Как пересчитать функцию распределения?

[dima_1985]

Случайная величина $X$ имеет равномерное распределение на интервале $[-1;1]$. Случайная величина $Y=X^2+2$. Необходимо найти $F_Y$ и $f_Y$. Рассуждал так:
а) построил функцию распределения для $F_X(x)$. Я правильно понимаю индекс это "наименование С.В.", а $x-$ значения которые принимает С.В.?
$ F_X(x)= \begin{cases} 0,x>0\\ \frac{x-1}{2},-1\leqslant x<1\\ 1,x>1 \end{cases} $
б) Попытался построить $F_Y(x)$. По свойству функции распределения $F_Y(X^2+2)=P(X^2+2<x)=0$. Случайная величина $X^2$ принимает значения $[0,1]$. Подумал решить уравнение $P(X^2+2<x)=0$ , при каких $x$ неравенство $X^2<x-2$ никогда не выполняется при $x<2$. Для $P(X^2+2<x)=1$ можно рассуждать так, при каких $x$ всегда будет выполняться неравенство $X^2<x-2$ при x>3. Вот не могу понять как тут рассуждать $P(X^2+2<x)=\frac{x-1}{2}$? Вообще не уверен, что можно так рассуждать?

[Mihr]

dima_1985 в сообщении #1226140 писал(а):

Я правильно понимаю индекс это "наименование С.В.", а $x-$ значения которые принимает С.В.?

Правильно

dima_1985 в сообщении #1226140 писал(а):

$ F_X(x)= \begin{cases} 0,x>0\\ \frac{x-1}{2},-1\leqslant x<1\\ 1,x>1 \end{cases} $

А вот тут уже явно что-то не то.

[dima_1985]

Mihr в сообщении #1226145 писал(а):

А вот тут уже явно что-то не то.

Да,что то не внимательно посмотрел $ F_X(x)= \begin{cases} 0,x<-1\\ \frac{x+1}{2},-1\leqslant x<1\\ 1,x\geqslant 1 \end{cases} $.
И тут изменится

dima_1985 в сообщении #1226140 писал(а):

Вот не могу понять как тут рассуждать $P(X^2+2<x)=\frac{x-1}{2}$?

На $P(X^2+2<x)=\frac{x+1}{2}$

[Mihr]

И ещё. Если Вы хотите сами вывести нужную формулу, то разбейте отрезок значений СВ на промежутки монотонности функции $x^2+2$.

[profrotter]

dima_1985 в сообщении #1226140 писал(а):

а $x-$ значения которые принимает С.В.?

Нет. $x$ - это аргумент функции распределения, переменная. При данном значении своего аргумента $x$ функция распределения даёт вероятность того, что случайная величина примет значения меньшие этого самого $x$.

[dima_1985]

profrotter в сообщении #1226171 писал(а):

величина примет значения меньшие этого самого $x$.

Сразу вопрос $P(X<x)$ или $P(X \leqslant x)$? Это существенно для дискретных С.В.В разных источниках по разному (у Гурмана меньше, у Кибзуна меньше или равно)

[Lia]

dima_1985 в сообщении #1226140 писал(а):

Вот не могу понять как тут рассуждать $P(X^2+2<x)=\frac{x-1}{2}$? Вообще не уверен, что можно так рассуждать?

Можно все, но не нужно. Сводите к уже известному. К плотности (хорошо бы ее тоже записать) и функции распределения $X$. Как? Решая неравенство относительно $X$.
$F_Y(x)=P\{X^2+2<x\}=\ldots=P\{X\in \ldots\}$
(причем при разных $x$ это неравенство решается по-разному.)
Распределение $X$ Вам известно, вероятность Вы должны уметь посчитать.

-- 16.06.2017, 18:10 --

dima_1985 в сообщении #1226175 писал(а):

Сразу вопрос $P(X<x)$ или $P(X \leqslant x)$? Это существенно для дискретных С.В.В разных источниках по разному (у Гурмана меньше, у Кибзуна меньше или равно)

В разных источниках по-разному, от этого зависит ровно одно свойство ф.р. в дискретном случае (непрерывность слева или же непрерывность справа). Но это если и имеет значение, то для дискретных, как Вы сами заметили, случайных величин. Ваша таковой не является. Ей без разницы.

[dima_1985]

Плотность $f_X=\begin{cases} \frac{1}{2},x \in [-1,1]\\ 0,x \notin[-1,1] \end{cases}$

Lia в сообщении #1226180 писал(а):

Решая неравенство относительно $X$.
$F_Y(x)=P\{X^2+2<x\}=\ldots=P\{X\in \ldots\}$

Если $x<2$ неравенство ${X^2<x-2}$ не имеет решение т.е. вероятность равна нулю. Если $x>3$ неравенство ${X^2<x-2}$ выполняется всегда, вероятность равна единицы. Я в первом посте это писал или я Вас не так понял ? Если $x \in [2,3]$, то вероятность можно посчитать так $P(X^2+2<x)=\int\limits_{-\infty}^{3}f_X(x)dx-\int\limits_{-\infty}^{2}f_X(x)dx=0$?

[Lia]

dima_1985 в сообщении #1226431 писал(а):

Если $x>3$ неравенство ${X^2<x-2}$ выполняется всегда, вероятность равна единицы.

Да, Вы не писали, вернее, писали очень криво.

dima_1985 в сообщении #1226431 писал(а):

Если $x \in [2,3]$, то вероятность можно посчитать так $P(X^2+2<x)=\int\limits_{-\infty}^{3}f_X(x)dx-\int\limits_{-\infty}^{2}f_X(x)dx=0$?

А это уже неверно. Решайте неравенство относительно $X$:
$F_Y(x)=P\{X^2+2<x\}=\ldots=P\{X\in \ldots\}$

[iifat]

Если сложно, попробуйте чего попроще. $2,5$, например. $X^2+2<2,5$. Какие значения может принимать $X$?

[dima_1985]

Неравенства , вроде, решать умею $-\sqrt{x-2}<X<\sqrt{x-2}$ ). Я просто не вижу, что с этим дальше делать. Выразили мы $X$ хорошо.Теперь можем использовать $f_X$.Вот как это выглядит $P(-\sqrt{x-2}<X<\sqrt{x-2})=\int\limits_{-\infty}^{\sqrt{x-2}}f_Xdx-\int\limits_{-\infty}^{-\sqrt{x-2}}f_Xdx$. Но $x\geqslant2$, а плотность там равна нулю. Вот этот момент я и не понимаю?

[Lia]

dima_1985
Вам iifat предложил для начала посмотреть, что будет, если $x=2.5$. Посмотрите.

[dima_1985]

Да Вы правы. Зациклился на этом $x$, а нужно решить неравенство $\sqrt{x-2}<1$.Тут надо было понять при каких $x$ плотность вероятности будет принимать те или иные значения( определить граничные точки). Тогда в интервале $2<x<3 F_Y(x)=\int\limits_{-\sqrt{x-2}}^{\sqrt{x-2}}0.5dx=\sqrt{x-2}$. Вот если стоит вопрос посчитать вероятность того, что С.В $P(Y=6)$ мы должны проделать след. действия

$$\int\limits_{-\infty}^{-\sqrt{x-2}}0dx+\int\limits_{-\sqrt{x-2}}^{\sqrt{x-2}}0.5dx+\int\limits_{\sqrt{x-2}}^{2}0dx$$

. Подставим $x=6$ получим

$$\int\limits_{-\infty}^{-1}0dx+\int\limits_{-1}^{1}0.5dx+\int\limits_{1}^{2}0dx$$

[provincialka]

dima_1985 в сообщении #1226534 писал(а):

С.В $P(Y=6)$

Нулю равна эта вероятность. Как для всякой непрерывной с.в.
Вы, наверное, имели в виду неравенство.

[dima_1985]

provincialka в сообщении #1226541 писал(а):

Вы, наверное, имели в виду неравенство

Да, конечно $P(Y<6)$.Спасибо всем за участие.