Как пересчитать функцию распределения?

[Lia]

dima_1985 в сообщении #1226557 писал(а):

Да, конечно $P(Y<6)$.

Тогда

dima_1985 в сообщении #1226534 писал(а):

Подставим $x=6$ получим

$$\int\limits_{-\infty}^{-1}0dx+\int\limits_{-1}^{1}0.5dx+\int\limits_{1}^{2}0dx$$

не получим. Хотя на ответ это не повлияет, но таки ошибка.

[dima_1985]

Lia,
Вы наверно имели ввиду $\int\limits_{1}^{x}0dx$?

[iifat]

Таки скажу по секрету: вас запутали. $\int\limits_{-\infty}^xf(x)dx=F(x)$, каковая $F$ вам дана изначально. Плохой был совет переходить к плотностям, по-моему. А дальше уж в двух иксах вы запутались самостоятельно: пися подобные интегралы, необходимо очень и очень помнить, что $x$, который в пределах интегрирования — это совсем не тот $x$, что под интегралом. Лучше даже их обозначать разными буквами. Ещё лучше, конечно, в вашем случае вовсе не пользоваться интегралами.

[Lia]

Совет был очень естественный. Если уж мне нужно искать вероятность попадания значения непрерывной случайной величины на отрезок, я скорее всего напишу, как она выражается через плотность (ибо в данном случае это совсем тривиально и нет никаких разностей многих интегралов, а вполне достаточно одного), либо буду выражать через значения функции распределения на концах отрезка - и уж тогда точно не полезу ни в какие интегралы.

(Оффтоп)

[По опыту, второе студентам удается сложнее в таких задачах, когда аргумент функции распределения - зависимая переменная.]

Но к сожалению, качество совета слабо коррелирует с умением его нужным образом реализовать.

[dima_1985]

Хорошо сейчас я действительно запутался

iifat в сообщении #1226583 писал(а):

в двух иксах вы запутались самостоятельно

почему два $x$? Я думал $x$ один.
Вот что я понял 1)
$F_Y(x)=\begin{cases} 0,x<2\\ \sqrt{x-2},2\leqslant x< 3\\ 1,x \geqslant 3 \end{cases}$.

2) Вот функция плотности $f_Y(x)=\begin{cases} 0,x \notin [2,3]\\ \frac{1}{2\sqrt{x-2}},x \in [2,3] \end{cases}$. Тут сразу можно определить что $P(Y<6)=1$ просто посмотрев на функцию распределения. Но я не понимаю некоторых аспектов до конца. Всем огромное спасибо что помогаете мне разбираться. Вот например

Lia в сообщении #1226587 писал(а):

а вполне достаточно одного

я не знаю как этого сделать буду думать.Могу через три $\int\limits_{-\infty}^{2}0dx+\int\limits_{2}^{3}\frac{1}{2\sqrt{x-2}}dx+\int\limits_{3}^{6}0dx=1$

Lia в сообщении #1226587 писал(а):

торое студентам удается сложнее в таких задачах, когда аргумент функции распределения - зависимая переменная.]

Второй подход это через обратную функцию ?

[iifat]

dima_1985 в сообщении #1226600 писал(а):

почему два $x$? Я думал $x$ один

В формуле $\int\limits_{-\infty}^xf(x)dx$ их даже три. Правда, два последних — это один. А вот тот что сверху — другой!

[dima_1985]

iifat
Понимаю о чем вы говорите. Вы, наверно, допустили не точность

iifat в сообщении #1226615 писал(а):

В формуле $\int\limits_{-\infty}^xf(x)dx$ их даже три. Правда, два последних — это один. А вот тот что сверху — другой!

о какой плотности распределения идет речь? Если я напишу $F_Y(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f_Y(x)dx$, то $x$ один. Если мы хотим посчитать $F_Y=\int\limits_{-\infty}^{x}f_X(x)dx$, то $x$ тут разные. Я пытался рассмотреть это выше

Lia в сообщении #1226559 писал(а):

Тогда dima_1985 в сообщении #1226534

писал(а):
Подставим $x=6$ получим

$$\int\limits_{-\infty}^{-1}0dx+\int\limits_{-1}^{1}0.5dx+\int\limits_{1}^{2}0dx$$

не получим. Хотя на ответ это не повлияет, но таки ошибка.

Мы же можем посчитать $P(Y<6)=\int\limits_{-\infty}^{x}f_X(x)dx$ просто пересчитав пределы интегрирования? $P(Y<6)=\int\limits_{-\infty}^{\sqrt{6-2}}f_X(x)dx$ ? Или для $P(Y<2.5)=\int\limits_{-\sqrt{2.5-2}}^{\sqrt{2.5-2}}0.5dx$?

[Lia]

dima_1985 в сообщении #1226712 писал(а):

Если я напишу $F_Y(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f_Y(x)dx$

то будете правы.

dima_1985 в сообщении #1226712 писал(а):

Мы же можем посчитать $P(Y<6)=\int\limits_{-\infty}^{x}f_X(x)dx$

А вот так - не будете. Почему там стоит чужая плотность распределения?

dima_1985 в сообщении #1226712 писал(а):

Если мы хотим посчитать $F_Y=\int\limits_{-\infty}^{x}f_X(x)dx$

И так тоже не будете.
И не надо писать переменную общую и вместо переменной интегрирования, и в пределах интегрирования. Пишут как-то так:
$F_Y(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f_Y(t)dt$.

-- 18.06.2017, 11:46 --

(Оффтоп)

По существу Вам или кто-то другой ответит, или я, но позже.

[Lia]

dima_1985 в сообщении #1226140 писал(а):

Случайная величина $X$ имеет равномерное распределение на интервале $[-1;1]$. Случайная величина $Y=X^2+2$. Необходимо найти $F_Y$ и $f_Y$.

Ну поскольку Вы задачу решили, только за учебник до сих пор почему-то не хотите взяться, я просто напишу, как можно было еще решать.

1 способ
Плотность распределения $p_X(x)=\begin{cases} 1/2,&\text{если $\in [-1,1]$;}\\ 0,&\text{иначе} \end{cases}$
Тогда $F_Y(x)=P\{X^2+2<x\}=P\{X^2<x-2\}$.
При $x\le 2$ эта вероятность нулевая, при $x>2$ она равна
$P\{-\sqrt{x-2}<X<\sqrt{x-2}\}=\int_{-\sqrt{x-2}}^{\sqrt{x-2}}p_X(t)\,dt$
В этом месте настоятельно рекомендуется нарисовать график плотности, просто для наглядности. Очень удобно получается - и график симметричен, и отрезок интегрирования. Точки $\pm\sqrt{x-2}$ тоже надо куда-то приткнуть, посмотреть, где мы интегрируем. Куда они могут попасть?Либо обе на отрезок. При каких $x$?
Либо обе - вне. При каких $x$?
Эти два загадочные вопроса я оставляю Вам, ответ на первый - при $x\in(2,3]$ (на самом деле, включаются сейчас границы или нет, непринципиально), ответ на второй $x>3$.
Тогда при $x\in (2,3]\quad F_Y(x)= \int_{-\sqrt{x-2}}^{\sqrt{x-2}}1/2\,dt = \sqrt{x-2}$,
при $x>3\quad F_Y(x)=\int_{-1}^{1}1/2\,dt = 1$.

Собираем всю информацию воедино, если нужно найти плотность - ищем.

Способ 2

Выписываем функцию распределения, здесь она понадобится.

dima_1985 в сообщении #1226140 писал(а):

$ F_X(x)= \begin{cases} 0,x>0\\ \frac{x-1}{2},-1\leqslant x<1\\ 1,x>1 \end{cases} $

$F_Y(x)=P\{X^2+2<x\}=P\{X^2<x-2\}$.
При $x\le 2$ эта вероятность нулевая, при $x>2$ она равна
$P\{-\sqrt{x-2}<X<\sqrt{x-2}\}=F_X(\sqrt{x-2})-F_X(-\sqrt{x-2})$
Рисуем отрезок $[-1,1]$ - он нам немаловажен, смотрим, как и при первом способе, как точки $\pm\sqrt{x-2}$ расположены относительно отрезка. Решив несложное неравенство, получаем, что при $x\in(2,3]$ обе попадают на отрезок, при $x>3$ - обе лежат вне него.
Но тогда при $x\in(2,3] \quad F_X(\sqrt{x-2})-F_X(-\sqrt{x-2})=\frac{\sqrt{x-2}+1}{2}- \frac{-\sqrt{x-2}+1}{2}=\sqrt{x-2}$.
При $x>3$ - разность единицы и нуля.

Сводим информацию, ищем и плотность, если необходимо.

Это все без труда можно найти если не в любом, то в любом хорошем учебнике. Во всяком случае, как плотность связана с вероятностью попадания с.в. на отрезок - это просто определение. Плотности. Найдите и выучите.

Примечание. Рисовать, конечно, не обязательно. Я вот не рисовала. А Вы лучше пока рисуйте. :)

[dima_1985]

Lia
Спасибо Вам, за развернутый ответ.

Lia в сообщении #1226997 писал(а):

только за учебник до сих пор почему-то не хотите взяться,

В моих учебниках так подробно не пишут( пользуюсь Гмурман тут понятно, но задач мало и Кибзун у него есть задачи, но с теорией не очень). Я конечно читал форум тут много чего советуют. Но мне часто это не подходит, мне часто попадаются книги в стиле много теории с доказательством и пару примеров докажите те или иные формулы. Мне нравиться когда все на цифрах и на конкретных примерах отрабатываются те или иные формулы. Может Вы что-то лично от себя посоветуете. Вот бы так развернуто в учебниках бы писали.

[Lia]

К сожалению, ничего не могу посоветовать. Я это не в книжках читала, а сама рассказываю - а мне когда-то рассказывали, и в общем, ничего сложного тут нет. Определение функции распределения, свойства. Определение плотности. Умение решать неравенства. Все.

У Гмурмана есть такие задачи, не в учебнике, а в задачнике, но не рекомендую. Именно эту тему не рекомендую. Да и вообще для математических специальностей его маловато будет.