря на то, что это велосипед.

Если вам интересна СТО и природа - вы пересядете на нормальный велосипед. А если интересно только потешить своё самодовольство - то заканчивайте этот разговор и идите в другое место.

[arseniiv]

koloden в сообщении #1228189 писал(а):

Я всего лишь имел в виду, что одни и те же эффекты можно описывать с помощью разных абстракций, и, как мне кажется, не во всех из них обязано фигурировать псевдоевклидово пространство.

Ну, есть такая вещь как эквивалентные формулировки или изоморфные структуры. Ни одно псевдоевклидово пространство, к сожалению, не изоморфно ни одному евклидовому как линейное пространство с квадратичной формой — вот если бы квадратичную форму не добавлять — пожалуйста, но она нужна для описания физики (случай одномерного пространства (в качестве пространства-времени это одна единственная пространственная точка, существующая во времени — весьма скучно) я не учитываю, там они действительно совпадают).

Всё равно для более содержательных теорий потребуется куда больше математики. Нет никакой пользы не разобраться с псевдоевклидовым пространством. Кроме того, вы не можете быть уверены в эквивалентности двух вещей, пока не рассмотрите обе, а не просто посравниваете некоторые, притом качественные, их свойства. Сравнивая качественно, можно вполне убедить себя, что целые, рациональные, вещественные и комплексные числа ничем друг от друга не отличаются: а что, складывать можем, умножать можем, ноль есть, единица есть — вон уже сколько совпадений набралось!

[Mikhail_K]

koloden в сообщении #1228189 писал(а):

Объекты A и B начали движение из начала координат. Для объекта A ось X является "пространством", ось T - "временем". Для объекта B, соответственно, X' и T'. На картинке оба объекта прошли расстояние в 6 единиц вдоль своих осей T/T', т.е. для них прошло 6 единиц времени. При этом объект B удалялся от объекта A вдоль его оси X со скоростью v = 0.7. Если спроецировать объект B на оси объекта A, то получим, каким "воспринимается" объект B в пространстве-времени объекта A. Т.е. объект А "видит" объект B укороченным и отставшим во времени в $1 / \sqrt{1 - v^2}$ раз. Такую же картину будет "видеть" объект B в своем пространстве-времени. Если же объект B развернется и полетит обратно к A, то в момент встречи в пространстве X, будет находиться ниже по оси T, т.е. окажется, что B будет моложе A.

Если говорить про Ваш рисунок. У Вас здесь несколько ошибок, и они как бы компенсируют друг друга и получается что-то правдоподобное (но всё равно не верное). Я не вижу, как на Вашем рисунке отражено, что $v=0.7$. Я не вижу, как из Вашего рисунка получилось, что сокращение размеров и замедление времени идёт в $1/\sqrt{1-v^2}$ раз (это и не может получиться при евклидовом повороте как у Вас).

Ось $T^\prime$ ("мировая линия" тела $B$), по идее, должна ведь иметь уравнение $X=vT$ в первой системе координат, да? Так что у Вас как раз нарисован случай, когда $v=1$ или $v\approx 1$. Уже из этого видно, что замедление в $1/\sqrt{1-v^2}$ у Вас из картинки получиться не может (в настоящей теории относительности этот случай соответствует $v=c$, и "поворачивать на такой угол просто нельзя").

Далее, если Вы приглядитесь, то заметите, что у Вас время на движущихся телах не замедляется, а ускоряется (что не соответствует реальности). Ваши слова

koloden в сообщении #1228189 писал(а):

Если же объект B развернется и полетит обратно к A, то в момент встречи в пространстве X, будет находиться ниже по оси T, т.е. окажется, что B будет моложе A.

свидетельствуют, что Вы чего-то не понимаете. Вероятнее всего, то, что объекты не движутся в пространстве-времени - просто есть их "траектории" (мировые линии) и всё. "Момент встречи" предполагает, что объекты $A$ и $B$ будут в одной точке пространства-времени, а не один из них "ниже по оси $T$". Тем не менее, на Вашей картинке длина мировой линии тела $B$ будет длиннее (так как тело $B$ двигалось не по прямой), и окажется, что на объекте $B$ прошло больше времени, чем на объекте $A$, и $B$ будет старее $A$.

А если делать поворот в поворот в псевдоевклидовом пространстве, будет как надо: $B$ при встрече окажется моложе $A$.

[koloden]

Mikhail_K
Благодарю за развернутый комментарий.

Mikhail_K в сообщении #1228210 писал(а):

Я не вижу, как на Вашем рисунке отражено, что $v=0.7$.

На рисунке $A$ находится в точке $6$ на оси $T$. Это значит, что для него прошло 6 единиц времени. $B$ же для него находится в точке $B_X = 4.2$. Таким образом $B$ движется относительно $A$ в пространстве $X$ со скоростью $v = 4.2/6 = 0.7$.

Mikhail_K в сообщении #1228210 писал(а):

Я не вижу, как из Вашего рисунка получилось, что сокращение размеров и замедление времени идёт в $1/\sqrt{1-v^2}$ раз

Сначала рассмотрим замедление времени. $A$ "воспринимает", что время тела $B = B_T$. Из прямоугольного треугольника $OB_TB$ ($O$ - начало координат) видно, что $OB_T = \sqrt{OB^2-B_TB^2}$. $OB = ct, B_TB = vt$, для простоты $c = 1$. Значит $OB_T = t \sqrt{1-v^2}$. В то же время $OA = ct = t$. Таким образом, время тела $B$ в СО $A$ будет в $1/\sqrt{1-v^2}$ раз меньше собственного. Конкретно на рисунке, как я уже говорил, у $A$ время равно 6 единицам, а у $B$ - примерно 4.28 единицам.

С сокращением размеров точно так же, только на этот раз проецируем концы тела $B$ - $B_1$ и $B_2$ на ось $X$. Но коеффициент будет тот же $\sqrt{1-v^2}$. На рисунке $B_1B_2 = 1$, а $B_{1X}B_{2X} = \sqrt{1-0.7^2} = 0.71$. Т.е. в СО $A$ тело $B$ будет выглядеть укороченным.

Mikhail_K в сообщении #1228210 писал(а):

Вероятнее всего, то, что объекты не движутся в пространстве-времени - просто есть их "траектории" (мировые линии) и всё. "Момент встречи" предполагает, что объекты $A$ и $B$ будут в одной точке пространства-времени, а не один из них "ниже по оси $T$". Тем не менее, на Вашей картинке длина мировой линии тела $B$ будет длиннее (так как тело $B$ двигалось не по прямой), и окажется, что на объекте $B$ прошло больше времени, чем на объекте $A$, и $B$ будет старее $A$.

Я понимаю, что обычно предполагается статичное пространство-время, в котором тела "встречаются" только если их мировые линии пересекаются в одной точке. Но я с самого начала говорил, что представляю объекты непосредственно движущимися, с одинаковой скоростью, но в разных направлениях. И чтобы объект $A$ "считал", что $B$ находится с ним в одной точке пространства, достаточно, чтобы проекция $B$ на ось $X$ совпадала с $A$. При этом объект $B$ будет выглядеть для него моложе, как раз потому, что двигался не по прямой.

Munin в сообщении #1228197 писал(а):

В любом случае, то, что вы предлагаете - давно известный велосипед с квадратными колёсами. Его изобретают все подряд, и он не едет.

Наверное, с вашей точки зрения я выгляжу как очередной дурачок-"изобретатель", предлагающий чепуху, разбираться в которой не стоит времени. Тем не менее, было бы здорово, если бы мне указали где именно и почему этот "велосипед" не едет. Более того, раз вы говорите, что его изобретали все подряд, должны быть какие-то материалы, описывающие подобные "велосипеды" и их непригодность? Я буду рад любой конкретике.

[DimaM]

koloden в сообщении #1228291 писал(а):

На рисунке $A$ находится в точке $6$ на оси $T$. Это значит, что для него прошло 6 единиц времени. $B$ же для него находится в точке $B_X = 4.2$. Таким образом $B$ движется относительно $A$ в пространстве $X$ со скоростью $v = 4.2/6 = 0.7$.

Странно как-то. Завтра в это же время я буду находиться в точке "24 ч". А Северный полюс будет находиться в точке "4111 км". Это с какой скоростью относительно меня он будет "двигаться"?

Надо бы нарисовать мировую линию неподвижного в штрихованной системе объекта (она параллельна оси $T'$) и измерить ее наклон в нештрихованной системе. На рисунке получается скорость немного больше единицы.

[koloden]

DimaM в сообщении #1228299 писал(а):

Странно как-то. Завтра в это же время я буду находиться в точке "24 ч". А Северный полюс будет находиться в точке "4111 км". Это с какой скоростью относительно меня он будет "двигаться"?

Идея в том, что если вы воспринимаете себя неподвижным относительно какого-либо объекта, это значит, что ваши оси $T$ и $T'$ параллельны, т.е. вы движетесь в одном и том же направлении, а значит и "стареете" вы одинаково.

[DimaM]

koloden в сообщении #1228308 писал(а):

Идея в том, что если вы воспринимаете себя неподвижным относительно какого-либо объекта, это значит, что ваши оси $T$ и $T'$ параллельны, т.е. вы движетесь в одном и том же направлении, а значит и "стареете" вы одинаково.

Вопрос был про скорость относительного движения, и я сконструировал пример, в точности подобный вашему.
У меня, кстати, еще один абзац в сообщении есть, думаю, небесполезный для прочтения.

[koloden]

DimaM в сообщении #1228316 писал(а):

Вопрос был про скорость относительного движения, и я сконструировал пример, в точности подобный вашему.

Если сегодня полюс находится относительно вас в точке 0 км, а завтра в точке 4111 км - значит он двигается со скоростью 4111/24=171.3 км/ч. Если же он и вчера и сегодня находится в точке 4111 км, значит относительно вас в пространстве он не двигается. Вы про это спрашивали? Простите, я не понимаю, что именно тут непонятно.

DimaM в сообщении #1228316 писал(а):

У меня, кстати, еще один абзац в сообщении есть, думаю, небесполезный для прочтения.

Почему относительная скорость должна меняться? Если $T'$ и ваша новая $T''$ параллельны, значит их скорость относительно $A$ будет одинаковой. В моем примере я просто разделил расстояние на время, потому что $A$ и $B$ стартовали из одной точки в начале координат. В общем случае скорость определяется наклоном.

[DimaM]

koloden в сообщении #1228332 писал(а):

В моем примере я просто разделил расстояние на время, потому что $A$ и $B$ стартовали из одной точки в начале координат. В общем случае скорость определяется наклоном.

Поскольку скорость по наклону и скорость по вашей формуле получаются разными, что-то в вашей формуле не так.

[SergeyGubanov]

koloden в сообщении #1228069 писал(а):

Я как раз не понимаю, почему пространство должно быть псевдоевклидовым.

Пожалуй один из самых быстрых способов понять это заключается в следующем. Как известно, экспериментально установлена следующая формула зависимости энергии от импульса (это просто экспериментальный железобетонный факт):

$$ \left( \frac{E}{m c^2} \right)^2 = 1 + \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{m^2 c^2} \eqno(1) $$

Обозначим:

$$ \frac{E}{m c^2} = u_t, \quad \frac{p_x}{m c} = u_x, \quad \frac{p_y}{m c} = u_y, \quad \frac{p_z}{m c} = u_z. \eqno(2) $$

Подставляем (2) в (1), получаем:

$$ u_t^2 = 1 + u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 \eqno(3) $$

Переносим $u_x$, $u_y$, $u_z$ в левую часть:

$$ u_t^2 - u_x^2 - u_y^2 - u_z^2 = 1 \eqno(4) $$

В левой части формулы появился "квадрат" четырёхвектора $u_{\mu}$ в четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве.

$$ g^{\mu \nu} u_{\mu} u_{\nu} = 1 \eqno(5) $$

Короче говоря, каково экспериментально измеряемое соотношение (1) между энергией и импульсом, вот ровно таково получается и пространство-время.

[Erleker]

SergeyGubanov
Во-первых не проще ли просто вывести всю СТО, отталкиваясь от кинематических экспериментов и постулатов, как это принято в учебниках?И тогда псевдоевклидовость будет сразу ясна.
Во-вторых не вижу тут логически выстроенной связи.Если вы написали "обозначим", то с чего это будет формула 4-х мерной скорости, которую мы хотим, а не произвольный вектор в другом абстрактном пространстве?
ИМХО, просто какие-то "игры" с буквами...

[koloden]

DimaM в сообщении #1228336 писал(а):

Поскольку скорость по наклону и скорость по вашей формуле получаются разными, что-то в вашей формуле не так.

В моей формуле не так то, что я не учел начальное расстояние между телами. А не учел я его потому, что в моем примере они стартовали из одной точки.
Вот $A$ и $B$ стартуют из разных точек в пространстве $X$. Тогда вместо $v = AB_X / AA_0$ будет $v = ( AB_X - A_0B_0 ) / AA_0$
Разве это что-то принципиально меняет?

[Munin]

koloden в сообщении #1228291 писал(а):

Наверное, с вашей точки зрения я выгляжу как очередной дурачок-"изобретатель", предлагающий чепуху, разбираться в которой не стоит времени.

Ну, раз изобрели, то уже не дурачок. И интересуетесь. Потенциально ценный кадр. Можно попробовать потратить на вас время.

Однако вопрос в том, как вы себя поведёте дальше. Согласитесь ли вы познакомиться с достижениями человеческого разума, идущими намного дальше ваших. Или упрётесь рогом в то, что изобрели вы, и будете отстаивать свою правоту, и какой вы вообще неподражаемый гений.

koloden в сообщении #1228291 писал(а):

Тем не менее, было бы здорово, если бы мне указали где именно и почему этот "велосипед" не едет.

Нет ограничения на скорость движения скоростью света.

Невозможно рассчитать любую мало-мальски содержательную задачу. Например:
- парадокс близнецов;
- парадокс карандаша и пенала (парадокс сарая);
- парадокс Белла (синхронно ускоряющиеся ракеты);
- задачу (парадокс) лягушек в банке;
- движение фотонной ракеты;
- реакции и распады частиц, например, $x\to y+z,$ $x+y\to z+w,$ $x\to y+z+w.$

Невозможность внятно сформулировать:
- механику (сохраняющиеся энергия и импульс, функция Лагранжа);
- группу Лоренца и группу Пуанкаре, понятие лоренц-инвариантности и лоренц-ковариантности, "башню" тензорных представлений;
- электродинамику (сила Лоренца, тензор поля, лагранжиан поля, сохраняющиеся энергия и импульс, сохраняющийся ток).

А это в серьёзной физике - основа для дальнейших теорий:
- квантовая механика релятивистского электрона;
- квантовая электродинамика - первый пример квантовой теории поля;
- другие квантовые поля и взаимодействия: теория слабого взаимодействия, теория кварков и сильного (цветового) взаимодействия;
- общая теория относительности - теория гравитационного взаимодействия и искривлённого пространства-времени, в том числе космология.

В общем, вы заблуждаетесь, если думаете, что ваши велосипеды - это предел, до которого дошла творческая мысль человечества. Они были таким пределом сто лет назад. А сейчас они - давно рабочий инструмент, составной винтик огромной махины теорий и расчётов, каждый день успешно проверяемых экспериментами, какие-то вопросы и сложности остались на гораздо более высоких этажах, а здесь всё отшлифовано и отлажено.

[oleg_2]

Для примера, пусть тело $B$ вылетело из нуля, и там же вспыхнула лампочка. Черная линия (см. рис.) это мировая линия тела, желтая линия - мировая линия света. Буквами $E$ и $F$ обозначены никакие не тела, а события.
Событие $E$ -тело пролетело мимо точки $x_E$.
Событие $F$ -свет пролетел мимо точки $x_F$.

На рисунке видно, что скорость тела в два раза меньше скорости света, т. к. за одинаковое время тело пролетает в два раза меньшее расстояние, чем свет. На Вашем рисунке этого нет, и Вам для света мировую линию придётся провести горизонтально. Формула $\sqrt{1-v^2}$ -это формула прямоугольного треугольника. Повернув оси так, чтобы получить нужный корень, Вы якобы получили результат. А цельная картина нарушена.

[koloden]

Munin в сообщении #1228353 писал(а):

Однако вопрос в том, как вы себя поведёте дальше. Согласитесь ли вы познакомиться с достижениями человеческого разума, идущими намного дальше ваших. Или упрётесь рогом в то, что изобрели вы, и будете отстаивать свою правоту, и какой вы вообще неподражаемый гений.

Мне кажется, вы все же как-то неправильно меня воспринимаете. Я ни в коем случае не противопоставляю себя всем достижениям физики за последние сто лет. Давайте объясню по порядку. Как я уже сказал в первом сообщении, я далек от физики и математики. Тем не менее мне было интересно составить целостную картину мира. К сожалению, из-за проблем с математикой, я не могу с легкостью "понять" что-то, просто глядя на формулу. Мне для понимания нужна возможность представить объект изучения, а еще лучше покрутить его модельку так и сяк. Я читал о пространстве Минковского, но так и не смог его полностью понять, не смог "представить себя" в таком пространстве. Затем я прочитал, что оно используется потому, что в нем соблюдаются преобразования Лоренца. Тогда мне стало интересно, можно ли придумать другую абстракцию, в которой они тоже будут соблюдаться, но которую я мог бы себе полноценно представить. Собственно, мои попытки вы здесь и видите. Именно поэтому создается впечатление, что я "уперся рогом". Нет, просто в корректности пространства Минковского я уверен, но хотел бы, чтоб мое представление тоже на что-то сгодилось. Ну или чтоб меня ткнули носом в то, почему оно все же не годится.

Munin в сообщении #1228353 писал(а):

Нет ограничения на скорость движения скоростью света.

Но ведь я говорил, что в моей модели всё движется с единственной скоростью - скоростью света. А то, что воспринимается как изменение скорости в пространстве - это разница между направлениями движения.

По поводу парадоксов - насколько я понимаю, они все решаются преобразованиями Лоренца. А они, как я продолжаю утверждать и пытаться показать :) , в моей модели работают. Парадокс близнецов даже приводил в пример.

Дальше у вас пошли совсем сложные для меня слова, но благодарю за развернутый ответ.

oleg_2 в сообщении #1228357 писал(а):

На Вашем рисунке этого нет, и Вам для света мировую линию придётся провести горизонтально. Формула $\sqrt{1-v^2}$ -это формула прямоугольного треугольника. Повернув оси так, чтобы получить нужный корень, Вы якобы получили результат. А цельная картина нарушена.

Да, признаю, движение света я продумал плохо. Но разве нельзя представить свет как расходящуюся из точки-источника окружность?